第 章場合の数と確率 問 練習 ( 第 節 ) 練習 A=,,,8 7,B=,,9 7 よって n0a =,n0b = 練習 から 00 までの整数のうち, の倍数全体の集合をA, 8 の倍数全体の集合を B とすると, と 8 の少なくとも一方で割り切れる数全体の集合は AB である A=,,,, 7 B=8,8,8,,8 7 から n0a =,n0b = また,AB は と 8 の最小公倍数 の倍数全体の集合であるから AB=,,, 7 よって n0ab = ゆえに n0ab =n 0A +n0b -n 0AB =+-= p 個 練習 から 00 までの整数全体の集合を全体集合 U とすると n0u =00 また, そのうち の倍数全体の集合を A, の倍数全体の集合を B とすると A=,,,, 7 B=,,,, 07 であるから n0a =,n0b =0 () の倍数でない数全体の集合は A であるから n0a =n 0U -n 0A =00-= p 個 () の倍数かつ の倍数は の倍数であり, このような数全体の集合は AB であるから AB=,,,, 7 よって n0ab = の倍数であるが, の倍数でない数全体の集合は AB で表され n0ab =n 0B -n 0AB =0-=7 p 7 個 問 電車を利用する生徒の集合を A, 自転車を利用する生徒の集合を B とすると n0a =8,n0AB =7 電車だけを利用する生徒の集合は AB で表され, その要素の個数は n0a B =n 0A-n0AB =8-7= p 人 練習 0 人の生徒全員の集合を全体集合 U とし, 本 A を読んだ生徒の集合を A, 本 B を読んだ生徒の集合を B とすると n0u =0,n0A =,n0b =7,n0AB = () A も B も読んでいない生徒の集合は AB, すなわち AB で表され, その要素の個数は n0ab =n0u-n0ab ここで n0ab =n 0A +n0b -n 0AB =+7-=0 よって n0ab =0-0=0 p 0 人 () A だけ読んだ生徒の集合は AB で表され, その要素の個数は n0ab =n 0A-n0AB =-= p 人 () B だけ読んだ生徒の集合は AB で表され, その 要素の個数は n0ab =n 0B -n 0AB =7-= p 人 (p.) 研究練習 n0a +n 0B +n 0C-n 0AB-n 0BC -n 0CA +n0abc = 0 +d+f+g + 0 +d+e+g + 0 c+e+f+g - 0 d+ g - 0 e+g- 0 f+g +g =++c+d+e+f+g =n 0ABC よって, 与えられた等式は成り立つ (p.) 研究練習 から 00 までの整数のうち, の倍数, の倍数, の倍数全体の集合を, それぞれ A,B,C とすると n0a =0,n0B =,n0c =0 また,AB,BC,CA,ABC は, それぞれ の倍数, の倍数,0 の倍数,0 の倍数全体の集合であるから n0ab =,n0bc =,n0ca =0, n0abc =,, の少なくとも つで割り切れる数全体の集合は ABC であるから n0abc =n 0A +n0b +n 0C-n0AB-n 0BC -n 0CA +n0abc =0++0---0+=7 p 7 個
練習,,,,c の 文字から 文字を選んで 列に並べる方法を樹形図で表すと, 右のようになる よって, すべての場合は,c,,, c,c,c,,,c,,c, c,c,c,c, c,c ゆえに, 求める方法は 8 通りである 練習 百, 十, 一の位の数字を並べて, 各位の数の和が になるすべての場合を樹形図で表すと, 右のようになる よって, 求める数は 0,,,,, 0,0,,,, 0,0,,,0, 0,,0,0,0, 00 の 個である c c c c c c c 百十一 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 練習 7 大小 個のさいころを投げるとき, 目の和が の倍数になるのは, または 0 のときである 大きいさいころの目が m, 小さいさいころの目が n であることを 0m,n で表すと, 目の和が のときは,0,,0,,0,,0, の 通り 0 のときは,0,,0,,0, の 通りある 目の和が同時に と 0 になることはないから, 和の法則により +=7 p 7 通り 問 大小 個のさいころを投げるとき, 目の和が の倍数になるのは,,8, のときである 大きいさいころの目が m, 小さいさいころの目が n であることを 0m,n で表すと, 目の和が のときは 0,,0,,0, の 通り 8 のときは 0,,0,,0,,0,,0, の 通り のときは 0, の 通りある 目の和が同時に と 8,8 と, と になることはないから, 和の法則により ++=9 p 9 通り 練習 8 大小 個のさいころを投げるとき, 目の和が 0 以上になるのは,0,, のときである 大きいさいころの目が m, 小さいさいころの目が n であることを 0m,n で表すと, 目の和が 0 のときは 0,,0,,0, の 通り のときは 0,,0, の 通り のときは 0, の 通りある 目の和が同時に 0 と, と, と 0 になることはないから, 和の法則により ++= p 通り 練習 9 ケーキの選び方は 7 通りあり, そのおのおのに対して, 飲み物の選び方は 通りあるから, ケーキと飲み物をそれぞれ 種類ずつ選んで組を作る方法の数は, 積の法則により 7%= p 通り 問 大中小 個のさいころの目の出方は, それぞれ 通りあるから, 大のさいころを投げて出た 通りの目のおのおのに対して, 中のさいころの目の出方は, それぞれ 通りあり, 大, 中の目のペアのおのおのに対して, 小のさいころの目の出方は, それぞれ 通りある よって, 積の法則により %%= p 通り 練習 0 大中小 個のさいころの偶数の目の出方は, それぞれ 通りあるから, 大のさいころを投げて出た 通りの目のおのおのに対して, 中のさいころの目の出方は, それぞれ 通りあり, 大, 中の目のペアのおのおのに対して, 小のさいころの目の出方は, それぞれ 通りある よって, 積の法則により %%=7 p 7 通り
練習 (),,c,d の中から つの文字を選ぶ方法は 通りあり, そのおのおのに対して,x,y,z の中から つの文字を選ぶ方法は 通りある よって, 展開した式の項の個数は, 積の法則により %= p 個 (), の中から つの文字を選ぶ方法は 通りあり, そのおのおのに対して,p,q,r の中から つの文字を選ぶ方法は 通りある また,0+0p+q+r を展開して得られる各項に対して,x,y の中から つの文字を選ぶ方法は 通りある よって, 展開した式の項の個数は, 積の法則により %%= p 個 練習 () 7 を素因数分解すると 7= 7 の正の約数は, の正の約数と, の正の約数の積で表される の正の約数は,,, の 個 の正の約数は,, の 個よって,7 の正の約数の個数は, 積の法則により %= ( 個 ) また,7 の正の約数の総和は 0++ + 0++ =%=9 () 00 を素因数分解すると 00= 00 の正の約数は, の正の約数と, の正の約数と, の正の約数の積で表される の正の約数は,, の 個 の正の約数は, の 個 の正の約数は,, の 個よって,00 の正の約数の個数は, 積の法則により %%=8 ( 個 ) また,00 の正の約数の総和は 0++ 0 +0++ =7%%=88 練習 () 9P =9 8 7=0 () 7P =7 =0 () P = 練習 () 7P =7 =0 () 9P =9 8 7 =0 練習 ()!= =0 () 7!=7 =00 () 8!=8 7 =00 練習 第 走者, 第 走者, 第 走者, 第 走者の 人を決める方法の総数は,8 人の中から 人を選んで, この順に並べる順列の総数と考えられるから 8P =8 7 =80 p 80 通り 練習 7 男子 人をまとめて 組にする この 組と女子 人の並び方は! 通りある そのおのおのの並び方に対して, 組にした男子 人の並び方は! 通りある よって, 求める並び方の総数は, 積の法則により!%!= % =70 p 70 通り 練習 8 () 一の位は数字,, のどれかであるから, その選び方は 通り千の位は 0 と一の位に並べた数字以外の 個の数字のどれかであるから, その選び方は 通り百, 十の位には 0 を含めた残り 個の数字から 個取って並べるから, その並べ方は P 通り したがって, 桁の奇数の個数は, 積の法則により %% P= p 個 () 桁の偶数は, 桁の整数から 桁の奇数を除いた ものである 桁の整数の個数は % P=00 よって, 桁の偶数の個数は 00-= p 個 t () 一の位は, 数字 0,, のどれかである [] 一の位の数字が 0 の場合 千, 百, 十の位には残り 個の数字から 個取っ て並べるから, その並べ方は P 通り [] 一の位の数字が, の場合千の位は 0 と一の位に並べた数字以外の 個の数字のどれかであるから, その選び方は 通り百, 十の位には 0 を含めた残り 個の数字から 個取って並べるから, その並べ方は P 通りしたがって, 桁の偶数の個数は, 和の法則と積の法則により P +%% P =0+9= p 個 練習 9 求める並び方の総数は, 人の円順列であるから 0-!=!= =0 p 0 通り 問 隣り合う A と B をまとめて 組にする この 組と残りの 人の並び方は, 人の円順列であ
るから,0-! 通りある そのおのおのの並び方に対して, 組にした A と B の並び方は! 通りある よって, 求める並び方の総数は, 積の法則により 0-!%!=!%= p 通り t まず A と C,D,E が円形に並び, そのあとで B が並ぶと考える A と C,D,E の並び方の総数は 0-! 通りそのおのおのの並び方に対して,B の並ぶ位置は, A の両隣の 通りの場合がある よって, 並び方の総数は, 積の法則により 0-!%=!%= p 通り t まず A,B が両端にくるように 人が 列に並び, そのままの順序で移動し,A,B が隣り合うように円形に並べばよい すなわち,A,B が両端にくるような 人の並び方と,A,B が隣り合うように 人が円形に並ぶ並び方は 対 に対応する よって, 求める並び方の総数は,A,B が両端にくるように 人が 列に並ぶ並び方の総数を求めて!%!= p 通り 練習 0 続いて並ぶ女子 人をまとめて 組にする この 組と男子 人の並び方は, 人の円順列であるから,0-! 通りある そのおのおのの並び方に対して, 組にした女子 人の並び方は! 通りある よって, 求める並び方の総数は, 積の法則により 0-!%!=!%= p 通り 練習 求める総数は, 個から 個取る重複順列の総数に等しいから = p 通り 練習 () 桁の整数の各位の数字の選び方は, それぞれ,, の 通りある よって, 求める整数の個数は, 個から 個取る重複順列の総数に等しいから = p 個 () 個の数字,, を重複を許して使ってできる 桁, 桁, 桁, 桁の整数の個数は, それぞれ,,, であるから, 求める整数の個数は + + + =0 p 0 個 練習 7 個の各要素について, 部分集合に属するか, 属さないかを決めると, 部分集合が つ決まる よって, 部分集合の個数は 7 =8 p 8 個 練習 () 7C = 7 = () C = = () C = () C = 問 異なる n 個のものの中から異なる r 個を取り出すとき, [] r 個の中に特定の 個 を含む場合は, まず を取り出し, 残りの 0n- 個の中から 0r- 個を取り出す場合で, n-c r- 通りある [] r 個の中に特定の 個 を含まない場合は, を除く 0 n- 個の中から r 個を取り出す場合で, n-c r 通りある [] と [] の場合の数を加えると, n C r となる したがって, n C= r n-c r-+ n-c r である 練習 () 9C 8= 9 C=9 () 7C = 7 C= = () C = C= =0 練習 0 人の生徒から 人の生徒を選ぶ組合せであるから, その総数は 0 9 8 0C = =00 p 00 通り 練習 7 () 正八角形の 8 個の頂点のうちのどの 点も一直線 上にない 点で三角形が 個できるから, 求める個数は 8C = = p 個 () 正八角形の 8 個の頂点から 点を選んで結ぶと, 四角形が 個できる よって, 求める個数は 8 7 8C = =70 p 70 個 () 正八角形の 8 個の頂点から 点を選んで結ぶと, 線分が 本定まり, その総数は 8C 本 このうち, 正八角形の辺になっているものが 8 本ある よって, 正八角形の対角線の本数は 8C-8= -8=8-8=0 p 0 本 練習 8 () 男子 7 人から 人を選ぶ方法は 7C 通りある そのおのおのに対して, 女子 人から 人を選ぶ方法は C 通りある よって, 求める選び方の総数は, 積の法則により 7C % C= 7 % =%0=0 p 0 通り
() 人全員から 人を選ぶ方法は C 通りある 人とも男子を選ぶ方法は 7C 通りある よって, 求める選び方の総数は 0 9 C- 7 C= C- 7 C= - 7 =9-=0 p 0 通り 練習 9 本の平行線, 本の平行線の中から, それぞれ 本ずつ平行線を選ぶと, 平行四辺形が つ定まる 平行線の選び方は, それぞれ C 通り, C 通りあるから, 平行四辺形の個数は, 積の法則により C % C= % =0 p 0 個 練習 0 () A に入れる 人を選ぶ方法は 9C 通り B に入れる 人を, 残りの 人から選ぶ方法は C 通り A,B の人が決まれば, 残りの部屋 C の 人は決まる したがって, 求める方法の総数は, 積の法則により 9C % C= 9 8 7 % =80 p 80 通り () () で A,B,C の区別をなくすと, 同じものが! 通りずつできるから, 求める方法の総数は 80! =80 p 80 通り () 人, 人, 人の組を, それぞれ A,B,C とすると,A,B,C に分ける方法は 9C % 7 C 通りある ここで,A,B の区別をなくすと, 9 C % 7 C 通りの中には同じものが! 通りずつできるから, 求める方法の総数は 9C% 7C = 9 8! % 7 % =78 p 78 通り 問 が 個, が 個, が 個あるから, 求める整数の個数は 7!!!! = 7 =0 p 0 個 練習 o が 個,n が 個,m,t,e がそれぞれ 個ずつあるから, 求める文字列の総数は 8!!!!!! = 8 7 =0 p 0 通り 練習 北に 区画進むことを 0, 東に 区画進むことを. で表すことにする () P から Q まで最短距離で行く道順の総数は, 個の 0 と 個の. を 列に並べる順列の総数に等しいから, 求める道順の総数は!!! = 0 9 8 7 = p 通り () P から R まで最短距離で行く道順の総数は, 個の 0 と 個の. を 列に並べる順列の総数で!!! = =0 R から Q まで行く場合についても同様に考えて!!! = = よって,P から R を通って Q まで行く方法の総数は, 積の法則により 0%=0 p 0 通り () () の場合から () の場合を除いて -0= p 通り t 0 と. をおく場所のうち,0 をおく場所を選ぶ方法を考えてもよい () C = 0 9 8 7 = p 通り C= % =0 p 0 通り () C % C= C % (p.8) 研究練習 異なる 個のものから重複を許して 7 個取る組合せの総数であるから 0 9 8 + 7-C= 7 0 C= 7 0 C= =0 (p.8) 研究練習 () 例えば,0 個の玉を A に 個,B に 個,C に 個,D に 個入れることを AABBBCDDDD と表すことにすると, 玉の入れ方の総数は,A,B,C,D から重複を許して 0 個取る組合せの総数に等しい よって, 求める入れ方の総数は + 0-C 0= C 0 = C= =8 p 8 通り () まず, つの箱に 個ずつ玉を入れておく 残り 個の玉の入れ方の総数は,A,B,C,D から重複を許して 個取る組合せの総数に等しい よって, 求める入れ方の総数は + -C= 9 C= 9 C= 9 8 7 =8 p 8 通り (p.8) 研究練習 () 等式 x+y+z=0 を満たす負でない整数 x,y,z の組の個数は, 異なる 個のものから重複を許して 0 個取る組合せの総数に等しい よって, 求める個数は
+ 0-C 0= C 0 = C= = p 個 () x-=x,y-=y,z-=z とおくと X)0,Y)0,Z)0 また x=x+,y=y+,z=z+ これらを x+y+z=0 に代入すると 0X++0Y++0Z+=0 よって X+Y+Z=7 この等式を満たす負でない整数 X,Y,Z の組の個数は, 異なる 個のものから重複を許して 7 個取る組合せの総数に等しい よって, 求める個数は + 7-C= 7 9 C= 7 9 C= 9 8 = p 個 問題 (p.9) 問題 () n0a =n 0U -n 0A =00-0=0 p 0 個 () n0ab =n 0A +n 0B -n 0AB =0+0-=8 p 8 個 () n0ab =n0b -n 0AB =0-= p 個 () n0a B =n 0AB =n 0U -n 0AB =00-8= p 個 問題 00 から 00 までの整数全体の集合を U とし, そのうち の倍数全体の集合を A, の倍数全体の集合を B とする このとき, でも でも割り切れない数全体の集合は A B, すなわち AB で表され, その要素の個数は n0ab =n0u-n0ab ここで n0u =00-00+=0 A=,, 7,, 07 から n0a =0-+= B= 7, 8, 9,, 7 から n0b =-7+=7 AB は と の最小公倍数 の倍数全体の集合であるから AB= 9, 0,,, 7 よって n0ab =-9+=8 ゆえに n0ab =n 0A +n 0B -n 0AB =+7-8= したがって n0ab =0-= p 個 問題 () 大小とも奇数の目であればよいから, 求める場合 の数は, 積の法則により %=9 p 9 通り () さいころの目の出方の総数は %= 目の積が偶数になるのは, 少なくとも一方が偶数のときである よって, 求める場合の数は, 全体の場合の数から, 両方の目が奇数である場合の数を引けばよい ゆえに -9=7 p 7 通り () 目の和が偶数になるのは, 次の [],[] のいずれかの場合であり, この つの場合は同時には起こらない [] 両方の目が偶数その場合の数は, 積の法則により %=9 [] 両方の目が奇数その場合の数は, 積の法則により %=9 よって, 求める場合の数は, 和の法則により 9+9=8 p 8 通り t () 目の積が偶数になるのは, 次の つの場合であり, これらは, どの つも同時には起こらない [] 両方とも偶数の目が出るとき, その場合の数は, 積の法則により %=9 [] 大のさいころが偶数, 小のさいころが奇数のとき,[] と同様にして %=9 [] 大のさいころが奇数, 小のさいころが偶数のとき,[] と同様にして %=9 [],[],[] から, 求める場合の数は, 和の法則により 9+9+9=7 p 7 通り 問題 () 両端に女子を並べる方法は P 通り間には残りの 7 人を 列に並べるから, その並べ方は 7! 通りよって, 求める並び方の総数は, 積の法則により P %7!= %7 =%00=080 p 080 通り () まず, 男子 人を 列に並べ, その間の か所に女子 人を並べればよい よって, 求める並び方の総数は, 積の法則により!%!=0%=880 p 880 通り () まず, 男子 人を 列に並べ, その間か両端の か所に女子 人を並べればよい よって, 求める並び方の総数は, 積の法則により!% P=0%0=00 p 00 通り 問題 () 隣り合う先生 人をまとめて 組にする この 組と生徒 人の並び方の総数は 07-! そのおのおのの並び方に対して, 組にした先生 人の並び方は! 通りある よって, 求める並び方の総数は, 積の法則により 07-!%!=!%=0 p 0 通り
() 先生の 人を指名しておいて, 向かい側にもう 人の先生を並べる 残りの生徒 人を 列に並べればよいから!=70 p 70 通り 問題 どの 点も一直線上にないから,7 点のうちから 点を選べば, 本の直線ができる したがって, 直線の本数は 7C = 7 = p 本また, 点を選ぶと, 個の三角形ができるから, 三角形の総数は 7C = 7 = p 個 問題 7 () 人から 7 人を選ぶ方法は C 7 通り次に, 残りの 人から 人を選ぶ方法は C 通り残りは 通りに定まる よって, 分け方の総数は, 積の法則により 0 9 8 C 7% C= C % C= % =790 p 790 通り () 人ずつの 組を A,B,C とすると,A,B,C に分ける方法は C % 8 C 通りある ここで,A,B,C の区別をなくすと, 同じものが! 通りずつできるから, 分け方の総数は C% 8C 0 9 8 7 = %! % =77 p 77 通り () 人, 人, 人の組を, それぞれ A,B,C とす ると,A,B,C に分ける方法は C % C 通りある ここで,B,C の区別をなくすと, C % C 通りの中には同じものが! 通りずつできるから, 分け方の総数は C% C 0 9 8 7 = %! % =90 p 90 通り 問 練習 ( 第 節 ) 問 7 表が 枚も出ないとは, 硬貨, のどちらも裏になることであるから A= 0 裏, 裏 7 少なくとも 枚は表が出る事象を表す集合は, 表が 枚も出ない事象を表す集合の補集合であるから, 全事象 U から事象 A を除いて B=0表, 表,0表, 裏,0裏, 表 7 練習 個の白玉に, と番号をつけ, それぞれの白玉 個 を取り出すことを, とする 同様に, それぞれの赤玉 個を取り出すことを,, とする () 全事象を U とすると U= 0,, 0,, 0,, 0,, 0,, 0,, 0,, 0,, 0,, 0, 7 () 白玉 個と赤玉 個を取り出すという事象を A とすると A= 0,, 0,, 0,, 0,, 0,, 0, 7 練習 0 枚のカードから 枚を取り出すとき, 全事象を U, 取り出したカードの番号が 8 の倍数であるという事象を A とすると U=,,,,07 A=8,8,8,8,8,8 7 であるから n0u =0,n0A = よって P 0A = n 0A n 0U = 0 = 練習 全事象を U, 表と裏が 枚ずつ出るという事象を A とすると U= 0 表, 表,0表, 裏,0裏, 表, 0裏, 裏 7 A= 0 表, 裏, 0裏, 表 7 であるから n0u =,n0a = よって P 0A = = 練習 出る目の和が になるのは 通り, になるのは 通り, になるのは 通り, になるのは 通り, になるのは 通り,7 になるのは 通り, 8 になるのは 通り,9 になるのは 通り, 0 になるのは 通り, になるのは 通り, になるのは 通りである よって, 出る目の和が 7 になる事象の確率が最も大きい また, その確率は = 練習 7 起こりうる場合は,0 個の玉から 個を取る組合せであるから, 全部で 0C 通りあり, どの場合も同様に確からしい () 白玉 個と赤玉 個が出る場合は, 個の白玉から 個, 個の赤玉から 個取り出す場合であるから, 全部で C % C 通りある
C% C 0C = % 0 = () 個とも白玉が出る場合は C 通りあるから, 求める確率は C 0C = 0 0 = 練習 8 人が 列に並ぶ方法は, 全部で! 通りあり, どの場合も同様に確からしい このうち,A と B が隣り合う並び方は,!% 通りある! % =! 問 8 全事象を U とすると U=,,,,,7 また,A=,,,7,B=,,,7 である AB は, の約数かつ 以下の目が出る事象であるから AB=,,7 AB は, の約数または 以下の目が出る事象であるから AB=,,,, 7 よって P 0AB = =, P 0AB = 練習 9 全事象を U とすると U=,,,,, 7 また,A=,, 7,B=, 7 であるから AB= 7, AB=,,, 7 よって P 0AB =, P 0AB = = 練習 0 A=,,8,,,8 7 B=,,,,8,0 7 C= 7,,,,,9 7 D=,,,0,,0 7 であるから,AD=,CD= より, 互いに排反であるものは A と D,C と D 練習 0 個の製品の中から 個を取り出す場合の数は 0C 不良品が 個以上含まれるという事象は, つの事象 A: 不良品が 個含まれる B: 不良品が 個含まれるの和事象であり, これらの事象は互いに排反である C P 0A = % C = % 0% 9% = 8 9 0C C P 0B = 0C = 0% 9% = 8, 確率の加法定理により P 0AB = 8 9 + 8 = + 8 = 7 練習 個のさいころを同時に投げるときの目の出方は, 全部で %, すなわち 通りある 目の和が の倍数になるという事象は, つの事象 A: 目の和が B: 目の和が 0 の和事象であり, これらの事象は互いに排反である A= 0,,0,,0,, 0,7 B= 0,,0,, 0,7 であるから P 0A =,P 0B = ゆえに, 求める確率は, 確率の加法定理により P 0AB = + = 7 問 9 個の玉から 個の玉を同時に取り出す場合の数は C =78 個の玉が同じ色であるという事象は, つの事象 A: 個とも白玉 B: 個とも赤玉 C: 個とも青玉の和事象であり, これら つの事象は互いに排反である 事象 A が起こる場合の数は C = 事象 B が起こる場合の数は C = 事象 C が起こる場合の数は C = よって P 0A = 78,P 0B = 78,P 0C = 78 ゆえに, 求める確率は, 確率の加法定理により P 0ABC =P 0A +P 0B +P 0C = 78 + 78 + 78 = 78 = 練習 9 枚のカードから同時に 枚を取り出す場合の数は 9C = 枚の番号の和は 7 以下であるから, 和が の倍数になるという事象は, つの事象 A: 和が B: 和が 0 C: 和が の和事象であり, これら つの事象は互いに排反である A= 0,, 0,7 B= 0,9,0,8,0,7, 0,7 C= 0,9, 07,87 よって n0a =,n0b =,n0c = ゆえに P 0A =,P 0B =,P 0C = したがって, 求める確率は, 確率の加法定理により P 0ABC =P 0A +P 0B +P 0C = + + = 8 = 9 練習 取り出したカードの番号が の倍数であるという事象を A,9 の倍数であるという事象を B とすると, 取り
出したカードの番号が の倍数または 9 の倍数であるという事象は AB である ここで A=,,,, 7 B= 9,9,9,,9 7 また, と 9 の最小公倍数は 8 であるから AB= 8,8,8,8,8 7 よって n0a =,n0b =,n0ab = 一方, 全事象を U とすると n0u =00 ゆえに P 0A = 00,P 0B = 00,P 0AB = 00 したがって, 求める確率は P 0AB =P 0A +P 0B -P 0AB = 00 + 00-00 = 00 = 0 練習 () 少なくとも 個は の目が出る という事象は, 個とも 以外の目が出る という事象の余事象である 個とも 以外の目が出る確率は = ゆえに, 求める確率は - = () 異なる目が出る という事象は, 同じ目が出る という事象の余事象である 同じ目が出る確率は = ゆえに, 求める確率は - = 練習 () 独立である () 独立でない 練習 7 () 個のさいころを投げる試行を S, 枚の硬貨を投げる試行を T とし, 試行 S で の約数の目が出るという事象を A, 試行 T で表が出るという事象を B とすると P 0A =,P 0B = S と T は独立であるから, 求める確率は P 0AP0 B = % = () 個のさいころを 回続けて投げるとき, 回目の試行を S, 回目の試行を T とし, 試行 S で 以上の目が出るという事象を A, 試行 T で の倍数の目が出るという事象を B とすると P 0A =,P 0B = S と T は独立であるから, 求める確率は P 0AP0 B = % = 練習 8 種 A を 粒植えるという試行を S, 種 B を 粒植えるという試行を T とし, 試行 S で A が発芽しないという事象を A, 試行 T で B が発芽しないという事象を B とすると P 0A =- 80 00 =, P 0B =- 7 00 = S と T は独立であるから, 種 A,B がどちらも発芽しない確率は P 0AP0 B = % = 0 種 A,B のうち少なくとも一方が発芽するという事象は, 種 A,B がどちらも発芽しないという事象の余事象であるから, 求める確率は - 0 = 9 0 練習 9 袋の中から最初に玉を 個取り出すという試行と, 取り出した玉を袋に戻してから再び玉を取り出すという試行は独立である () 回目と 回目に取り出した玉の色が同じであるという事象は, つの事象 回とも白玉 回とも赤玉の和事象であり, これらの事象は互いに排反である 回目に白玉を取り出す確率は 0 回目に白玉を取り出す確率は 0 よって, 回とも白玉である確率は 0 % 0 = 9 00 と同様にして, 回とも赤玉である確率を計 7 算すると 0 % 7 0 = 9 00 したがって, 求める確率は 9 00 + 9 00 = 8 00 = 9 0 () 回目と 回目に取り出した玉の色が異なるという事象は, 回目と 回目の玉の色が同じであるという事象の余事象であるから, 求める確率は - 9 0 = 0 t () 回目が白玉, 回目が赤玉である確率は 0 % 7 0 = 00 回目が赤玉, 回目が白玉である確率は 7 0 % 0 = 00 00 + 00 = 00 = 0
練習 0 個のさいころを投げる 回の試行は独立である () 回目は偶数の目, 回目は 以下の目, 回目は 以上の目が出る確率は % % = () 回とも奇数の目が出る確率は % % = 8 よって, 少なくとも 回は偶数の目が出る確率は 練習 - 8 = 7 8 個のさいころを投げるとき, の目が出る確率は である よって, 回目から 回目までに の目が 回出て, 残りの 回は 以外の目が出る確率は 練習 C - 89 8 9 - = 888 回の試行で白玉が出る確率は である () 白玉が 回以上出るのは, 白玉がちょうど 回出る, または白玉が 回出る場合であり, これらの事象は互いに排反である C - 89 8 9-89 + = 80 + = 0 () 回目に 度目の白玉が出るのは, 回目までに白玉がちょうど 回出て, 回目に 度目の白玉が出る場合である C 89-8 9 - % = 88 練習 さいころを 回投げて, 以下の目が出るという事象を A とすると, 事象 A の確率は P 0A = = 回のうち, 事象 A が r 回起こるとすると,A は 0-r 回起こるから, 回で点 P の座標が になるのは r+0-0-r = が成り立つときである これを解くと r= よって, 回のうち A がちょうど 回起こるときである したがって, 求める確率は C - 89 8 9 - =% = 80 練習 選び出された生徒は, バスを利用している 人の中の 人である その 人の中で, 電車を利用している生徒は 人である したがって PB0A = = 8 練習 PA 0B = P 0AB P 0A = 0. 0. =0. PB0A = P 0AB P 0B = 0. 0. =0.7 練習 最初に取り出した玉が赤玉であるという事象を A, 回目に取り出した玉が赤玉であるという事象を B とすると, 求める確率は P 0AB である ここで P 0A = 8 また, 最初に取り出した玉が赤玉であるとき, 回目は白玉 個と赤玉 個の中から 個を取り出すことに なるから PA 0B = 7 よって, 個とも赤玉である確率は, 確率の乗法定理により P 0AB =P 0AP A 0B = 8 % 7 = 8 練習 7 回とも赤玉が出る確率は, 確率の乗法定理により 9 % 8 % 7 = 練習 8 () 本目が当たるという事象は, つの事象 [] 本目が当たり, 本目も当たる [] 本目がはずれ, 本目が当たる の和事象であり, これらの事象は互いに排反である [] の確率は % = 0 0 [] の確率は 0 % = 0 0 0 0 + 0 0 = 70 0 = () 本だけが当たるという事象は, つの事象 [] 本目が当たり, 本目がはずれる [] 本目がはずれ, 本目が当たる の和事象であり, これらの事象は互いに排反である [] の確率は % 0 = 0 0 [] の確率は 0 % = 0 0 0 0 + 0 0 = 00 0 = 0
練習 9 袋 A の白玉の個数が初めと変わらないという事象は, つの事象 [] 袋 A から白玉を取り出し, 袋 B から白玉を取り出す [] 袋 A から赤玉を取り出し, 袋 B から赤玉を取り出すの和事象であり, これらの事象は互いに排反である [] の確率は % = 0 [] の確率は % = 0 0 + 0 = 練習 0 () 本目が当たるという事象は, つの事象 [] 本目がはずれ, 本目が当たる [] 本目が当たり, 本目も当たる の和事象であり, これらの事象は互いに排反である [] の確率は 0 % 0 = [] の確率は 0 % 9 = + = 8 7 () 本目がはずれるという事象は, 本目が当たると いう事象の余事象である - 8 7 = 7 7 (p.7) 研究練習 取り出した 個が袋 A の玉であるという事象を A, 袋 B の玉であるという事象を B, 白玉であるという事象を E とする 白玉は袋 A から取り出した場合と, 袋 B から取り出した場合があり, それらの事象は互いに排反であるから P 0E =P 0AE +P 0BE =P 0AP A 0E +P 0BP B 0E = % + % = 0 + 9 = 9 90 求める確率は, 条件付き確率 PE 0A であるから PE 0A = P 0AE P 0E = 0 & 9 90 = 9 9 問題 (p.8) 問題 8 人の手の出し方の総数は 通りである () A がグーを出して勝つのは,B,C がともにチョキ を出す 通り A がチョキ, パーを出して勝つのも, それぞれ 通りで,A だけが勝つのは 通り = 9 () () と同様に考えて,A と B,A と C が勝つ場合は, それぞれ 通りずつあるから, 求める確率は + = 9 () あいこになる場合は, 人の手が同じ場合の 通 りと, 人の手がすべて異なる場合の 通りの合計 で,9 通りある 9 = t () A がパー,B がグー,C がグーを出す確率 は % % このような場合が全部で 通りあるから %= 89 9 () A,B がパーで,C がグーを出す確率は % % このような場合が 通りあり,A,C が勝ち,B が負 ける場合もあるので %%= 89 9 () A,B,C が同じ手を出すときと, 全員が異なる手を出すときがあるので %+ 89 %!= 89 問題 9 個の玉から, 同時に 個を取り出す場合の数は C である () 8C% C C = 8% = () 個とも同じ色であるという事象は, 白玉が 個, 赤玉が 個, 青玉が 個という つの事象の和事象である これらの事象は互いに排反であるから, 求める確率は 8C C + C C + C C = + + = () 少なくとも 個は白玉であるという事象は, すべて白玉でないという事象の余事象であるから, 求める確率は - 7 C C =- =- =
問題 0 0 枚のカードから, 同時に 枚を取り出す場合の数は 0C である () 番号の和が奇数であるのは, 枚の番号が奇数で, もう 枚の番号が偶数のときであるから, 求める確率は C% C 0C = % = 9 () 番号の積が偶数であるのは, 番号の積が奇数であるという事象の余事象である 番号の積が奇数であるのは, 枚の番号がともに奇数のときであるから, その確率は C 0C = 0 = 9 よって, 番号の積が偶数である確率は - 9 = 7 9 t () 番号の積が偶数であるという事象は, 枚の番号がともに偶数であるという事象と 枚の番号が偶数と奇数であるという事象の和事象である この つの事象は互いに排反であるから, 求める確率は C 0C + C % C = 0 0C + = = 7 9 問題 題に か % で答える方法は 通りある () すべて正解となるのは, 通りだけであるから, 求める確率は = () 少なくとも 題は正解となるという事象は, すべて不正解となるという事象の余事象である すべて不正解となる確率は,() と同様に考えて - =- = t 各クイズに,% で答えることを, それぞれ つの試行とし, つの試行をまとめて考えると, これらの試行は独立である 各試行で,% と答えて正解, 不正解となる確率は, それぞれ である () 89 = () すべて不正解となる確率は 89 である 求める確率は, すべて不正解となるという事象の余事象の確率であるから - =- = 89 問題 玉を 個取り出したとき, それが白玉である確率は である 少なくとも 回は白玉が出るという事象は, A: 白玉が 回も出ない B: 白玉がちょうど 回出るとすると,AB の余事象である P 0A = - P 0B = = 8 9 C 89-8 9 A と B は互いに排反であるから - = P 0AB =P 0A +P 0B = + = -P 0AB =- = 7 79 問題 枚の硬貨を投げて, 表が出るという事象を A とすると, 事象 A の確率は P 0A = 9 回のうち, 事象 A が r 回起こるとすると,A は 0 9 -r 回起こるから,9 回でもとの位置に戻るのは r+ 0-0 9-r =0 が成り立つときである これを解くと r= よって,9 回のうち A がちょうど 回起こるときである したがって, 求める確率は 9C - 89 8 9 9- =8% 9 = 8 問題 袋 B から取り出した玉が白玉であるという事象は, つの事象 [] 袋 A から白玉を取り出し, 袋 B から白玉を取り出す [] 袋 A から赤玉を取り出し, 袋 B から白玉を取り出すの和事象であり, これらの事象は互いに排反である [] の確率は % 7 = [] の確率は % 7 = + = 8
演習問題 (p.9,p.70) 演習問題 趣味を調査した 00 人の生徒全員の集合を全体集合 U とし, 読書が趣味である生徒の集合を A, 映画鑑賞が趣味である生徒の集合を B とすると n0u =00,n0A =7,n0B =,n0ab =8 である () 読書と映画鑑賞の両方が趣味である生徒の集合は AB で表される n0ab =n 0A +n 0B-n 0AB であるから n0ab =n 0A +n 0B -n 0AB =n 0A +n0b -n 0U -n 0AB 7 =n 0A +n0b -n 0U +n 0A B =7+-00+8=9 p 9 人 () 読書は趣味であるが, 映画鑑賞は趣味でない生徒の集合は AB で表される n0a B =n0a -n 0AB =7-9=8 p 8 人 演習問題 例えば, は 000 に, は 00 に対応していると考 えると, 求める整数の個数は, 個から 個取る重複 順列の総数に等しい よって, 求める個数は = p 個 t 桁の整数の個数は 桁の整数の個数は %=0 桁の整数の個数は % =00 桁の整数の個数は % =00 よって, 求める個数は +0+00+00= p 個 演習問題 大中小 個のさいころを投げるときの目の出方は, 全 部で 通りある () 出る目がすべて異なる場合の数は, 個の数字から 個の数字を選んで大, 中, 小のさいころの順に並べる順列の総数と考えられるから, P である P = = 9 () 大, 中, 小の順に出る目が小さくなる場合の数は, 個の数字から 個の数字を取る組合せで, C であ る C = 0 = 演習問題 回の試合で B が勝つ確率は, 引き分けは起こらない から - = () 試合目で優勝が決まるという事象は,A が 試合とも勝つという事象と,B が 試合とも勝つという事象の和事象である この つの事象は互いに排反であるから, 求める確 率は 89 89 + = 9 7 = () A が優勝するという事象は, つの事象 [] 試合目で A の優勝が決まる [] 試合目で A の優勝が決まる [] 試合目で A の優勝が決まる の和事象であり, これら つの事象は互いに排反で ある [] の確率は 89 [] の確率は C [] の確率は C = 8 7 89 89 89 89 したがって, 求める確率は % = 8 7 % = 8 8 7 + 8 7 + 8 = 8 演習問題 () 0 個の玉から, 同時に 個の玉を取り出す場合の数は 0C 個の玉の色が異なるのは, 白玉 個, 赤玉 個の場合であるから, 求める確率は C% C 0C = % = 8 () 個の玉の色が異なるという事象は, 個目が白玉で 個目が赤玉であるという事象と, 個目が赤玉で 個目が白玉であるという事象の和事象である この つの事象は互いに排反であるから, 求める確 率は 0 % 0 + 0 % 0 = 8 00 = () () のように, 事象を互いに排反な つの事象に分けて考えると, 求める確率は 0 % 9 + 0 % 9 = 8 90 = 8 演習問題 同じ色の玉が 回以上続いて出る場合を樹形図で表す と, 次のようになる 回目 回目 回目 回目 白, 赤どち 白白白 らでもよい [] 赤 赤 赤 [] 赤 白白白 [] 赤赤白 [] 各場合の起こる確率は, それぞれ次のようになる [] 8 % 7 % % = 0 [] 8 % 7 % % = [] 8 % 7 % % = [] 8 % 7 % % = これらの場合は, 互いに排反であるから, 求める確率
は 0 + + + = 8 = 9 8 演習問題 7 () 万の位が である 桁の数は, 下 桁が 0,,, の順列であるから,! 個ある よって, 初めて 0000 以上になるのは!+= ゆえに, 番目 () 万の位が, である数は, ともに! 個ある 0=!%+ であるから,0 番目の数は万の位が である数のうちの, 小さい方から 番目の数である 9 番目は 0 であるから,0 番目の数は 0 である 演習問題 8 () 人に A,B を重複を許して割り当てる その方法の数は = p 通り () () から,A に 人全員を入れる場合と,B に 人全員を入れる場合を除けばよいから -= p 通り () 人を空室を作らないで A,B の つの部屋に入れ, 数の目が出る確率は, ともに その A と B の区別をなくせばよいから である = p さいころを 回投げたとき, そのうち, 奇数の目が出通りる回数を r とすると,A が持っている硬貨の枚数は -r+ 0-r =8-r 演習問題 9 個のさいころを同時に投げるときの目の出方の総数 は である () 個の目の最大値が 以下である場合の数は,,,,, から重複を許して 個取り出す順列の総数に等しいから, である = () 事象 A,B,C を A: 最大値が 以下である B: 最大値が 以下である C: 最大値が であるとすると,A=BC である B と C は互いに排反であるから P 0A =P 0B +P 0C したがって, 求める確率 P 0C は P 0C =P 0A -P 0B () から P 0A = 最大値が 以下である場合の数は,,,, から重複を許して 個取り出す順列の総数に等しいから, である よって P 0B = ゆえに, 求める確率は P 0C =P 0A -P 0B = - = - = 演習問題 0 封筒の選び方は, 全部で! 通りある () 人とも自分の名刺が入った封筒を選ぶ場合は 通りであるから, 求める確率は! = () 人とも他人の名刺 A B C D が入った封筒を選ぶ場 A D C 合は, 右の樹形図によ B C D A り, 全部で 9 通りある D A C したがって, 求める確 A D B 率は C A B 9 D B A! = 9 = 8 A B C D A B C B A 演習問題 さいころを 回投げたとき, 奇数の目が出る確率, 偶 となる 硬貨は全部で 8 枚あるから,A,B が同じ枚数の硬貨を持つのは, それぞれ 9 枚ずつ硬貨を持つ場合である よって 8-r=9 これを解いて r= したがって, 求める確率は, 奇数の目が 回, 偶数の目が 回出る確率で C 89 89 =0% = 演習問題 番目の玉が赤玉であるという事象を A, 最初の玉が赤玉であるという事象を B とする 番目の玉が赤玉であるような出方は, 赤赤, 白赤の 通りで, これらは互いに排反であるから, 事象 A の確率 P 0A は P 0A = 0 % 9 + 7 0 % 9 = 0 事象 AB は, 取り出した玉が 個とも赤玉であるという事象であるから, その確率 P 0AB は P 0AB = 0 % 9 = したがって, 求める確率は PA 0B = P 0AB P 0A = & 0 = 9 t 番目の玉が赤玉であるとき, 最初の玉も赤玉であるのは, 最初の玉が, 残り 9 個の玉のうち, 番目の赤玉以外の赤玉であったということである 9