ral ral 多項ロジットモデル ε~iidガンベル 独立で (Iply) 同一 (Ially) の分散を持つ 分布 (Dsrbu) Cov() 6 愛媛大学倉内慎也 kurauh@.hm u.a.jp.5.5..35.3.5..5..5 f(ε) ε -3 -.5 - -.5 - -.5.5.5.5 3 3.5.5 5 図. 正規分布とガンベル分布の確率密度関数 f xp xp xp F ε xp xp με η 多項ロジットモデル los-formであるため計算が容易 便益計算が簡便 jc xp xp j ロジットモデルと IIA 特性 無関係な選択肢からの選択確率の独立 (Ip from Irrlva Alravs) C A xp xp C ral C ral walk bk C xp xp xp ral xp xp xp xp xp xp xp ral ral A walk ral A A 選択確率の比は無関係な選択肢 (walkbk) に影響を受けない bk 3 Bfor IIA 特性の問題点 () 赤バス () 車 () / / Afr BB BB 赤バス () 青バス (BB) 車 () / / / ロジットモデル /3 /3 /3
IIA 特性の問題点 () Bfor Afr バス () 車 () 鉄道 (ral) バス () 車 () % 6% % 3% 8% % % IIA 特性の問題を避けるには 誤差項間に相関が生じないようにする 調査等で影響要因を観測 確定項の関数型等の工夫 誤差項には確定項で説明で ral きない要因が含まれる ral 交差弾性値が等しい 誤差相関を明示的に考慮したモデルの適用 効用関数の特定化の工夫 () 個人間の異質性を考慮 個人属性をたくさん入れる / セグメンテーションを行う mal 女性の定数項 :α 男性の定数項 :α + α 女性のハ ラメータ :β 男性のハ ラメータ :β mal * mal * * * Group Group Group Group のハ ラメータヘ クトル : Groupのハ ラメータヘ クトル : Group Group 7 効用関数の特定化の工夫 () Bfor Afr バス () 車 () 鉄道 (ral) バス () 車 () % 6% % 3% 8% % % 人数 バス 車 人数 鉄道 バス 車 男性 5 人 % 8% 男性 5 人 % 8% 7% 女性 5 人 6% % 女性 5 人 3% % 8% 合計 人 % 6% 合計 人 % 3% 5% 5% 7% マーケットシェアの変化率は異なる 8
多項プロビットモデル ral ral ε~ 多変量正規分布多項プロビットモデル 中心極限定理より誤差項の仮定は尤もらしい op-form であるため計算負荷が大きい (J- 重積分 ) xp J J J J ral ral ral ral ral ネスティッドロジット (NL) モデル () BB BB BB os os os 多項ロジットモデルの仮定 :ε~iid ガンベル分布 ε と ε BB は共通の非観測属性を含んでいる 料金 快適性 利便性など BB BB 共通要因相関 Cov() 6 ネスティッドロジット (NL) モデル () NL モデルの誤差構造公共交通自動車鉄道バス Cov() ras ras 鉄道バス自動車等分散無相関 ral ral ral ral ral 一般的な誤差構造 (MN モデル ) 鉄道バス自動車ミックストロジット (MMNL) モデル () ral ral ral ral ral ral ral ral ral IID ガンベル分布プロビットタイプのフレキシブルな誤差項ロジットモデルの操作性プロビットモデルの柔軟な誤差構造 η ν
ミックストロジット (MMNL) モデル () ral ral ral f ral ral ral ロジットモデルの操作性 IID ガンベル分布 η は ukow ミックストロジット (MMNL) モデル (3) ˆ f D D op form どうやって推定? シミュレーション法 ral ral Sp: 分布 f(η) に従う乱数 η を発生 Sp: それを用いて選択確率を計算 Sp3: これを D 回繰り返し選択確率の平均値を計算 Sp: それを尤度として最尤推定法により未知パラメータを推定 ミックストロジット (MMNL) モデル () Ns ral ras ras ral ras ras ras ras ras ~ N ras ras ral 自動車バス鉄道 ras ras ras NL モデルとは違う!! ras ミックストロジット (MMNL) モデル (5) Cross-Ns roa roa ral roa ras roa ras ral ras ras ras ras ras ras ras roa ~ N roa roa roa roa roa roa ral roa ras ras 自動車バス鉄道 roa CNL モデルとは違う!! ras ras
ミックストロジット (MMNL) モデル (6) 異分散 ral ral ral ral ral ral ral ~ N Ifao の問題で 一つの σ は に固定する必要あり ral Group Group 嗜好の異質性 : ランダム係数モデル () mal 女性の定数項 :α 男性の定数項 :α + α * mal * 観測異質性 Group * mal 女性のハ ラメータ :β 男性のハ ラメータ :β Group β は母集団で同一 嗜好は母集団で同質と仮定 嗜好には異質性 ( 個人差 ) が存在 * のハ ラメータヘ クトル : Group のハ ラメータヘ クトル : 非観測異質性 アプリオリ マーケットセグメンテーション Group Group Group ral 嗜好の異質性 : ランダム係数モデル () ral ~ N ~ N ral : ukow ral paramr IID ガンベル分布を仮定すれば ML モデル β でも 結局のところ... MMNL モデルも op-form のモデル プロビットモデルや GE モデルでよいのでは? 誤差相関を部分的かつ発見探索的に考える場合は有効 対 MN: 計算負荷が少ない ( 特に選択肢数が多い場合 ) 対 GE: 推定プログラムの変更が容易 ランダム係数モデルとしての意義 個人パラメータの算定 再現性の向上
モデル推定の意義 行動モデルの推定 ~ シミュレーションによる推定と fao の問題 ~ BEhavor Suy for rasporao Graua shool v. of Yamaash 山梨大学佐々木邦明愛媛大学倉内慎也 行動モデルにはパラメータが含まれることが多い m os xp xp jc どのような要因が どのような影響を及ぼすのか不明 現実のデータにもっとも良く適合するようにパラメータ値を決める これを通じて どのような要因が どのような影響を及ぼすのか 等についての仮説検定 j モデル推定の手順. モデルの選定 ネスティッドロジットモデル. 効用関数の特定化 ( 誤差分布のパラメータ ) 説明変数の選定 所要時間 費用 性別 年齢... 効用関数の関数型 m l 3. パラメータ推定. 結果の考察 os m os 点推定量を求める最もポピュラーな方法 右上の式を θ の関数とみなしたものが尤度関数 尤度関数を最大化する θ の値を最尤推定量とするのが最尤推定法 最尤推定法 L x 選択モデルの場合 f が選択確率 個人の選択確率を全員で掛け合わせる MaxLklhoo max f x データ (ab) が得られたとき 全体の平均がいくつとするのがよいか 平均がいくつだったら (ab) が得られやすいか? x
最大化アルゴリズムの考え方 代表的な繰り返し計算法 対数尤度関数の段階的な最大化. 初期値を与える. 初期値周りで勾配 ( 次微分 ) 等を用いて次の推定値の方向を決める 3. 初期値付近のステップサイズを 次微分 次微分を用いて適切に決めて次の推定値を決める. 収束基準 ( 尤度関数の一時微分ベクトル ) を判定し 収束していない場合は 現在の値を初期値として に進む S L x ˆML 尤度関数を最大化 : 尤度関数の一階微分 = を解く Nwo Raphso 法 テイラー展開の 次近似を利用して進める 解の収束が早い ( ステップ数が少ない ) 準 Nwo 法 (BFGS 法 ) ヘッセ行列を逐次近似する. g() H g H: 尤度関数の二階微分ヘッセ行列 g: 尤度関数の一階微分 5 6 シミュレーションによる推定 Ns ral ras ras ミックストロジットモデル ras ras ras ral ras ral f ras ras 自動車バス鉄道 ras ras ras ras ras ral ras ras ras 8
シミュレーションによる尤度計算 f ras ras ras ras ras ral ras Sp: 分布 f(η) に従う ( 準 ) 乱数 η を発生 Sp: それを用いて選択確率を計算 Sp3: これを D 回繰り返し選択確率の平均値を計算 Sp: それを尤度として最尤推定法により未知パラメータを推定 ˆ D D ral ral モデルの特定化と IDENIFICAION の問題 9 パラメータ推定がうまくいかない 収束するとは θ + と θ が同じになる g が になる 収束しない 無限に繰り返す θ が計算不能 局所最適解 見かけ上の最大化 H が存在しない ( 計算できない ) 変数が完全相関変数が効用関数に影響していない関数の近似状況 次関数近似初期値の問題 そもそも推定不可能 推定プログラムに誤り g() 変数が完全相関 mal fmal fmal mal mal mal mal 推定可能なパラメータは3つ 未知パラメータはつ 極めて相関が高い場合には推定できない場合も
そもそも推定不能 最大値において唯一解が求まらない可能性がある ( 最大値となるパラメータベクトルが無数にある ) 例 定数項 ral β β 3 ral β β 3 β β ral つは に固定する R r R C r R R r C R これを満たす組み合わせは無限に存在 R R C C C R 同様に個人属性も つは に固定 C C 3 そもそも推定不能 人も選択していない 例 ) 誰も鉄道を選択していない ral β β β 3 ral 3 β β β とすれば完璧なモデル ( とは?) 同様に ある代替案を選択した人が極めて少ない場合も危険 ral 乱数による最大値計算 ベイズ推定 D 事後分布 D D 事前確率 尤度 ある変数に対して乱数を発生させ その時の関数の値を調べる 単純な乱数だと効率が悪い 尤度関数の値の大きさで 次のパラメータにあたりをつける 尤度分布に基づく乱数を発生できれば その頻度がパラメータの分布になる θ
MCMC 法による推定 平均値も計算可能 Gbbs Samplg 一つを除いて残りのパラメータを固定して条件付き分布を考える あるパラメータの事後分布を求め その分布から次のパラメータをサンプリングする 同様に事後分布から順々にサンプリングする Mropols Hasgs Samplg あるパラメータに対する尤度を計算する パラメータをある方向 ( ランダムに ) に変える 基本的には 尤度が大きくなるようならその方向を採択 尤度が小さくなるようなら 逆方向にパラメータを変える 実際は一様乱数との大小で採択を決定 データ拡大法によるプロビットモデル ベイズロジットモデル 例 平日一日の平均トリップ数が右の表のように与えられる 分散の事前分布を逆ガンマ 平均値の事前分布を正規分布とする 7 6 5 3 メトロポリス法の MCMC で平均値と分散の分布を計算してみる 5 89 33 77 65 39 353 397 85 59 573 67 66 75 79 793 837 88 95 969 3 57 5 89 33 77 3 365 9 53 97 5 585 69 673 77 76 85 89 893 937 98 6. 8. 7. 3.9.5.5 6.6.. 5.5 続く μ σ 前の状態に基づいて (Markov Cha) 新しいパラメータをランダムにサンプリング (Mo Carlo) する この時 μ と σ の平均値は単純に平均で計算可能で 5. と.7 ( まで廃棄 ) ロジット プロビットモデルの MCMC 推定プログラム ( 兵藤 9) 推定例 (MH アルゴリズムでロジット ) lbrary(mcmcpak) ### データファイルの読み込み Da< ra.sv("h://aa.sv"har=re) hh< row(da) ## データ数 :Daa の行数を数える rm < Da[ 6]/; bm < Da[ 9]/; m < Da[]/ ros < Da[ 7]/; bos < Da[]/; os < Da[3]/ rag < marx(row=hhol=); bag < *(Da[3]>=6); ag < rag r < marx(row=hhol=); b < r; < *(Da[]>=) ## 選択結果 h < marx(row=hhol=3) olams(h) < ("" "" "3") for ( :hh){ f (Da[ 5]==) h[] < 999 f (Da[ ]==) h[] < f (Da[ 8]==) h[] < 999 f (Da[ ]==) h[] < f (Da[]==) h[3] < 999 f (Da[ ]==3) h[3] < } pos < MCMCml(h ~ hovar(rm "m" "") + hovar(bm "m" "") + hovar(m "m" "3") + hovar(ros "os" "") + hovar(bos "os" "") + hovar(os "os" "3") + hovar(rag "ag" "") + hovar(bag "ag" "") + hovar(ag "ag" "3") + hovar(r "" "") + hovar(b "" "") + hovar( "" "3") basl="3" bur= mm.mho="rwm" b= B= s=38 vrbos= mm= B=.) plo(pos) summary(pos) ロジット lbrary(baysm) ### データファイルの読み込み Da< ra.sv("h://aa.sv"har=re) hh< row(da) ## データ数 :Daa の行数を数える al < 3 rm < Da[ 6]/; bm < Da[ 9]/; m < Da[]/ ros < Da[ 7]/; bos < Da[]/; os < Da[3]/ rag < marx(row=hhol=); bag < *(Da[3]>=6); ag < rag r < marx(row=hhol=); b < r; < *(Da[]>=) rs < Da[] a < a < b(rmbmmrosbososragbagagrb) < < ra(al a=a = a=a =NLL DIFF=RE bas=3) a < ls(p=al y=rs =) mm < ls(r=5k=) rs < rmpgbbs(daa=a Mm=mm) plo(rs$baraw) plo(rs$sgmaraw) プロビット 兵藤 9 を用いた
ベイズ推定のメリットデメリット メリット 解析的にはパラメータが求まらない複雑なモデルもパラメータ分布が求まる 例 : パネルデータの個人モデルを考慮した階層モデル パラメータの分布がわかる 多峰性の分布になったならばモデル構造を考え直す 参考文献等 入門ベイズ統計学松原望 ベイズモデリングによるマーケティング分析照井伸彦 R による離散選択モデルの推定方法メモ兵藤哲朗 デメリット 時間がかかる MNL の推定 MCMC:5 秒最尤推定 :7 秒 パラメータの分布が収束しない場合もある