Matr ad summato covto Krockr dlta δ ( ) ( ) prmutato symbol k (v prmutato) (odd prmutato) (othrs) gvalu dtrmat dt 6 k rst r s kt opyrght s rsrvd. No part of ths documt may b rproducd for proft.
行列 行 正方行列 要素 [ ] (,,, ) 列 行列 (matr) の列の行列 ( 次の列ベクトル ) a [ ] a a a a の行の行列 ( 次の行ベクトル ) T a [ a ] T [ a a ] a
行列 ( 列ベクトル ) の表記 行列 [ ] 行列の要素 (,,, ) 列ベクトル a [ ] a a a a 列ベクトルの要素 a (,,)
行列の和とスカラー倍 和 c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c スカラー倍 ( ) c : スカラー ) ( 4
行列の積積 第 行第 列 (,) 要素 ( ) k k k ( ) k k k 積の (, ) 成分行列 の第 行行列 の第 列行列 の第 行要素とそれに対応する行列 の第 列要素の積の和 5
行列のべきと演算法則 行列のべき 行列の和 行列の積 交換法則 交換法則 ( ) ( ) 結合法則 ( ) ( ) 結合法則 行列のスカラー倍 ( c ) ( c ) c ( ) ( ) ( ) 分配法則 6
転置行列 [ ] 転置 行と列を入れ替える T [ ] T [ ] a a [ ] a T a [ a ] T [ a a ] a a 転置 a T T T ( ) 転置行列 (trasposd matr) 7
対称行列と逆対称行列 対称行列 T ( ) ( ) ( ) 対称行列 (symmtrc matr) 独立な成分は 6 個 逆対称行列 T ( ) ( ) ( ) 逆対称 ( 反対称 ) 行列 (atsymmtrc matr) 独立な成分は 個 8
トレースと単位行列, 零行列 トレース tr 単位行列 ( 恒等行列 ) 単位行列の性質 I I I I I I I (,,) 零行列 零行列の性質 O O O O O O 9
クロネッカーのデルタと置換記号 (,,, ) クロネッカーのデルタ δ ( ) ( ) δ δ δ δ δ δ δ δ δ 置換記号 (,, k ) が (,, ) k (,, k ) が (,, ) (,, k ) の偶置換のとき の奇置換のとき のうちつ以上が等しいとき
置換 個の文字を同じ 個の文字に対応させる変換のこと ( 個の文字の並べ替え ) 文字の置換 恒等置換 逆置換 ある置換と逆の文字を対応させる置換
置換の符号 置換の符号 置換の上段の数が大きさの順に並んでいるとき, 下段の数字の大小をすべて比較する. そして, 下段の数字の並びについて, 左側の数字の方が右側の数字より大きい場合の数が偶数となる置換を偶置換 ( 符号 ), 奇数となる置換を奇置換 ( 符号 ) と定める. 置換符号の例 sg ( > ) ( < ) ( > ) 個 偶置換 sg ()
クロネッカーのデルタと置換記号の性質と使用例 クロネッカーのデルタ 置換記号 δ δ k k k k k k 使用例 ( 単位行列とそのトレース ) k I [ ] δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ (,,, ) tr I δ
行列式 ( 置換記号を用いた表現 ) 6 dt kt k r s s t r rst k 6 dt kt k r s s t r rst k 参考 ( 正方行列の場合 ) dt 4
小行列式と余因子 小行列式余因子 M M 除去除去元の行列から 行と 列を除いた (-) (-) 行列の行列式 ( ) M ( ) M 5
行列式 ( 余因子を用いた表現 ) 第 行で展開した場合 dt dt ( ) ( ) 第 列で展開した場合 dt 6
行列式の余因子展開の例 の行列式を第 行で展開した場合 ( ) ( ) ( ) dt ( ) ( ) ( ) dt 7
行列式の性質 ( その ) 行列式の行と列を交換してもその値は変わらない. どの行で展開してもどの列で展開しても行列式の値は変わらない. ある行 ( または列 ) の要素がすべて ならば行列式は である. T dt dt dt 第 行第 列 8
行列式の性質 ( その ) 行列式の任意の 行 ( または 列 ) を交換すると, その値は符号だけ変わる. 第 p 行 第 q 行 p q p q p q q p q p q p 行列式の つの行 ( または列 ) のすべての要素に同一の数をかけて得られる行列式の値は, もとの行列式の値にその数をかけたものに等しい. c c c c 行列のスカラー倍とは違うことに注意 9
行列式の性質 ( その ) つの行 ( または列 ) の対応する要素が比例しているならば, 行列式は である. 行列式の任意の行 ( または列 ) のすべての要素に同じ数をかけて, これを他の行 ( または列 ) の対応する要素に加えても行列式の値は変わらない. c c c c p q p q p q p c q q p c q q p c q q
逆行列 dt dt ( ) M 余因子 正方行列の逆行列余因子の添字に注意 ( と が逆になっている ) I I
正則行列と直交行列 正則行列 行列式が でない行列 逆行列が存在する dt 直交行列 転置行列が逆行列になる行列 T T
固有値と固有ベクトル ( その ) 固有値 正方行列の場合 固有ベクトル 固有値と固有ベクトル 上式を満たすベクトル は, 行列 の作用をスカラー を乗ずることと同じ働きにしてしまう特別なベクトル.
O () () y () ( () ) y () O () () y () ( () ) y () 固有値と固有ベクトル ( その ) 線形変換 y でベクトル として特定の向きのものを取ると,y a と同様の比例関係を持つことになる. 固有値と固有ベクトル線形変換 y y y y y y ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (, y y y y 固有ベクトル 倍 ( 固有値倍 ) 4
特性方程式の導出 ( その ) 正方行列の場合 ( ) I ( ) I 零ベクトル 5
特性方程式の導出 ( その ) 正方行列の場合 ( I ) が非自明の解を持つためには 特性方程式 ( I ) dt 固有値,, ( 零ベクトルは固有ベクトルとみなさない ) dt dt または,, 6
対角化の条件と方法 ( その ) 対角化の条件 次の正方行列 が対角化できるための必要十分条件は, が線形独立な 個の固有ベクトルを持つことである. 固有ベクトルの番号 () () () () ( ) ( ) ( ),,, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 大きさが 対角化の方法 ベクトルの成分 特性方程式を解いて, 固有値とそれに対応する固有ベクトルを求める.,,, () ( ) ( ),,, 7
対角化の条件と方法 ( その ) 固有ベクトルを列ベクトルとして並べた行列 Q を作る. () ( ) ( ) [ ] () ( ) ( ) () ( ) ( ) () ( ) ( ),,, Q その逆行列 Q - と と Q の積 Q - Q を求める. Q Q Q が直交行列の場合で対角化 ( ) Q Q Q Q T 8
対角化に関する説明 ( その )( 正方行列の場合 ) つの列ベクトル (), (), () からなる行列 Q で行列 が以下のように対角化できたと仮定する. () ( ) () [ ] () ( ) ( ) () ( ) ( ) () ( ) ( ),, Q Q Q Q Q 上式の左から行列 Q をかける. 9
対角化に関する説明 ( その )( 正方行列の場合 ) 両辺の行列を列毎に比較すると以下の 式が得られる. () ( ) ( ) [ ] () ( ) () [ ] () ( ) ( ) () ( ) ( ) () ( ) ( ) () ( ) ( ) [ ],,,,,, () () ( ) ( ) ( ) ( ) 固有値固有ベクトル
総和規約 例 : ベクトルやテンソルの成分, それらの積や ( 偏 ) 微分 総和規約 同じ指標が任意の表示式内に 回現れたとき, その指標について自動的に,, と総和されるとし, 総和記号 Σ は省略される. 総和を取る場合は, 表示式中に同じ指標が 回以上現れないように注意する. 自由指標と擬指標 同じ指標が 回以上現れる場合に総和を取る場合は, 総和記号 Σ を省略しない. 自由指標 : 総和が取られない指標 ( 生きた指標 ). 擬指標 : 総和が取られる指標 ( 死んだ指標 ). * 任意の文字で指標の置き換えが可能 適用例 tr tr
総和規約を用いた表現 ( その ) 行列の積の要素行列式 kt s r rst k 6 dt kt s r rst k 6 dt ( ) k k ( ) k k 行列の積のトレース k k k k δ tr k k k k δ tr
総和規約を用いた表現 ( その ) つの列行列の間の線形関係 y y y y y クロネッカーのデルタと置換記号の関係 p q δ δ δ δ δ pq p rsp r s s r 直交行列 T QQ I T Q Q I Q kq Q k δ QkQ Q k δ T Q Q
総和規約を用いた表現 ( その ) ベクトルの大きさの 乗 ( ) 左辺には が一度しか出てこないため, 総和規約が適用されない. 偏微分 δ,,, δ と を等しくすると総和規約が適用される. 4
総和規約を用いた表現 ( その 4) 行列の対角成分の和の 乗 ( ) ( ) 括弧の有無によって結果が変わる. 行列の対角成分の 乗の和 5
総和規約を用いた表現 ( その 5) ベクトルの大きさの 乗の積 ( )( ) ( ) 総和規約を各添字 ( あるいは ) に対して個別に適用してから式を展開した場合総和規約が適用されるすべての量に一度に規約を適用して式を展開した場合方法 方法 4 4 4 4 4 4 6
総和規約を用いた表現 ( その 6) 行列のトレースの積 ( )( ) 方法 総和規約を各添字 ( あるいは ) に対して個別に適用してから式を展開した場合 方法 総和規約が適用されるすべての量に一度に規約を適用して式を展開した場合 7
ケーリー ハミルトンの定理 行列 のべき乗は,I, I, I で表される量を係数とした,, I, の線形結合によって表すことができる. 正方行列 ([ ]) について以下の恒等式が成り立つ. I I I I tr ( ) {( tr ) tr( )} ( ) dt 6 k I rst I r s I kt 8