数学 第 9 回方程式とシンメトリ - 010/1/01 数学 #9 010/1/01 1 前回紹介した 次方程式 の解法は どちらかというと ヒラメキ 的なもので 一般的と言えるものではありませんでした というのは 次方程式 の解法を知っても 5 次方程式 の問題に役立てることはできそうもないからです そこで より一般的な別解法はないものかと考えたのがラグランジュという人です ラグランジュの仕事によって 方程式とシンメトリーの関係が見えてくるようになります 1. 次方程式の別解法 まずは第 7 回で少しお話した 次方程式 x px q 0 の 別解法 を思い出してみましょう この方程式の解を α β として 非対称式 X=α-β を考えます 解がわからないと式 X の値を計算することはできませんが 乗すると X =(α-β) =(α+β) -4αβ と 対称式になります 対称式というのは 着目している変数に対するすべての置換操作で変化がない 式で 特に方程式の解を変数とする対称式は その方程式の係数 ( 基本対称式 ) で表わすことができる のでした つまり 解と係数の関係 を使えば p q X =p -4q となるので 両辺の平方根をとれば結局 X=α-βの値が X p 4q となることがわかり p p 4q という連立方程式を解いて 次方程式の解もわかるということでした 1
数学 #9 010/1/01 では 非対称な式 Xを 乗すれば対称式になる理由はなんでしょう 式 Xに対して互換 (αβ) を操作した式をYとすると X Y=β-α=-X と 確かに X とは違う式となりますが その違いはと言えば X に -1 を掛けているだけのものです -1 を 乗したら 1 だから X を 乗したものを置換しても変化なしとなるわけです ちょっとまとめてみましょう 次方程式にはつの解 αとβがある αとβの置換は 恒等置換 Iと互換 (αβ) のつだけで このつは群である 非対称な式 X=α-βに対して解の置換操作をするとつの異なる式になる その値は 解がわからない限り未知である Xを 乗するとシンメトリックな式 X =(α-β) となる この式に対して解の置換操作をすると ただ1つの値 Aになり その値 Aは解がわからなくても計算できる ( 方程式の係数で表すことができる ) X= A から解が計算できる ここでポイントはシンメトリックでない式を 乗 という簡単な計算でシンメトリックにして その結果 値が計算できるようになることです この考え方を 次方程式に適用してみましょう. 次方程式の別解法 一般的な 次方程式 x px q 0 を考え 解を α β γ とします 解と係数の関係は 0 q p となります さて ここで非対称式 X= というのを考えます なぜこんな式を考えるのかというと 次方程式のときには非対称式として
X=α-β=α+(1 の原始 乗根 ) β 数学 #9 010/1/01 というのを考えたから その真似だと思ってください さて この式に解の置換 ( 全部で 6 個 ) を操作してみると (1) 恒等置換 I =X () 巡回置換 (αβγ) ( ) =ω X () 巡回置換 (αγβ) ( ) =ωx (4) 互換 (αβ) ( ) =ωy (5) 互換 (αγ) ( ) =ω Y (6) 互換 (βγ) =Y となって 6 つの異なる式が得られますから式 X は完全に非対称です ( ここで 互換 (βγ) で得られ る式を Y としました ) しかし 次方程式の場合と似ているのは 置換の結果 1 の原始 乗根 ω が X と Y に掛け算されて現れるところです そこで 次方程式と同様 この式を 乗してみます X = ( ) この式に α β γ の 6 つの置換を操作すると 今度は (1) 恒等置換 I X = ( () 巡回置換 (αβγ) X () 巡回置換 (αγβ) X (4) 互換 (αβ) Y = (5) 互換 (αγ) Y (6) 互換 (βγ) Y ) ( ) となって 次方程式のように1つの対称式とはいきませんが 6つの置換によってX とY という つの式だけが得られます しかも X Y はともに巡回置換操作に対して不変 つまり 巡回シンメトリー を持つ式であることに注意してください ( 練習問題 ) とはいうものの X とY は対称式ではありませんから このままでは値を計算できません しかし X とY についての対称式 例えば X +Y とか X Y はどうでしょう? X とY で何か式を作ったとしましょう もちろんその式はα β γの式でもあるわけですが この式に対して α β γの6つの置換操作を行うと 式中のX とY は そのまま か X とY が置き換わる かのどちらかしかありません ですから X とY の対称式は 同時にα β γの対称式でもあることになります ということは結局 第 7 回で説明した ニュートンの定理 により X とY の対称式は元の 次方程式の係数で表わせるはずです ( 実際にやるとなるとかなり面倒な計算に
なりますが ) 数学 #9 010/1/01 4 さて そうなると前節のやり方で C=X -Y という式を考え これを 乗しますと C =(X +Y ) -4X Y となって X +Y と X Y は変数 X とY について対称式ですから 上で述べたように方程式の係数で書くことができるはずです すると前節のやり方でX とY の値がわかりますから その 乗根をとればXとYの値もわかります この値をX=A Y=Bとしましょう こうして最後に連立方程式 A B 0 を解いて 元の方程式の解がわかるという寸法です ( 連立方程式を解くには 1 の原始 乗根の性質 ω =1 1+ω+ω =0 を使えば計算が楽です 練習問題 ) 今の筋書きをまとめると 次方程式にはつの解 α β γがある 解の置換は6つあり これらは群である 非対称な式 X= は 解がわからない限り未知である Xを 乗すると巡回シンメトリーをもつ式 X = ( に対して解の置換操作をすると 6 つの異なる式 ( 値 ) になる その値 ) となる この式に対して解の置換操 作をすると つの式 X とY が得られる しかし その値は解がわからないと計算できない (X ー Y ) は解の対称式で 値を計算できる ( 方程式の係数で表すことができる ) この筋書きのポイントは 次方程式には 解 α β γ の全置換操作に対して 通りの値 A と B しかとらない ウマイ 式がある というところにあります 4
数学 #9 010/1/01 5 この解法は 実際に解を求めるのには適していませんが 解の求め方が存在することを言うには有効 なやり方です そこで 4 次方程式 についても解法をみてみましょう.4 次方程式の別解法 一般的な 4 次方程式を x 4 px qx r 0 とし 解を α β γ δ とします(4 次方程式でも 次方程式と同様に 未知数の 次の項を消すことができます ) この4 次方程式の 解と係数の関係 は 0 p q r となります さて 4 次方程式の場合も 1の原始 4 乗根 i 1 を使って X i i i i i という式からスタートしてもいいのですが もっと簡単に X= ( ) ( ) というのが ウマイ 式となります この式には I (αβ) (γδ) (αγ) (βδ) (αδ) (βγ) という 4 つの置換で変化がないというシンメトリーがあります ( この 4 つの置換は群になりますが ち ゃんと名前が付いていて クラインの 4 元群 といいます ) ちなみに このシンメトリーを正 4 面体 で表すと という 向かい合う辺を結ぶ線 ( 全部で 本 ) を 180 度回転軸とする回転シンメトリーが対応します さて 式 X に解 α β γ δ の 4 個ある全置換を操作すると 5
X=(α+β)-(γ+δ) 数学 #9 010/1/01 6 Y=(α+γ)-(β+δ) Z=(α+δ)-(β+γ) という つの式だけが得られることがわかります (α+β+γ+δ=0 に注意 ) そうすると この つの式で X+Y+Z などの対称式をつくれば 同時に解の対称式でもありますから これらは方程式の 係数で表すことができます そこで u X Y Z という式を考えましょう すると 4 個の全置換を式 u に操作することによって 6 つの異なる式が得 られます 後は前節の 次方程式の解法を忠実になぞるだけです つまり 解の置換に対して u 通りの式 u と v (u ー v ) 解の対称式 / 値を係数で表せる となって 最終的に 4 次方程式の解を得ることができます ( 練習問題 ) 今の筋書きをまとめると 4 次方程式には4つの解 α β γ δがある 解の置換は4 個あり これらは群 (4 次置換シンメトリー群 ) 対称群である 非対称( ただし部分的にシンメトリック ) な式 X= ( ) ( ) に対して解の置換操作をすると つの異なる式 ( 値 )X Y Zが得られる その値は解がわからない限り未知である 式 Xのシンメトリー度は4 X Y Zで巡回シンメトリーを持つ式 u ( X Y Z) を作ることができる この式に解の置換操作をすると つの式 u と v が得られる (u -v ) は解の対称式で 値を計算できる ( 方程式の係数で表すことができる ) 6
4.5 次方程式の解法? 数学 #9 010/1/01 7 さて この調子で 5 次方程式も解けるのではないかと考えたいところです 一般的な 5 次方程式を x 5 px qx rx s 0 とし 解を α β γ δ ε とします そして X= 4 という式を考えます ( ただし この場合のωは1の原始 5 乗根とします ) ところが 残念ながらこの式ではダメなことがわかります ( この式を5 乗したものに解の置換 (10 個 ) を操作すると 4 個の異なる式が得られますが これは4 次方程式を解くことに相当します 5 次方程式を解きたいというのに4 次方程式を解けというのでは本末転倒です ) では 別のタイプの ウマイ 式を探さねばならないということで ラグランジュは ウマイ 式の満たすべき一般的性質など調べて 後世に残る重要な結果をいろいろ発見しました そのまま続けて 5 次方程式には ウマイ 式が存在しない ことを証明すれば 大問題 に決着をつけたのはラグランジュということになったのですが なぜか途中で方程式の研究をやめて 他の研究に行ってしまいました そのあと ラグランジュの仕事を継いで 5 次方程式に解の公式が存在しない ことをルッフィニという人がほぼ示し そしてアーベルという人が完全な証明を行いました 7
練習問題 数学 #9 010/1/01 8 1 式 Y = ( ) が巡回シンメトリーを持つことを示して下さい 連立方程式 A B 0 を解いてください 4 次方程式の解を得るプロセスを示して下さい 8