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1 医用画像処理学 (1) 総論と基本概念 (1) ( 教科書 pp.1-14) 有村秀孝

2 医用画像処理の目的 画像を見やすくするため => 人間の視覚機能の拡大例 : 画質改善 ( ノイズ除去 エッジ強調処理 対象物強調 ) 画像の中から有益な情報を引き出すため => 視覚機能の代行例 : パターン認識技術などを用いて 専門家 ( 医師 ) の診断支援を行う 分かり易く見せるため => 視覚機能に訴える例 : 診断しやすい3 次元表示 ボリュームレンダリング MIP 処理

3 放射線治療における医用画像処理の目的 患者体内の情報の可視化 形態と機能, 線量分布, 患者セットアップ, 腫瘍 有効な情報の抽出 DVH(dose volume histogram), 腫瘍位置 分かり易くみせるためのアプローチ 治療計画,Beam s eye view,3 次元サーフィスレンダリング 3

4 医用画像処理学体系と放射線治療 イメージング技術 4D-CT,CBCT,MV-X 線,kV-X 線撮像, PET/CT, MR/CT 医用画像 ( 治療計画 CT, kv-ct, MV-CT, MR, PET, SPECT, EPID など ) パターン認識 腫瘍位置決め, 動画像解析, 解剖学的な部位決め ヒストグラム解析, テンプレートマッチング, レジストレーション, オプティカルフロー 画像変換 位置合わせのレジストレーション, 治療計画フュージョン, ポータル線量画像 等方ボクセル化, レジストレーション, フュージョン, ピクセル値線量変換 コンピュータグラフィックス 治療計画, シミュレーション, 線量分布表示 レンダリング, モデリング 領域抽出 GTV,CTV,OAR 抽出, 治療計画正常組織領域抽出, 解剖学的な部位決め 対象物強調, ニ値化処理, 領域抽出 4

5 どちらが見やすい画像か? 画像石 ( 不老不死の神西王母 中国 東京国立博物館 )

6 なに?

7 ん?

8 おおお! ( でも, なぜ? 言えることは?) 例 : 見方を変えると見たいものが見えてくる ( 画像処理の効果 )

9 階調変換 明るさとコントラスト ( 明るさの差 ) を変えることができます 暗い 低コントラスト明るい 高コントラスト 明るい 輝度 輝度明るい C2 C1 暗い D ディジタル値 暗い D ディジタル値

10 画像のパターン認識 見たもの ( 画像 ) を 記憶 の中にある 意味のあるパターン に対応づけをし 見たものを認識する処理 良性 悪性

11 Effect of Dot-Enhancement Filter Aneurysm Original image Enhanced aneurysm Dot-enhanced image

12 3 次元 MR 画像における脳動脈瘤の検出 動脈瘤

13 画像処理の利点 現在は 医療では X 線写真フィルム健在というのは, 今は昔 しかし CR (computed radiography), フラットパネルディテクター (flat panel detector; FPD) などのディジタル画像検出器に移行しつつある フィルムレス化

14 画像の種類

15 画像処理技術

16 ディジタル化 ( サンプリングと量子化 ) ( 量子化を行う方向 ) アナログ値 音階 または 濃淡 ディジタル値 時間または距離 0 ( サンプリングを行う方向 )

17 ディジタル化 あるアナログ信号 ( ある物理量 ) をサンプリング ( 標本化 ) し, 量子化することに よってディジタル化が行われる. サンプリングあるアナログ信号 ( 例 : 脳波,X 線エネルギー分布 ) を一定間隔 ( 時間または空間 ) で測定すること 一定時間または空間間隔をサンプリング間隔という サンプリング間隔はサンプリング定理に従って決める 量子化各サンプリング点のアナログ値 ( 測定値 ) を, 一定間隔で分割された有限個のレベル ( 例 :8ビットなら0から255までの256 段階のレベル ) の何処かに割り当てること.analogto-digital (A/D) 変換に相当する.

18 コンピュータで扱う情報量の単位 ビット (bit) : ほとんどのデジタルコンピュータが扱うデータの最小単位.binary digit (2 進数字 ) の略.2 進数の1 桁で,2 通りの状態を, 0 と 1 で表記される. 問題 :10 進数の0から15までを16 進数と2 進数で表しなさい. 10 進数 16 進数 2 進数 (4 bits) A B C D E F ビット =1 バイト (Byte) 1024 バイト =1 KB

19 次のアナログ信号を量子化テーブルを使って量子化しなさい アナログ信号 10 進 2 進 量子化テーブル アナログ値 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 時間または距離 Δx=x i -x i-1 : サンプリング間隔 ディジタル値 (3) 11 (2) 10 (1) 01 (0) アナログ値

20 答え アナログ信号 10 進 2 進 量子化テーブル アナログ値 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 時間または距離 Δx=x i -x i-1 : サンプリング間隔 ディジタル値 (3) 11 (2) 10 (1) 01 (0) アナログ値 ディジタル信号アナログ信号 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 値ディジタル

21 連続関数 f( x) (x 線写真 心電図 ) が持つ最高周波数が U であるとき または U 以下に 帯域制限されているとき,Δx<1/(2U) となる x で f(x) をサンプリングすると f(x) に含ま れる全ての情報は保存される サンプリング周波数 :1/(Δx)=fs ナイキスト周波数 :1/(2Δx)=fs/2 サンプリング間隔, サンプリング周期 :Δx f x m m f sinc x m 2U 2U サンプリング定理 シンク関数 sinc x sin( x) x

22 フーリエ級数展開 (Fourier series expansion) の概念 周期的な連続信号 ( 周期関数 ) は 基本 ( 角 ) 周波数 ( 最低周波数 ) を ω として その整数倍 (integral multiple) の周波数の多くの単純な波 (sin 波, cos 波 ) を足し合わさることによって 表現 できる a0 f ( t) 2 { a n 1 n cos( ntb n sin( nt} a 0, a n, b n を求め 上記式を使って 連続信号 f(t) を単純な波で表現することをフーリエ級数展開と言います 偶関数と奇関数のフーリエ級数はそれぞれ cos 波 ( 余弦波 ) または sin 波 ( 正弦波 ) だけで表現される 不連続点を持つ関数のフーリエ級数では Gibbs 現象が生じる (1) フーリエ係数 (Fourier coefficients) の求め方 連続信号の周期を T とすると フーリエ係数を次式を使って求めることができる a a b 1 T 0 T f ( t) 0 n n 2 T 2 T T 0 T 0 dt f ( t)cos( nt) dt f ( t)sin( nt) dt (2) (3) (4) a0 は 波の平均値です an と bn は n で決まる周波数の cos と sin の振幅です cos 波と sin 波の直交性 (orthogonality) を利用したテンプレートマッチング 22

23 フーリエ級数展開の概念

24 フーリエ変換 (Fourier transform) フーリエ変換 : 絶対可積分 (absolutely integrable) の任意の関数 ( 非周期でもOK) に対して それぞれの ( 連続 ) 周波数に対する振幅を求めることができる 実空間の関数から周波数空間の関数に変換 F( f ( x) ei x dx 1 f ( x 2 フーリエ逆変換 (Fourier inverse transform): フーリエ級数展開の拡張 (Extended Fourier series expansion) 任意の関数 (arbitrary function) は 単純な波 exp(iωx)=cos(ωx)+isin(ωx) で表現できる 周波数空間の関数を実空間の関数に逆変換 できる フーリエ逆変換 F( ) e ix d DFT(discrete Fourier transform; 離散フーリエ変換 ): 実際にフーリエ変換をコンピュータで計算するときに用いる サンプリングしたディジタル信号に適用する 周期関数を仮定 したがって フーリエ変換後も周期関数となる DFTの高速な計算アルゴリズムはFFT(fast Fourier transform) DTF 逆 DFT フーリエ変換 F f k n N 1 n0 f 1 1 N N k0 n e F k 2 i kn N e 2 i kn N 任意の関数 フーリエ変換 周波数ごとに分解される A prism splits visible light into the colors of the spectrum. 24

25 f フーリエ変換の例 FT 2a F( ) a f(x) F(ω) a x ( x 2 2 e f 1 ( x ( x d) 2d x FT ω sin( d) F( ) sin c( d) d f(x) 1/(2d) 1 -d f d -2π/d -π/d π/d 2π/d FT ( x( x) F( ) 1 ω δ(x) 1 ω 25

26 画像のフーリエ変換 フーリエ変換の例 ( つづき ) ガウス関数のフーリエ変換はガウス関数となる 26

27 1 ( ) f ( x) f ( x ) dx T フーリエ変換の応用 自己相関関数 (autocorrelation function) パワースペクトル 1 P( ) F( T 2 ウイナーヒンチンの定理自己相関関数 φ(τ) とパワースペクトルP(ω) はフーリエ変換対の関係にある P ei FT ( ( ) d ( ) P( e i d パーシバルの定理 実空間でのエネルギーと周波数空間でのエネルギーは等しい f ( x) 2 dx F( d 27

28 畳込み積分と線形システム 関数 f(x) と h(x) との畳込み積分 (convolution) τ:x 方向の移動量 f ( x) h( x) f ( ) h( x ) d 線形システムの条件 g( x) L[ f ( x)] 加法性 : L [ a f ( x) a f ( x)] a g ( x) a 1 x 定常性 :L[ f ( x )] g( x ) g ( ) f(x) 線形システム PSF h(x) g(x) 線形システム応答を畳込み積分で表現 g( x) f ( x) h( x) FT G( ) F( ) H( ) ここで f(x) としてインパルス (δ 関数 ) を入力すると 出力はG(ω)=H(ω) となり システム伝達関数 ( 周波数応答関数 ) H(ω) が求められる 画像の分野では H(ωはMTF(modulation transfer function) と呼ばれ h(x) は点広がり関数 (point spread function) と呼ばれる 28

29 畳みこみ積分の例

30 MTF の概念

31 画像処理におけるフィルタ処理 ( 畳込み積分 ) h1 h2 h3 h4 h5 h6 h7 h8 h9 フィルタ h 出力画像 g f h 9 i1 fih 10 i g g f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8 f9 平均化フィルタ 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 Prewitt フィルタ (x 方向 ) 入力画像 f Laplacian フィルタ ( 二階微分 ;second order differential) Sobel フィルタ (x 方向 ) 近傍 4 近傍

32 エリアシングエラー 実空間 周波数空間 Δx でサンプリングすると, サンプリング周波 数は 1/Δx=fs. 標本化関数 ナイキスト周波数 :fs でサンプリングしたとき の再現される最高周波数 1/(2Δx)=fs/2 信号の最高周波数 U < 1/(2Δx) ならば エリアシングエラーは起こらない. 重なったところでエリアシングエラーが起こる

33 練習問題 ( 問 1) 下の信号をサンプリングする場合 サンプリング間隔を幾らより小さくするべきか? 振 4 幅 (msec) ( 問 2) 信号の周波数域 20Hz~80kHz サンプリング間隔は? ( 問 3)2 進数 を D / A 変換したところ 2.55V になった この D / A 変換器で を変換すると何 V が出力されるか? ( 問 4) 人間の耳は 20kHz の音が可聴域の上限 ( 最高周波数 ) だと言われています ここで ある歌手 ( アーティスト?) の 4 分間の曲を適切にサンプリングし それぞれのサンプリング点を 16 ビットで量子化したディジタルの曲を CD に記録することを考えます この曲には最低何キロバイト必要でしょうか?

34 解答 ( 問 1) U = T 1 = 40 1 x< = 20(ms) ( 問 2) 1 x< 2u x より より小さい ( 問 3) 2 8 1=255 (10) 2.55 = =0.02(v) 255

35 解答 ( 問 4) 人間の耳は 20kHz までしか聞こえないので 曲の最高周波数を 20kHz とします したがって サンプリング間隔は 1 3 2*20*10 4 分の曲をこのサンプリング間隔でサンプリングすると サンプリング点数は 4* * 20*10 1 個のサンプリング点のデータ量は 16 ビットなので 2 バイト したがって 全体のデータ量は 4*60 1 2* 20*10 3 * kB

36 サンプリング定理の応用 ー Sinc 関数近似による補間法を用いた等方ボクセル変換 (isovoxel transformation) ー f x y, z f x, y, z sinc ( x x)sinc ( y y)sinc ( z ) 0, z x y z z4 z3 z1 z2 y1 y2 y3 求めたい点 : (x 0,y 0,z 0 ) y4 x1 x2 x3 x4 (H20 年度卒研生中村君作成 )

37 Sinc 関数 3 次近似 (third order approximation) Sinc 補間による等方ボクセル化 Ux Ux x 2 2 sin ) sinc( x x x x x x x x x ) sinc( (H20 年度卒研生中村君作成 )

38 Sinc 補間と線形補間の結果 (a) Original (b) Cubic - Linear (c) Cubic Interpolation (d) Linear Interpolation (H20 年度卒研生中村君作成 )

39 ディジタル化 ( サンプリングと量子化 )

40 ディジタル化 ディジタルとは 状態を示す量を数値化して処理 ( 取得 蓄積 加工 伝送など ) を行う方式 アナログが 坂道 で ディジタルが 階段 つまり アナログはなめらかで ディジタルはガタガタです アナログ写真の濃淡の種類は無限 しかし ディジカメでは たったの 256 種類! だから CM で ディジタルだから 画像がきれい というのはおかしい ただし 劣化に強い ディジタル画像だと, 思い出は色あせない... 色あせた方が良い思い出もある? ディジタルデータは 基本的には 0と1を使って表現されます たとえば 音楽 CDなら 穴が有る なら 1 で 穴が無い なら 0 という感じです ディジタル人間は白黒はっきりを好む 合理的 論理的 アナログ人間はグレーなところ 曖昧さを好む 感覚的 感情的

41 ディジタル画像 X 線エネルギー分布 FPD X 線光子 -> 電子 正孔対 -> ディジタル化 ディジタル画像

42 画像の標本化と画素

43 X 線画像作成 ( 撮影 ) X 線 管 被写体 X 線検出器 X 線 骨筋肉血管肺空気 白白っぽい灰色黒

44 Flat Panel Detector ( 医療用ディジタル画像検出器 )

45 Flat Panel Detector ( 医療用ディジタル画像検出器 )

46 Flat Panel Detector ( 医療用ディジタル画像検出器 ) 間接変換方式と直接変換 方式とで どちらがぼけの 少ない画像になるか? 間接変換方式 直接変換方式

47 X 線 -> 光 間接変換方式 ボケが有る FT 低画質な画像 距離 周波数 高周波数成分が少ない X 線 -> 電子 直接変換方式 δ(x) ボケが無い F T 1 高画質な画像 高周波数成分が多い

48 サンプリングの効果 画像の場合 一定距離間隔をピクセルと言います どの程度まで細かいところが見えるか ( 空間の解像度 ) が決まります 例えば 肋骨 (1.6cm くらい ) が見えるかどうか ピクセルサイズ 8mm ではぎりぎり見えるが 32mm では見えなくなる 256 ピクセル x 2 mm 64 ピクセル x 8 mm 16 ピクセル x 32 mm 256 x 256 細かい間隔 64 x x 16 粗い間隔

49 ディジタル画像 ( 量子化 ) 量子化ビット数が多いほど 多くの階調数を表現できる

50 量子化の効果 量子化によって 濃淡の種類の数が決まります 例えば 低いコントラストの肋骨が見えるかどうか 2 ビット画像では濃淡の種類が 4 つしかないので ほとんど見えなくなる 濃淡の種類の数 = 256 (8 ビット ) 細かい濃淡 濃淡の種類の数 = 16 (4 ビット ) 濃淡の種類の数 = 4 (2 ビット ) 粗い濃淡