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1 暫定版修正 加筆の可能性あり ( 付録 ) 屈折率と誘電率 (1) 1. 屈折率の考え方 2. 分極電流と円電流 3. 分極振動と電流密度 4. アンペールの法則の修正 5. 複素電気感受率 6. 補足 : 世界観 ( 実空間と複素空間 ) 注意 : 整理しましょう! 前回 : 付録 (41) のアプローチ 1. 電子振動子模型を利用して媒質を電気双極子の集団としてモデル化 2. 薄いシート媒質中の分極振動 ( 電気双極子の集団運動 ) による電気双極子放射を考慮 3. オリジナル光と電気双極子放射光との間で起きる干渉 ( 重ね合わせ ) で位相遅れ ( 屈折率 ) と損失のメカニズムを説明 4. 位相遅れ ( 屈折率 ) と損失は同一現象 ( 分極振動 ) を起源とする 5. 説明省略 : 位相遅れ ( 屈折率 ) と損失は相互依存関係にある ( クラマース クローニヒの分散公式 ) 今回 : 付録 ( ) のアプローチ 1. 電気双極子放射は考慮しない 位相遅れ ( 屈折率 ) と損失のメカニズムについて説明はしない 2. 媒質中の誘電率を定義して屈折率と損失を媒質固有のものと考える 3. 定義の仕方 : 誘電率 ( 電気感受率 ) を複素数として扱い 屈折率と損失をそれぞれ実部と虚部に対応させる 4. 複素誘電率扱いのため振動電場も複素数扱い 5. 同じ物理現象を別の角度から考察 ( 教科書的なアプローチ ) 411-1

2 薄いシート状の物質を透過する光 平面波近似 入射側 説明 1. 入射光波の振動電場 E が電子振動の強制力となる 2. シートに含まれる分極が集団として振動を開始 ( 同位相 ) 3. 各分極が双極子放射 シート透過後の光波 1. 双極子放射に寄与しなかった 透過オリジナル光 と 双極子放射光 の和 オリジナル光 出射側 透過オリジナル光 + 各双極子放射 ご注意 1. 双極子放射光 は四方八方に拡がるけれども 今回は出射側のみに注目する 2. 境界面での反射は後方双極子放射光による ( 詳細省略 ) 3. 出射側の ある一点 で考えるなら 光波は 透過オリジナル光 と様々な角度から届く 双極子放射光 の 積分的な 和となる 411-2

3 屈折率の考え方 : 比較 出射側 各双極子放射透過オリジナル光波数 : 真空中 ( 添字 : 零 ) 透磁率 ( ) = C sin ( ) + B cos( kz) E z t k z t k = = c 前回のモデル : 分極振動による双極子放射の影響を考慮 入射光波 ( オリジナル光 ) の振動電場 E が電子振動の強制力となる 分極振動 : シートに含まれる分極が集団として振動を開始 双極子放射を利用して 位相遅れ と 損失 を説明 光速 角速度 誘電率 今回のモデル : 教科書的なアプローチ 分極振動で位相おくれ ( 屈折率 ) や損失が発生することを事実として受け入れる 誘電率 ( 電気感受率 ) を定義して分極振動による位相おくれや損失を上手に表現する 定義の仕方は電気感受率を複素数扱いして 実部を屈折率 虚部を損失にそれぞれ対応づける 電気感受率は媒質固有であり 与えられるものとする 誘電率 ( 電気感受率 ) が複素数なので電場も磁場も複素表示を使用 自然界が 実数の世界 であることを考慮すると 複素電場 複素磁場 複素誘電率 はやや 人為的 抽象的な量 である 世界観については最終頁で補足する 非磁性体を扱うため 透磁率は不変 真空中の透磁率 を使用 電気感受率の役割 : 電磁場 ( 光 ) と物質の相互作用の一切をこれに集約して表現する真空中 : 電気感受率は零 真空中の誘電率 ( 実数 ) 媒質中 : 電気感受率は非零 ( 複素数 ) 媒質中の誘電率( 複素数 ) 411-3

4 分極電流と円電流 (1) 誘電分極 :electonic polaization 分極電流 :polaization cuent 電流密度 :cuent density 分極振動 : とりあえず何らかの理由で電子位置が変化 原子核 ( 不動 ) 電子 ( 振動 ) 電子 : 円運動 (, y), = = ( t) 電子位置 原点原子核 電子の位置 : 成分 時間経過 ( ) = cos t t 円電流 電子の速度 I ( sin, cos ) = I t t ev v = =, I = 2 もし y 成分が以下のように記述できるなら円運動 速度ベクトル負号 : 電子のため 反転 : 位置ベクトル負から正電荷の向き 結論 : 分極振動は円運動の 成分である もちろん y 成分と考えてもよい ( ) = sin y t t I e d e d = I= 2 dt 2 dt 411-4

5 分極電流と円電流 (2) 円電流密度 : とりあえず 大きさ のみ I 1 A J = = e v = env S 2 S m 2 電子の円運動 : ドーナッツ状領域 ( 点線 ) に限定反転 : 位置ベクトル ( 負電荷から正電荷の向き ) 電子は 1 個 : N: 単位体積当たりの電子数 ベクトルの大きさ電子と原子核間の距離 ( t) 1 N =, = t 2 S ( ) 断面積 :S 電流密度 : ベクトル表記 電子振動子の電気双極子モーメント原子 1 個 : 電子と原子核で構成注意 : 円電流の場合 電気双極子の長さは一定 回転運動 = d d en = en N, e C m, t dt = p J v p dt = = ( ) 分極振動 : 円運動の 成分である分極振動による電流密度 : 成分のみ P: 誘電分極 (dielectic polaization) 但し 成分のみ N: 単位体積当たりの電気双極子数で読み替え ( ) dp d Np C m C J = =, P = Np dt dt = m m

6 分極振動と電流密度 一般化しましょう! 誘電分極 (dielectic polaization) : 成分のみ 誘電分極 : 振動電場 (electic field) に誘われて (induced) 分極 (polaization) 振動する電気双極子の集団運動 但し 文字通りの意味は誘電体中の分極 P: 誘電分極 (dielectic polaization) ベクトル N: 単位体積に存在する電気双極子数 P = Np 伸縮する電気双極子モーメント : 向き ( 軸 ) 矢印の向き : 負から正電荷 時間経過 本当は原子核は動かない t ( ) 誘電分極ベクトル 伸縮する電気双極子モーメントベクトルの向き : 負から正電荷注意 : ベクトルは回転しません! P = Np = Ne, P = ( P, Py, Pz ) 青丸 : 電子 赤丸 : 原子核 ( t) 分極振動による電流密度 : 成分のみ J ( ) = ( ) p t e t dp dt = = ( ) d Np dt p ( t) = e( t) ベクトル : 分極振動による電流密度 dp J = = dt ( p) d N dt 時間経過 電気双極子の長さベクトル方向 : 負から正電荷大きさ : 電気双極子の長さに対応注意 : 電気双極子の長さは時間変化 電気双極子は伸縮 回転運動はしない! 本当は原子核は動かない 411-6

7 絵解き : 分極振動 (1) 数え方 : 電気双極子 1. 振動方向が一致すれば 2. 電気双極子が横に並んでも 3. 電気双極子が縦に並んでも 4. 関与する個数が等しければ 5. 電気双極子モーメント総量は同じ 6. 一例 : 個数 5 ( e) p = e 5 = 5p 電気双極子モーメント : 参照 43-1 ベクトルの向き : 負から正電荷 大きさ : 間隔 負電荷 原点 5e 5e e e ( ) e + + e = e 5 = 5p 正電荷 ( e)( ) 二次元の場合 青丸 : 電子 赤丸 : 原子核 3e 3e 3 3 = 9e = 9p 二次元でも : 1. 振動方向が一致 : 電気双極子モーメント総量は 2. 関与する電気双極子数に比例 一例 : 個数 9

8 絵解き : 分極振動 (2) 青丸 : 電子 赤丸 : 原子核 伸縮する電気双極子モーメント 例 : 横並び ( 一次元 ) 本当は原子核は動かない 時間経過 伸縮する電気双極子モーメント 例 : 縦並び ( 一次元 ) 本当は原子核は動かない 媒質中双極子数は巨大ほぼ永遠に続く ( t) ( t) ( t) ( t) ( t ) = ( t) 点線矢印 : 個々の電気双極子の伸縮状態 時間経過 411-8

9 絵解き : 分極振動 (3) 青丸 : 電子赤丸 : 原子核 分極振動 : 電気双極子の集団運動三次元の場合 : 一例 :27 個 但し 現実の媒質では 電気双極子数は巨大です! 一周期後 9e 半周期後 9e 3 9e 3 3 9e 9e 9e ( e)( ) 9 3 = 27e = 27p 媒質中の電気双極子数は巨大 : N: 単位体積に存在する電気双極子数 で 誘電分極ベクトル を定義 分極振動による ( p) 電流密度 : 参照 d N dp A J = = = N = N e 2 dt dt m P p ( ) 411-9

10 アンペールの法則の修正 (1) 磁電誘導 : ファラデーの電磁誘導の法則の逆過程物理現象 : 電場 E の時間変化により非零渦巻磁場 H が誘起される 面積分 : 閉ループ C の内側 磁場 Hと電場 Eで表記すると次頁参照 : 真空中の誘電率 C (, t) (, t) d E H l = C nds 内 t ループ C 法線ベクトル n 電場 E E 括弧内 : 変位電流 電場 E が存在できる空間 ( 場 ) さえあればよい 電子不要の仮想的な電流 ( 真空中でも変位電流は可 ) 線積分の向き 本来のアンペールの法則とは 物理現象 : 電流 ( 電子 ) が流れると渦巻磁場 H が発生実在する電子による電流 C (, ) (, ) H t dl = J t nds C内 括弧内 : 電子電流実在する電子による電流 光と物質 ( 電子 ) の相互作用 : 分極電流により非零渦巻磁場 H が誘起される 言い換えると : 誘電分極 ( dielectic polaization ) の時間変化により非零渦巻磁場 H が誘起される 分極電流密度参照 :411-8 C (, t) P H (, t) dl = nds C内 t 括弧内 : 分極電流多数の電気双極子の集団運動 ( 分極振動 ) による電流真空中では分極電流零 J d = P dt

11 アンペールの法則の修正 (2) 磁電誘導 : ファラデーの電磁誘導の法則の逆過程 ( 再掲 ) 疑問 : 媒質中でも誘電率は 真空中の誘電率 のままでよいのか? 通常 添字の m は省略されるが 媒質中の振動電場 E を強調するために使用 C (, t) (, t) d E H l = C nds 内 t 解答 : 真空中の誘電率 のままでよい 磁電誘導は電場 E の時間変化により非零渦巻磁場 H が誘起される物理現象 但し 光と物質 ( 電子 ) との相互作用とは無関係であり 媒質中の誘電率 の起源とはならない 媒質中の誘電率の起源はどこ? 再掲 : 分極電流により非零渦巻磁場 H が誘起される 分極電流密度参照 :411-1 C (, t) P H (, t) dl = nds C内 t 解答 : 分極電流多数の電気双極子の集団運動 ( 分極振動 ) による電流が媒質中の誘電率の起源 J d = P dt 導入 : 電束密度 D 変位電流密度 :displacement cuent density (, t) D dd H (, t) dl = nds = ( Em + P) nds, J = 内 t 内 t dt C C C 媒質中の誘電率は電束密度 D に含まれる : 参照

12 アンペールの法則の修正 (3) 物理現象 : 渦巻磁場 H が発生する事象を全部まとめる! C C内 C内 (, t) D H (, t) dl = J (, t) nds + nds t 変位電流密度 :displacement cuent density J d = D dt 電流 : 電子は自由に移動電束密度 D: 渦巻磁場 H 発生に振動電場 E が関与する部分 ( 定義を見よ!) 振動電場 E + 振動電場 E に誘われて伸縮する電気双極子の集団運動 ( 誘電分極 ) 電束密度 D をいくら眺めても分極の有無は分からないから 電束密度 D は 極めて人工的な 物理量 もし 分極の有無を明確にしたいなら 電場 E と誘電分極ベクトル P を利用しなければならない 定義 : 電束密度 D electic flu density D = E + P 真空中 : 分極無 D = E アンペールの法則の修正 : 媒質中 ( 分極有 ) 真空中の誘電率のまま (pemittivity) 媒質固有 (, t) d (, t) ds E P H l = J n + nds + nds t t m (, t) (, t) C C内 C内 C内 電流 : 電子は自由に移動 重要 : 通常 添字の m は省略されるが 媒質中の振動電場 E を意味する 振動電場 E による変位電流 ( ) Em,t 電気双極子の集団運動による分極電流媒質中の誘電率の起源

13 アンペールの法則の修正 (4) 背景 : 媒質 電流 : 電子は自由に移動 添字 m: 媒質中の振動電場 E 分極 : 媒質固有 (, t) d (, t) ds E P H l = J n + nds + nds t t m (, t) (, t) C C内 C内 C内 背景 : 真空 仮定両者間で同一 (, t) d (, t) ds E H l = J n + nds t C C内 C内 添字 v: 真空中の振動電場 E m (, t) ややこしいかな! 両者間で同一の渦巻き磁場 Hが観測されたとすれば = 電束密度 Dは分極の有無と無関係なので両者間で同一 m + = D E P E v 誘電分極ベクトル P は振動電場 Em と同じ向き ( お詫び : 異方性媒質は無視 ) 電気双極子モーメント : 位置ベクトルは負から正電荷の向き ( ) P = Np = N e 媒質中の振動電場 Em E m P + + E // P E E m m v

14 アンペールの法則の修正 (5) もう一度書きます! 両者間で同一の渦巻き磁場 H が観測されたとすれば 分極効果により媒質中の振動電場 Em は真空中の振動電場 Ev より小さくなる 電束密度 D は分極の有無と無関係なので両者間で同一 D = E + P = E m 簡単のため : 電気双極子 1 個からなる分極青丸 : 電子 赤丸 : 原子核 v 媒質中の振動電場 Emと E // 誘電分極ベクトルPは同じ向き m P Em Ev + + P 媒質中の振動電場 Em E m 別の言い回し! 最初 背景は真空 渦巻き磁場 H 電束密度 D を観測する 途中で背景が媒質 ( 分極有 ) に変化しても 磁場 H が不変であったとすれば 電束密度 D も不変となるから 電束密度 D を比較しても分極の有無は分からない 振動電場 E を比較すれば分極の有無が分かる 誘電分極 P による電場 最初 : 振動電場 Ev E v 途中で : 振動電場 Em Ev Em Em = Ev P P 分極 P による電場 E v 重要 : 媒質中の振動電場 Emと誘電分極ベクトルPは同じ向き 誘電分極 Pによる電場は振動電場 Ev Emと逆向きの関係 P

15 磁性体とアンペールの法則 説明省略 : 磁化 ( ベクトル )M アンペールの法則の修正版 ( 変位電流を追加 : 同時存在を許す ) 非磁性体でも磁性体でも渦巻磁場 H は不変 磁場 H は 磁性 の効果を含まず 極めて 人工的な 物理量 C C内 C内 (, t) D H (, t) dl = J (, t) nds + nds t アンペールの法則の修正版 ( 変位電流を追加 : 同時存在を許す ) もし 磁性体と非磁性体の違いを明確にしたいなら 磁場 ( 磁束密度 )B と磁化ベクトル M を利用しなければならない 1 非磁性体なら H(, t) = B(, t) M (, t) C C内 C内 (, t) 1 D B M dl = J (, t) nds + nds t M =, B = H 真空中の透磁率 magnetic pemeability 電束密度 D: electic flu density D = E + P 誘電分極 P: dielectic polaization 説明省略 :E ー H 対応 B = H + M 磁化 ( ベクトル )M: magnetization B = H + M 説明省略 :E ー B 対応

16 複素電気感受率 注意 : 実数表示と複素数表示赤色 ( 正実数 ) 青色 ( 複素数 ) 但し 強調したいときのみ 電気感受率 χ: electic susceptibility 複素数 : 振動電場 E と誘電分極 P の振動のタイミング ( 位相 ) が異なるかもしれない! 電子振動子模型でのブランコを思い出してほしい! ( 参照 :41) 振動電場 E とブランコ振動間の位相ずれを考慮 入射光波 : 振動電場 E E ( e ) N f P = E = N = p, Re = f 光の世界での分極表現電気感受率 電子の世界での分極電気双極子モーメント 世界観 : 実数の世界と複素数の世界 橋渡しのルール : f = f A i ( t kz) = A ( t kz + ) Re Re ep cos これまでは 電場 E 誘電分極 P 電束密度 D とも複素数扱いでも実数扱いでもよかった 黒色表示 : これまでは 誘電分極 P に電気感受率 χ は陽に現れなかった (P と は位相ずれありません ) ( ) P N e ところが 複素電気感受率 χを導入した時点で P= 振動電場 Eと誘電分極 P 間の位相ずれを表現するために複素表示 E D, E, P 簡単のため 誘電分極 Pが電場 Eに比例 ( 線形電気感受率 ) これからやりたいこと 電気感受率の実部が屈折率 虚部が損失に対応することを確認 ( これが定義 ) ブランコを勢いよくこぎたいのであれば いつ どこで どちらの方向に 力を与えればよいのか?( 光損失の場合 )

17 複素電気感受率と屈折率 媒質中の誘電率 ( 複素数 ):ε 真空中 ( 実数 ) でも媒質中 ( 複素数 ) でも形式上同じ 誘電率の形式的な置換で何が見えてくるか? 形式的な置換 :ε ε 光速 : 誘電率を含む ( 誘電率置換 ) 真空中 : 実数 媒質中 ( 非磁性体 ): とりあえず複素数扱い c 1 1 = c = ( ) D = E + P = + E = E 1 屈折率はどうなる? 真空中 :n=1 媒質中 : とりあえず複素数扱い n c c 1 = = = 複素電気感受率 ' '' = ' i '' ', '' n ~ 1+ i 2 2 負号 : 虚部 理由 : 虚部を減衰率と対応させるため ( 次頁 ) 屈折率変化 :Δn 電気感受率の実部に対応 Ren = n = 1 + ', n = n 1 = ', Imn = '' 注意 : 複素屈折率の実部 ( 赤色 ) はお馴染みの屈折率 では 屈折率 ( 電気感受率 ) の虚部とは何? 損失

18 複素電気感受率と損失 真空中の波数 : 実数 媒質中の波数 : 複素数 k, ~ 1 n 2 c c = k = = = n + c c c 形式的な置換 ( ) A k A ' k '' 2 2 epi t z epi t k 1 + z + i z, = ' i '' k '' ' = Aep z epi t k 1+ z 2 2 複素電気感受率の虚部に注目! 単位断面積当たりの光強度は電場 E 振幅の自乗に比例 A 2 ep ( z) = k '', = ' i '' 負号 : 虚部 電気感受率の虚部 : 損失に対応減衰率 :Γ> '' 光増幅 :Γ< '' 納得 : 複素電気感受率の実部と虚部 = 媒質の屈折率と損失

19 誘電分極と複素電気感受率 誘電分極 P( スカラー表示 ) 複素電気感受率の役割光の世界と電子の世界の橋渡し ( z, t) = ( z, t) = Ne( z, ) P E t 電子の世界での誘電分極 p: 電気双極子モーメント Np = N ( e) = P Ne( z, t) N: 単位体積に存在する電気双極子数 これからやりたいこと!: 参照 412 光の世界での表現電気感受率 電子の世界での表現電気双極子 E ( z, t ) 誘電分極 : 振動電場 E に誘われて伸縮する電気双極子の集団運動 1. 振動電場 Eに対してどんなときに分極振動は追従できる? 2. 実は 追従できるときは電気感受率は実数なので屈折率のみ 3. このとき光から電気双極子へのエネルギーの移動はない ( 透明媒質 ) 4. どんなときに追従できない 5. 実は 追従できないときエネルギーの移動がおきる ( 損失 ) 6. ブランコを思い出しましょう! 7. 電気感受率が複素数でなければならない必然性が見えてきた! ( z, t) = ( z, t) = Ne ( z, t ) ( z, t) epi ( t kz) ( z t) i ( t kz ) P E E, ep = ag e ( zt, ) e ( zt, ) e ( zt, ) ( z, t) Re ( z, t) 黒矢印 : 電子振動 振動方向 : 軸 = 位相遅れ : ブランコを加速 減速するタイミングを決める ( エネルギーの移動 )

20 誘電分極 : 言葉の問題 媒質中の電気双極子数は巨大 : N: 単位体積に存在する電気双極子数 で 誘電分極ベクトル を定義 分極振動による電流密度 ( p) d N dp A J = = = N = N e 2 dt dt m P p ( ) 電気双極子モーメント :electic dipole 言葉の整理 誘電体 : 直流電場 ( 電圧 ) に対しては絶縁体 外部電場により電気双極子が整列する物質 誘電分極 : 外部電場によって電気双極子が整列している状態 ( 詳細省略 : 強誘電体の自発的な分極 ) 分極電流 : 外部振動電場に誘われて整列状態を保ちながら伸縮する電気双極子の集団運動 ( 誘電分極 ) による電流 電気双極子 : 基準となる地点からエネルギーが等しい量だけ正負に分極している正負電荷の対 英語の方が分かりやすいかも! A dielectic( 誘電体 ) is an electical insulato that can be polaized by an applied electic field. Dielectic polaization ( 誘電分極 ) descibes a state of well aligned electic dipoles inside the mateial. An electic dipole( 電気双極子 )is a pai of positive and negative chages whose positions ae slightly shifted fom thei aveage equilibium positions. In summay When a dielectic is placed in a constant electic field, electic chages do not flow (an insulato). When a dielectic is eposed by an altenating electic field, electic dipoles inside the mateial stat epansion and contaction in ode (coheently) causing a flow of altenating cuent (polaization cuent o displacement cuent) 誘電分極 : 振動電場 E に誘われて伸縮する電気双極子の集団運動 と書きましたが 正確に言えば : 伸縮しなくても整列すればよい 集団運動でなく整列状態 外部振動電場の場合 電気双極子は集団で伸縮運動する その結果 分極電流が発生 分極電流は変位電流の一種である 誘電分極の 誘 の意味は induced ではなく dielectic( 誘電体 ) の意味です もちろん 振動電場 E に誘われて伸縮しているのは事実ですが 411-2

21 補足 : 世界観 ( 実空間と複素空間 ) 我々の世界は四次元実関数 ( 位置 時間 ) 複素関数が支配する複素数の世界は人間が勝手に想像した別世界 簡単のため位置固定 単一角周波数 時間領域 ( スカラー ) 実関数 ( t) Re f ( t) 赤色 : 実関数 青色 : 複素関数 ( ) ( ) ( ) * ( t) = E ( t) = E ( t) + E ( t) f = E t = Acos t + E t = Aepit A = Aepi 2E 2 Re 複素電気感受率 : 我々の世界に属する物理量 ( 実数 ) ではない 複素電気感受率の実部と虚部 : 媒質の屈折率と損失 = ' i'' = Re = ' 誘電分極 ( 実数 ): 我々の世界に属する物理量 ( 実数 ) 大きな間違い!: 我々の世界に損失という物理量はない? P E = = ( t) Re E ( t) * * ( t) + E ( t) 2 時間領域関数が必要 疑問 : 我々の世界に属する物理量 ( 四次元実関数 ) としての電気感受率は存在する? 存在する ( 因果律 : 参照 421) 但し 別のルール ( フーリエ変換 ) で想像した別世界が必要

22 補足 : 世界観のポンチ絵 我々の世界は唯一 四次元実関数 ( 位置 時間 ) であり 時間軸 ( 因果律 ) はあっても角周波数軸はない! 別世界はルール次第で幾らでもこしらえることができる 簡単のため 我々の世界を位置固定 時間領域に限定 我々の世界 実数 実関数 実ベクトル時間領域 因果律 ( ), ( ), ( ) E t P t t フーリエ変換 ( 時間領域 ) f ( t) Re f ( t) f = 1 it t = e d 2 ( ) f ( ) ルール B ルール A 複素数 複素関数複素ベクトル ( ) ( ) 時間領域 E t, P t 角周波数領域 E ( ), P( ), ( ) 別世界 A 別世界 B 定義 : 電気感受率 複素電気感受率は時間領域ではなく角周波数領域関数である ( 次回確認 : 参照 412) 従って 別世界 A のルールでは複素電気感受率は実世界 ( 我々の世界 ) に戻れない ルール A で戻れる関数はあくまでも時間領域複素関数 但し 不備を知っていれば問題なし ルール A は非常に簡単なルール ( 初心者向き ) ルール B は複素電気感受率を実世界 ( 我々の世界 ) に戻すことができる ルール B は self-consistent である 但し フーリエ変換は少々ややこしい ルール B はルール A を含む ( 説明省略 ) 実世界の電気感受率は時間領域実関数であるが 因果律を含む話なのでこれ以上深入りしません