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ゆきひらみのしま
5 years ago
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1 光通信工学マクスウェルの方程式. 復習. マクスウェルの方程式 E 3. 誘電率透磁率と光速 4. 波動インピーダンス D 5. 境界条件 ( 誘電体 ) H D t + i B t ρ B 磁場でお馴染みの H と B 注意 : 英語では H も B も magnetic field と呼ばれる混同しやすい本講義では磁場 H 磁場 B と記す磁場 H:magnetic H field 磁場の強さ :magnetic field intensity 磁場 B:magnetic B field 磁束密度 :magnetic flu density T: テスラ Wb: ウェーバー T 単位 Am Wb m 光通信工学 5-

2 まとめ : ご苦労様でした! 電場 E と電束密度 D D εe 磁場 H と磁場 B Β µ H ファラデーの電磁誘導の法則物理現象 : 磁場 H の時間変化により非零渦巻電場 E が誘起される真空中でも可アンペールの法則 ( 変位電流追加 ) 物理現象 ( 右辺第一項 ): 電場 E の時間変化により非零渦巻磁場 H が誘起される真空中でも可右辺第二項 : 電流 ( 電子 ) が流れると渦巻磁場 H が発生真空中では電子が存在しないので不可電場 E に関するガウスの法則物理現象 : 実在する電荷と電場 E の関係式で正電荷では電場 E が湧き出す負電荷の場合逆 + Er dl ds t Br n 内 Hr dl (, ) DrtndS t 内内 V表面 i r nds (, ) ρ (, ) Drt nds rt dv V体積磁場 H に関するガウスの法則物理現象 : モノポール (S 極のみの磁荷や N 極のみの磁荷 ) は存在しない V 表面 ( t) Br, nds 注意 : ファラデーやアンペールやガウスの法則は発見当初光 ( 振動電場 E と振動磁場 H) と無関係であった時間変化は光の振動に対して無視できるくらい遅い我々も電磁気学で彼らの法則について勉強したと思うが光とは無関係な現象として扱った光との関係については次回光通信工学 5-

3 ファラデーの電磁誘導 : 渦巻電場 E 時間変化する磁束 Φ 時間変化する磁束 Φ で非零の渦巻電場 E が発生線積分の向き : 右ねじの方向ループ渦巻電場 E Er (, ) t d l Φ t コイル注意ループ電流 ( 電子 ) が流れることよりも渦巻電場 E が発生することに注目電場 E はある場所 ( 空間 ) に存在空間さえあれば真空中でも可渦巻電場 E にループ状の電線を置くと電子が移動 : 電流垂直に貫く磁束 Φ 定義 : 磁場 B( 磁束密度 B) 面積分 : 閉ループの内側法線ベクトル磁場 B Φ 内 Br nds ループ n B ファラデーの電磁誘導の法則電場 E と磁場 B で表記枠内 : 垂直に貫く磁束 Φ 線積分の向き Er dl ds t Br n 内磁束 :Magnetic flu 単位 :W( ウェーバ ) 磁束密度 B:Magnetic flu density 単位 : T( テスラ ) Wb/m N/A/m 光通信工学 5-3

4 ファラデーの電磁誘導の法則 : 逆過程 ( 磁電誘導?) 電磁誘導の法則 : 電場 E と磁場 B で表記面積分 : 閉ループの内側法線ベクトル磁場 B Er dl ds t Br n 内 B 磁場 B µ H 透磁率 μ 磁場 H 物理現象 : 磁場 H の時間変化により非零渦巻電場 E が誘起されるループ垂直に貫く成分のみ n B 線積分の向き興味ある対応関係 D B, E H, ε µ 物理現象 : 電場 E の時間変化により非零渦巻磁場 H が誘起される? 注意 : 磁電誘導という呼び方で統一されている訳ではない磁場 H と電束密度 D で表記電束密度 D 負号なし : 説明省略 Hr dl (, ) DrtndS t 内 D εe 誘電率 ε 電場 E 垂直に貫く成分のみ面積分 : 閉ループの内側ループ法線ベクトル n 電束密度 D D 光通信工学 5-4 線積分の向き

5 アンペールの法則と比較 : 変位電流中心 : 磁場 H 大 H I π r 右辺 : 実在する電子による電流電流密度 i H r d l I( t) ( ) (, ) 内 I t i r t nds 電流密度 : アンペールの法則 (, ) (, ) 内 H r t dl i r t nds 直流電流磁電誘導 : ファラデーの電磁誘導の逆過程物理現象 : 電場 E の時間変化により非零渦巻磁場 H が誘起される電束密度 D Hr dl (, ) DrtndS t 内面積分 : 閉ループの内側法線ベクトルループ D εe 誘電率 ε 電場 E n D 電束密度 D 左辺 : アンペールの法則と同じ右辺 : 電流と同じ単位電場 E の時間変化による仮想的な電流とみなす変位電流 Displacement current 単位 :A 光通信工学 5-5 線積分の向き

6 アンペールの法則の修正磁電誘導 : ファラデーの電磁誘導の法則の逆過程物理現象 : 電場 E の時間変化により非零渦巻磁場 H が誘起される面積分 : 閉ループの内側磁場 H と電束密度 D で表記すると Hr dl (, ) DrtndS t 内ループ法線ベクトル n 電束密度 D D D εe 変位電流 : 電場 E が存在できる空間 ( 場 ) さえあればよい電子不要の仮想的な電流 ( 真空中でも変位電流は可 ) 線積分の向きアンペールの法則物理現象 : 電流 ( 電子 ) が流れると渦巻磁場 H が発生実在する電子による電流 : 真空中では電流零面積分 : 閉ループの内側法線ベクトル電流密度 i (, ) (, ) 内 H r t dl i r t nds ループ n i 実在する電子による電流 : 真空中では電流零マクスウェルの貢献 : アンペールの法則を修正 ( 変位電流を追加 : 同時存在を許す ):Ampère-Mawell law とも言う H( r, t ) d l D( r, ) + (, ) t t n ds i r t n ds 内内光通信工学 5-6

7 比較 : 磁場 H と電場 E に対するガウスの法則磁場 H に関するガウスの法則モノポール無 ( 右辺は零 ) 電場 E に関するガウスの法則真電荷があると電場 E が湧き出す V 表面 ( t) Br, nds V 表面 Dr nds qv 真電荷が V の内部にない真電荷が V の内部にある磁場 H と磁場 B ガラスなど : 非磁性体電場 E と電束密度 D glass Β µ H Β µ H D εe 誘電率 : 媒質依存棒磁石 : 静磁場真空中 or ガラス : 湧き出す真空中 E qv 4πε r r ガラス中 S 極 N 極真電荷 q v E qv 4πε r 表面積分が零の物理的意味磁場 H( 磁場 B) は出て行った分だけ戻るある空間を出るだけとか入るだけは不可光通信工学 5-7

8 透磁率 :Magnetic permeability 注意 : 以後磁場 B(Magnetic field) と表記真空中の透磁率 : 本講義ではガラス ( 非磁性体 ) しか扱わない B µ H 透磁率 : 単位あわせ ( 真空中 ) 参考文献 : 和田純夫電磁気学のききどころ p5 岩波書店磁束密度 B:Magnetic flu density 単位 : T( テスラ ) Wb/m N/A/m 磁場 H:Magnetic field intensity 単位 :A/m 透磁率 μ :Magnetic permeability 単位 : H( ヘンリー )/m N/A 基準 : 真空中の透磁率 MKSA 単位系 µ 4π 常磁性体 : 鉄など棒磁石につく 3 µ µ + B µ H 磁性体の透磁率誘電率 :Permittivity 真空中の誘電率 D ε E 誘電率. 単位あわせ ( 真空中 ). 分極効果 ( ガラスなど ) ε ε D εe 基準 : 真空中の誘電率 MKSA 単位系参照 : 次頁 c εµ 約束 : 下ツキ真空中電束密度 D: Electric displacement field 単位 : ( クーロン )/m 電場 E:Electric field 単位 :V/m 誘電率 ε :Permittivity 単位 : F( ファラッド )/m /V/m D B, E H, ε µ 興味ある対応関係実は E ー B 対応が自然と言われています参考文献 : 広江克彦趣味で物理学 p.4 理工図書光通信工学 5-8

9 参考資料真空中の誘電率透磁率 : 単位系に依存単位系 GS 電磁 GS 静電ガウス µ, ε c µ c, ε µ, ε 真空中の光速 MKSA 7 µ 4π NA, ε c µ A S N m MKSA 単位系 : 国際単位系 (The International System of Units) 真空中の透磁率 : 7 N 国際単位 (SI 単位 ) では真空中にm 離して置いた本の平行電流に働く力がm 当たりのときその電流をAとして電流の単位を定義しているビオサバールの法則 (Biot-Savart law) 参照 7 真空中の透磁率 µ 4π NA であるのはアンペア (A) の定義のためである f µ II 'πr 光通信工学 5-9

10 発見当初 : 電気回路の法則マクスウェル : 光の振動電場 E と振動磁場 H を記述するための基本法則電場 E と電束密度 D ファラデーの電磁誘導の法則物理現象 : 磁場 H の時間変化により非零渦巻電場 E が誘起される真空中でも可 D εe 磁場 H と磁場 B Β µ H Er dl ds t Br n 内アンペールの法則 ( 変位電流追加 ) 物理現象 ( 右辺第一項 ): 電場 E の時間変化により非零渦巻磁場 H が誘起される真空中でも可右辺第二項 : 電流 ( 電子 ) が流れると渦巻磁場 H が発生真空中では電子が存在しないので不可電場 E に関するガウスの法則物理現象 : 実在する電荷と電場 E の関係式で正電荷では電場 E が湧き出す負電荷の場合逆 + Hr dl (, ) DrtndS t 内内 V表面 i r nds (, ) ρ (, ) Drt nds rt dv V体積磁場 H に関するガウスの法則物理現象 : モノポール (S 極のみの磁荷や N 極のみの磁荷 ) は存在しない V 表面 ( t) Br, nds 注意 : 光の電場 E と磁場 H は振動しながら進む波光波波の特徴 : 近接作用 4 個一括でマクスウェルの方程式と呼ぶ興味 : 波動方程式が導出できるか否か光通信工学 5-

11 光を記述する波動方程式とは基本 : 二階の変微分方程式 ( 位置時間 ) 振動電場 E と振動磁場 H 平面波偏光 : 電場 E の振動方向 ( 例 : 直線偏光 ) 波の特徴 : 近接作用電場 E と磁場 H の同期 E E z vp t H H y y z vp t 波動方程式と位相速度の関係電場 E と磁場 H 波動方程式を満足する解 : 光 vp ω k 位相速度 : 光速 y (, ) E cos( ω + φ) (, ) ± ( E η) cos( ω + φ) E z t t kz H z t t kz 正 : 前進波負 : 後退波 E E z E, + ± v z vp t z vp t z vp t t p 波動方程式の一般化 : 電場 E 磁場 H ベクトル ( t) Er, Hr vp t vp t ナブラ,, + + ( t) Er, Η r, y z y z 波動方程式とは? 振動電場 E と振動磁場 H を記述波動方程式を満足する解は光波を記述波動方程式はどこからやってきたのか? 本講義で説明光通信工学 5-

12 計算例 ( 電場 E のみ ): 前進波と後退波 ( ) ( ) E ( ω φ) ( ) ( ) Er, t E zt,,, E zt, cos t kz+ 波動方程式の一般化 : 電場 E のみ ( t) Er E ( yzt,,, ) vp t vp t,, + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( yzt) Er, E,,, 電場 E ベクトル y z y z ( y z ) ( ( ) ) Er, t E r, t, E r, t, E r, t E z, t,, (, ) ( r, ) E ( r, t) ややこしいかな!: 電場 E ベクトルは成分のみ但し位置 z と時間 t の関数 ( ) ( ) Ert E t y Ez r, t E zt,,,,, t t t t t ナブラの計算 E y z z E( zt, ) + + E ( zt, ) (, ) (, ) E zt E zt E E z vp t z vp t ( zt, ) 光通信工学 5-

13 前進波 ( 一例 ): 平面波の場合電場 E 平面波 : 定数振幅 ( 波の拡がり無限大非現実的だけど ) 電場 E 磁場 H( 右ねじ ) 前進波 : 直線偏光 y cos( ω φ) ( E η) cos( ωt kz φ) E E t kz + H + 赤 : 正実数 k > 電場 E を方向磁場 H を y 方向進行方向磁場 H y 前進波 z かなり荒っぽい説明波動方程式 ( 光波伝搬の様子 ) を導出しましょうファラデーの電磁誘導の法則物理現象 : 磁場 H の時間変化により非零渦巻電場 E が誘起される真空中でも可平面波の場合渦巻電場 E ではないが磁場 H の時間変化により時間変化する電場 E が誘起されているアンペールの法則 ( 変位電流追加 ) 物理現象 ( 右辺第一項 ): 電場 E の時間変化により非零渦巻磁場 H が誘起される真空中でも可右辺第二項 : 電流 ( 電子 ) が流れると渦巻磁場 H が発生真空中では電子が存在しないので不可平面波の場合渦巻磁場 H ではないが電場 E の時間変化により時間変化する磁場 H が誘起されている電場 E 磁場 H に関するガウスの法則物理現象 : 実在する電荷と電場 E の関係式で正電荷では電場 E が湧き出す磁場 H ではモノポール (S 極のみの磁荷や N 極のみの磁荷 ) は存在しないので湧き出しはない重要なのは電荷 ( 真電荷 ) の無い場合真空中を伝搬する場合電場 E や磁場 H の湧き出し等はなし光通信工学 5-3

14 マクスウェルの方程式積分型と微分型結果のみアンペールの法則 + 変位電流 H r dl 積分型 ds + ds t D r n i r n 内内 Er dl ds t Br n 内ファラデーの電磁誘導の法則 Stokes theorem 内 dl ( A( r, t) ) A r 微分型 H D t + i E B t nds ナブラ : ベクトル解析電場磁場のガウスの法則 V表面 (, ) ρ (, ) Drt nds rt dv ( ) Br, t nds V表面電場 E と電束密度 D 磁場 H と磁場 B D εe B µ H V体積 Gauss s divergence theorem D ρ,, B y z V表面 V体積 A r nds A r (, ) t dv ガウスの発散定理とガウスの法則は異なる光通信工学 5-4

15 波動方程式導出 : ベクトル解析ファラデーの電磁誘導の法則 B H E µ E µ H t t t アンペールの法則 : 電子の流れによる電流零の場合 ( ) ( ) H ( E) µ εµ t t t D D E 結果のみ : 細かいことは言いません導出の流れに注目してください (, y, z) + y + z 電場 E のガウスの法則真電荷が無い場合真電荷 : 零誘電率 D ρ D εe E ベクトル解析の公式マクスウェルの方程式から導出される偏微分方程式 : 電場 E のみ E ( ) ( ) E E E E ( t) Er, εµ Er t Er v p Er t 光速が以下のように誘電率と透磁率で決まるとすれば光の波動方程式になる ( 振動電場 E) vp c vp c εµ 位相速度 : 光約束 : 下ツキ真空中 εµ 歴史 : 静電単位と電磁単位の比から予測される光速が光速の実験値とほぼ一致したことからマクスウェルは光も電磁誘導等の法則で支配されその結果波動方程式から光が振動電場 E と振動磁場 H からなる電磁波ではないかという予測を行ったのであるその予測は 888 年にハインリヒヘルツによって実証される ( 単位 :Hz) 光通信工学 5-5

16 重要な関係式真空の透磁率 µ o π/ 7 H/m 位相速度 : 真空中約束 : 下ツキ真空中媒質中非磁性体 : 誘電体 ( ガラスなど ) vp c εµ vp c εµ µ µ c εµ 屈折率 : 真空中 n 注意 : 詳細省略損失無視 ( ガラスなど誘電体 ): 誘電率実数誘電率が複素数 : 虚数部損失増幅を意味する屈折率が虚数の場合エバネセント波屈折率 : 媒質中 ( 損失無 ) の誘電率に依存比誘電率 εr の平方根 n c c εµ ε εµ ε ε r 波数角周波数周波数波長の関係式媒質中の波長は真空中より屈折率分短い k c ω π f π c c λ fλ k k ω nω π f π c c c n λ n nk λ λ λ n 約束 : 下ツキ真空中媒質中の波数は真空中の波数と屈折率の積光通信工学 5-6

17 波動インピーダンス : 平面波の場合前進進行波 : 直線偏光赤 : 正実数 k > 電場 E 進行方向 k: 電場 E 磁場 H( 右ねじ ) 磁場 H:k 電場 E cos( ω φ) ( E η) cos( ωt kz φ) E E t kz + H y H + E η ファラデーの電磁誘導の法則電場 E を方向磁場 H を y 方向 B H E µ µ H y E t t z t 波動インピーダンス : 単位 Ω 電場 E:V/m 磁場 H:A/m c ω k c εµ η µ η 進行方向磁場 H ωµ µ c k ε y 前進波 z 係数 :5:μ: 透磁率磁場 H:k 電場 E 位相速度 : 説明省略 : 電場 E のガウスの法則位相速度 :5-5 k ( ) k E H k E H k E H E H E ωµ ωµ ωµ η 光通信工学 5-7

18 境界条件 : 結論のみ境界条件の導出 :5 磁場 H は簡単!:- 電場 E の境界条件 : 電場 E の面内方向成分 (z 成分 ) が一致媒質側 : 入射波と反射波の合成波 k E H ωµ ( k, ky, ), (,, Ez), ( ke y z, ke z,) 媒質側 : 透過波波数ベクトル入射波 y 波数ベクトル反射波 ( r ) ( r ) ( r ) E, t + E, t E, t,@ y iz rz tz 磁場 H の境界条件 : 磁場 H の面内方向成分 ( 成分 ) が一致 ( r ) ( r ) ( r ) ( r, ) + ( r, ) ( r, ) H, t + H, t H, t,@ y i r t k E t k E t k E t iy iz ry rz ty tz 入射電場 E z 成分のみ反射電場 E z 成分のみ透過電場 E z 成分のみ ( r, ) Ei ep ( ω ) ( r, ) Er ep ( ω ) ( r, t) Et ep j( ωt k k y) E t j t k k y iz i iy E t j t k k y E rz r ry tz t ty 注意 : 未知数が個だから方程式が個 k i 媒質 :n 媒質 :n 波数ベクトル透過波 θ θ θ n k r > n k t 求めたい関係? 複素振幅反射率と複素振幅透過率 r s E E r, t t s E E i 光通信工学 5-8 i

19 境界条件 ( 誘電体 ): 電場 E( 説明省略 ) マクスウェルの方程式より微小ループ: 面積 S 電場 Eの面内方向成分ファラデーの電磁誘導の法則 E 単位法線ベクトル n y z y Edl By ds t 内媒質 :n 媒質 :n E ΔP 場 : 微小ループ内を貫く磁場 H は一様と近似可能 l 電場 E の面内方向成分内 P ( ) ( ) By ds By ds By l P 内内 By ds 注意 : ループが潰れれば貫く磁場 H もなし右辺 : 零媒質側 : 電場 E の面内方向成分 ( 微小ループのため一様と近似 ) 参考までに誘電体の場合 : ガラスなど電場 E の面内方向成分 : 一致 P, Edl E l E l E r E r 鏡 ( 導体 ) の場合電場 E の面内方向成分 : 零媒質側 : 電場 E の面内方向成分 ( 微小ループのため一様と近似 ) 負号 : ループの向きとベクトル電場 E の向きが反対境界条件 : 電場 E の面内方向成分が一致マクスウェルの方程式から導出光通信工学 5-9

20 境界条件 ( 誘電体 ): 磁場 H( 説明省略 ) マクスウェルの方程式より微小ループ: 面積 S 磁場 Hの面内方向成分比較 : ファラデーの電磁誘導の法則単位法線ベクトル n y H z y Edl By ds t 内媒質 :n 媒質 :n H ΔP アンペールの法則 : 変位電流含電子の流れによる電流 : 零 ( ガラスなど ) l H d l Dy + t ds iy ds 内内磁場 H の面内方向成分場 : 微小ループ内で電場 E( 電束密度 D) は一様と近似可能 : 面積分零右辺 : 零媒質側 : 磁場 H の面内方向成分媒質側 : 磁場 H の面内方向成分 P, Hdl H l H l H r H r 磁場 H の面内方向成分 : 微小ループのため一様と近似参考までに誘電体の場合磁場 H の面内方向成分 : 一致鏡 ( 導体 ) の場合表面電流が誘起され反射光となる境界条件 : 磁場 H の面内方向成分が一致マクスウェルの方程式から導出光通信工学 5-

スライド 1

スライド 1 暫定版修正加筆の可能性あり ( 付録 ) マクスウェルの方程式 : 真空中 () 1. 電磁波 ( 光波 ) の姿 : 真空中. エネルギー密度 3. ポインティングベクトル 4. 絵解き : ポインティングベクトル 5. ポインティングベクトル : 再確認 6. 両者の関係 7. 付録 : ベクトル解析注意 1. 本付録 : マクスウェルの方程式: 微分型を使用. マクスウェルの方程式を数学的に取扱います