第 13 回 RCL 回路のまとめ,SPICE 演習その 2, 分布定数回路 目標 : RCL 回路のまとめ SPICE 演習その2 ケーブル 配線と分布定数回路 電気回路 の講義では, コンピュータに関連する電子回路や論理回路の分野で必要な知識を学んだ その際, 学生の弱点と考えられる, 数式数式

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1 第 13 回 回路のまとめ,SPIE 演習その, 分布定数回路 目標 : 回路のまとめ SPIE 演習その ケーブル 配線と分布定数回路 電気回路 の講義では, コンピュータに関連する電子回路や論理回路の分野で必要な知識を学んだ その際, 学生の弱点と考えられる, 数式数式の理解理解に基づくづく抽象的抽象的な思考能力思考能力, 回路図回路図や周波数特性周波数特性などになどに関するする図形的な思考能力思考能力 を鍛える ( あるいは, 重要性に気づく ) ことに留意して学習内容を選択した 十分とは言えなかったが, 回路設計の現場で活用されるようになってきた電子回路シミュレータSPIE の演習を行なった 第 13 週の資料は, 回路に関する まとめ と, 並行して行なうSPIE 演習の課題, そして, 高速な論理回路の動作の理解に欠かせない 分布定数回路 についての補足資料をまとめた 回路のまとめ 表 13.1 に, 電気回路で利用される,, 素子の性質をまとめた これらの素子について, インピーダンス, 電圧の変化を他の要素に結合するときの働き, そして電流当りの電圧降下についてまとめている これらの性質を利用することで, 様々な機能が実現できる 素子単独の場合と, つを組み合わせた場合について記載した 組合せは, もっと多いのであるが, 講義に関連する範囲に留めてある 表 13.1 よく使われる,, の性質 素子 インピーダンス 周波数, 信号の変化に関する性質結合一定電流に対する電圧降下 一定 一定 単 独 1 jω, 1 s jω, s 直列 1 + jω, 1 + s 並列 1+ j ω, 1 + s 直流は全く通さない低い周波数は通しにくい高い周波数 速い変化は通過直流は完全に通過, 低い周波数は通しやすい高い周波数 速い変化は阻止直流は全く通さない, 高い周波数 速い変化に対して一定 直流から低周波数で一定高い周波数 速い変化は通過 周波数が増えると電圧降下は減少 直流では 0, 周波数が増えると増大 高い周波数で一定 低い周波数で一定, 高い周波数で減少 組み合わせ 直列 並列 + jω, + s jω, s + jω + s 直流から低周波数で一定高い周波数 速い変化は阻止 直流から低周波を通過高い周波数で一定 低い周波数で一定, 高い周波数で増大 低い周波数で減少, 直流では 0, 高い周波数で一定 直列 1 ω 1+ s 共振, ω = 1/, jω s 過 で完全に通 共振周波数で 0 並列 jω s, 1 ω 1+ s 反共振, ω = 1/ で完全に阻止 共振周波数では電流は流れない 電気回路配布資料 13-1

2 表 13. は, 講義で紹介した 回路の例をまとめたものである注 表で 用途 とあるのは, 意図して構成する回路 の代表的な用途である 一方, 寄生的な回路 とは, 資料 9 で述べた 隠された回路 のことで, 意図せず構成された場合の影響について記載している 表 13.,, 回路のまとめ 回路名直列部並列部用途寄生的な回路 直列 簡単な平滑化回路位相遅れ回路パルス波形の積分 出力抵抗と入力容量で発生し, 動作遅れの原因となる 直列 直列 簡単なハイパス回路交流増幅回路の段間接続 ( 直流カット ) 位相進み回路パルス波形の微分交流信号の阻止 ( チョーク回路 ) 一次遅れ回路 ( 単独で使われることは少ない ) 高周波数では, 寄生容量による信号の混入の原因となる 高速回路で配線が長くなったとき, 成分の電圧降下が問題になる 直列 直列 直列 位相進み回路直流から低周波数信号を減衰させるパルス波形の微分 ( 単独で使われることは少ない ) 次の低域通過フィルタ の調節により周波数特性のピークを制御できる 負荷は, 直流から低周波数で負荷が重くなるので注意 配線が長くなったとき寄生的な と入力の でリンギングを起こす 直列 + 直列 共振周波数で信号を通過 直列回路で, 配線の寄生インダクタがあると, リンギングを起こす 並列 + 並列 共振周波数で信号を阻止チョーク回路で, に寄生容量が並列になっていると, 高周波数信号が抜けてしまう Z Z 1 3 Z Z 4 Z n このような構成を梯子型回路と呼ぶ 水平な枝を直列部, 垂直な枝を並列部とする 注 : インダクタ () を使う回路は, 低周波数領域の弱電回路ではあまり使われない 一般的なインダクタはコアを必要とするため, 寸法と重さの点で不利になる また低周波回路では巻き数が多くなる 一方, 高周波回路では, これらの影響が小さいこともあり, 広く利用されている なお, インダクタが多用される フィルタ の例が抜けているのは, 講義担当者の経験が不足している分野であるためなので, 興味がある方は, 自分で調べてみて欲しい また, と を組み合わせた共振回路についても, 理解しやすいものを紹介しただけで, 実際に使われているかどうかは確認していない 梯子型回路 ( はしごがたかいろ,laddr circuit) 13- 電気回路配布資料

3 SPIE 課題 [1] 以下の回路について, 指定された特性を解析せよ 1) 直列回路 : = 100nF, = 10kΩとする 1 周期 1ms 振幅 -1,+1 の 値矩形波で駆動したときの出力波形 周期 10ms 振幅 -1,+1 の 値矩形波で駆動したときの出力波形 3 周期 100ms 振幅 -1,+1 の 値矩形波で駆動したときの出力波形 ) 直列回路 : = 100nF, = 10kΩ とする 1 周期 0.1ms 振幅 0,+ の 値矩形波で駆動したときの出力波形 周期 1ms 振幅 0,+ の 値矩形波で駆動したときの出力波形 3 周期 10ms 振幅 0,+ の 値矩形波で駆動したときの出力波形 4 周期 100ms 振幅 0,+ の 値矩形波で駆動したときの出力波形 Edit Simulation MD: Transint Voltag: PUSE,Tris,Tfall は 10u に設定 課題 Tdlay は 0,Ncycls は空欄 Stop tim Tim to Start Maximum Timstp Vinit Von Ton Tpriod 1)1 05m 00m m 1m 60m 10m m 10m 3 700m 00m m 100m )1 10.5m 10m m 0.1m 15m 10m m 1m 3 60m 10m m 10m 4 600m 100m m 100m 3) 直列回路 : = 1nF, = 15.9kΩ の周波数応答を 1kHz~100kHz の範囲で求めよ 4) 直列回路 : = 1nF, = 15.9kΩ の周波数応答を 1kHz~100kHz の範囲で求めよ 5)//+ 回路 : = 1nF, 1 = 159kΩ, = 15.9kΩ の利得 - 周波数応答を 10Hz~100kHz の範囲で求めよ 正式な名称ではない 1 Edit Simulation MD:A Analysis 課題 Typ of swp Numbr of points pr octav Start frquncy Stop frquncy Voltag:SINE,Amplitud は 1 に設定 その他は 0 または空欄 Amplitud Small signal A analysis A Amplitud A Phas 3) Octav 10 1k 100k ) Octav 10 1k 100k ) Octav k 電気回路配布資料 13-3

4 分布定数回路 これまで学んできた内容では, 回路を構成する素子の寸法や導線の長さの影響は考慮されていない 素子の 1 つの端子に流れ込む電流の値が変化すれば, 流れ出す電流の値も直ちに変化する, 素子と素子を接続する導線も, 抵抗 0 であれば, 導線上の全ての点が同電位であるとして扱った このとき, 導線を含む回路の構成要素は,( 電圧と電流の変化の伝搬という点で ) 寸法が0 で1 点に集中していると考えていることになる 回路の寸法の影響を無視して扱う回路を, 集中定数回路と呼んでいる 一方, 動作周波数が高く速い変化の信号を扱うようになると, 電圧や電流の変化が回路内を伝搬していく速さを考慮しなければならなくなる 高速動作する回路や寸法の大きい回路 コンピュータ用回路, 送電線など 電圧と電流が波として伝搬していくとして扱う 分布定数回路,, の成分が分布している 伝搬線路と, そのモデル 分布定数回路として扱う代表的なものが, 長距離の送電線や通信線などの伝送線路伝送線路である TV 受像用の機器を相互に接続する同軸ケーブルや, アンテナの接続に使うフィーダー線も伝送線路である さらに, 最近の高速動作する回路では, 機器間の接続ケーブルだけでなく, 基板内の配線も伝送線路として扱うことになる 図 13.1 伝送線路は導線の対 伝送線路は図 13.1 に示すように, 本の導線が対になっている形で構成される 伝送線路の具体的な例として, 図 13. に示すようなものが挙げられる 外被外部導体絶縁体内部導体 絶縁体 導体 図 13. 伝送線路の例左から, 同軸ケーブル, フィーダー線, プリント基板の配線パターン 伝送線路と波動方程式 伝送線路は,, 成分が連続的に分布している 今, 抵抗 は十分小さく無視できると仮定し, 単位長さ当りのインダクタンスと導線対の間のキャパシタンスをそれぞれ,, とする 図 13.3 のように伝送線路の長さ方向に座標 x を設定し, 位置 x, 時刻 t での電圧と電流を, それぞれ v( x, t ), i( x, t) とすると, この つの信号は, 以下に示すような偏微分方程式を満たす v( x, t) i( x, t) = i( x, t ) 前進波後進波 i( x, t) v( x, t) = v( x, t) v( x, t) = i( x, t) i( x, t) = x t 断面図 (13.1) 電圧と電流の関係を表す式 (13.) (13.1) 式を整理して得られる 波動方程式 と呼ばれる 導体 ( 配線パターン ) v( x, t) 絶縁体 ( 基板 ) 導体 (GND パターン ) x 図 13.3 電圧波と電流波 集中定数回路 (lumpd constant circuit), 分布定数回路 (distributd constant circuit), 伝送線路 (transmission lin), 同軸ケーブル (coaxial cabl), フィーダー線 (fdr), プリント基板 (printd circuit board,pb), 波動方程式 (wav quation) 13-4 電気回路配布資料

5 偏微分方程式 (13.1) または (13.) を満たす解は, v( x, t) = f ( t x / u) + g( t + x / u) 1 i( x, t) = f ( t x / u) g( t + x / u) Z O { } f ( t x / u) : 前進波は, 一般解 g( t + x / u) : 後進波 境界条件 ( 信号源, 端の処理形式 ) で関数の形が定まる 1 u = : 伝搬速度, Z = : 特性インピーダンス O つまり, 単位長のインダクタンス, キャパシタンス の無損失伝送線路では, 1 伝搬速度 : u = 電圧 電流は, この速度で伝送線路を伝搬する 特性インピーダンス : Z O = 伝送線路上の各点での電圧 / 電流の比 ( 伝送線路が無限に長いとき ) となる 実例を挙げると, 表 13.3 のようになる ケーブルの名称 特性インピーダンス Z [Ω] O 表 13.3 同軸ケーブルの特性値 [pf/m] [µh/m] u[m/s] 1m あたりの伝搬時間 t p [ns/m] 3V G58A/U なお,TV 用の並行フィーダー線の特性インピーダンスは 00Ω または 300Ω が主流である 電圧と電流電流の変化変化は, 伝送線路上を速度 1/ の速度速度で伝搬伝搬する光速 ( m/s) より少し遅い ( 10 8 m/s) 電圧 / 電流比は特性特性インピーダンスインピーダンスで与えられる 特性インピーダンスインピーダンスの異なるところで, 反射波が発生発生する伝送線路を開放開放またはまたは短絡短絡してあると, そこで反射反射するする 特性特性インピーダンスインピーダンスに等しいしい抵抗抵抗でつなげばでつなげば無反射無反射に 参考参考 伝送線路送線路の微分方程式微分方程式の解 図 13.4 のように伝送線路を幅 x の微小な区間で分割して, 多数のインダクタとキャパシタが並んだ回路としてモデル化する 位置 x での線路間の電圧と, 流れる電流を, それぞれ v( x, t ), i( x, t) という 変数の関数で表す x x x + x 図 13.4 伝送線路の集中定数回路モデル 図 13.4 の回路を, の成分を1つにまとめて図 13-5 のように書き直す 回路図の つの電流ループの電流は, それぞれ i( x, t) および i( x + x, t) となる i( x, t) V ( x, t) V ( x + x, t) = x (13.3) ループ1 の回路方程式 v( x + x, t) i( x, t) i( x + x, t) = x (13.4) キャパシタに流れる電流 i( x, t) i( x + x, t) と, キャパシタの電圧の微分の関係の式, V ( x, t) i( x, t) = (13.5) i( x, t) x i( x + x, t) ループ 1 ループ v( x, t ) v( x + x, t) x x x + x 図 13.5 伝送線路の集中定数回路モデルその (13.3),(13.4) で x 0 とした極限 : v( x, t) v( x + x, t) v( x, t) lim = x x 0 i( x, t) v( x, t) = (13.6) i( x, t) i( x + x, t) i( x, t) lim = x x 0 (13.1) 式が導かれた // 電気回路配布資料 13-5

6 v v = i i = x t となる 正弦波交流の場合 (13.7) (13.) 式が導かれた // V ( x, t) i( x, t) = の両辺を x で偏微分, V ( x, t) i( x, t) = V ( x, t) i( x, t) = = i( x, t) に関しても同様に解ける i( x, t) v( x, t) = の両辺を t で偏微分, i( x, t) v( x, t) = 今, 伝送線路を角周波数 ω の正弦波交流が伝搬していく場合を考える このとき, 電圧と電流の関数は, 位置 x の複素振幅を表す関数 V ( x ), I( x) を使って, v( x, t) v( x, t) = V ( x) i( x, t) = I( x) (13.8) と書くことができる (13.5),(13.6) に代入して整理すると V ( x, t) i( x, t) (13.5) = に代入 v( x, t) { V ( x) } = = = jωi ( x) (13.9) もう一度 x で微分して, d V ( x) di( x) = jω (13.10) di ( x) = jωv ( x) (13.11) d V ( x) = ω V ( x) (13.1) (13.1) 式の解は 代入 jω x jω x 1 V ( x) = k + k (13.13) と書くことができる この V ( x) から I( x) を求め を乗算すると, v( x, t) = k + k i( x, t) = k k jω( t x) jω( t+ x) 1 jω( t x) jω( t+ x) { } 1 (13.14) が得られる それぞれ, 第 1 項が x の正の方向に進む前進波, 第 項が負の方向にする後進波を表す この式から, 伝搬速度が1/ になること, 電圧 / 電流比 ( 特性インピーダンス ) が / で与えられること, そして, 後進波の電流は前進波とは向きが逆になることなどがわかる // i( x, t) { I( x) } = = jωi ( x) = j ω I ( x ) i( x, t) v( x, t) (13.6) = に代入 i( x, t) { I( x) } di( x) = = v( x, t) { V ( x) } = = jωv ( x) di( x) = j ω V ( x ) より, より, (13.1) 式の解は V ( x) = k の形になるので, これを代入して整理して得られる特性方程式, s = ω を解くと, s = ± jω これを (13.9) 式 : = jωi ( x) に代入すると, jω jω = jω { k1 k } = jωi ( x) となるので, jω jω jω I( x) = { k1 k } jω { k j j 1 ω k ω = } sx 13-6 電気回路配布資料