格子上の超対称ゲージ理論

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1 格子超対称性の最近の進展について - 格子で調べるブラックホールの量子的性質 - 加堂大輔 ( 慶應義塾大自然セ ) えひめ青少年ふれあいセンター 2016 年 10 月 28 日 ( 金 )-30 日 ( 日 )

2 全体のトークプラン 28 日格子場の理論と格子超対称性 場の理論 格子理論 格子超対称性の導入 29 日杉野の格子超対称作用について 格子超対称性と格子超対称ゲージ理論の実現方法 30 日格子を用いたゲージ重力双対性の数値的検証 低次元の超対称ヤンミルズ理論における双対性の検証

3 講義 1: 格子場の理論と格子超対称性 格子超対称性の最近の進展について 2016 年 10 月 28 日

4 講義 1 のトークプラン 1. 場の量子論 2. 格子上の場の理論 3. 格子超対称性の難しさとその解決策 4. 格子超対称性の歴史

5 1. 場の量子論

6 素粒子 標準模型 電弱理論 ( ワインバーグ - サラム理論 ) 量子電磁力学 (QED) + 弱い相互作用量子色力学 (QCD) 場の量子論

7 場の量子論 量子論 + 特殊相対論 シュレディンガー方程式 非相対論 相対論 電磁場のように素粒子も場で記述 相対論的な場の方程式 クライン - ゴルドン方程式 ボーズ粒子 ディラック方程式 フェルミ粒子 自然単位系

8 クライン - ゴルドン方程式 作用 オイラー - ラグランジュ方程式 クライン - ゴルドン方程式

9 ディラック方程式 ガンマ行列 ( ディラックの代数 ) 作用

10 経路積分による量子化 量子力学 可能な径路をすべて足しあげる 場の理論の経路積分 分配関数 作用 関数の 配位 をすべて足しあげる 物理量 の期待値

11 量子電磁力学 (quantum electrodynamics, QED) 光子の運動電子の運動光子と電子の相互作用 : 光子の場 ( ゲージ場 ) : 電子の場 場のテンソル : 電子の質量 : 電磁相互作用の結合定数 作用は次の局所ゲージ変換で不変

12 マクスウェル方程式の導出 オイラーラグランジュ方程式 マクスウェル方程式

13 2 点関数の計算 自由場での計算 計算できる関数 摂動計算 ( 結合定数に関する展開 ) このように場の理論の計算ができる ( のとき有効 ゲージ固定 & 繰り込み )

14 ファインマングラフ ファインマン則 ファインマングラフを用いた計算 伝統的な摂動計算は 結合定数が大きい ( 相互作用が強い ) 時は有効ではない

15 強い相互作用の物理 クォークの閉じ込め 様々な束縛状態 カイラル対称性の自発的な破れ 漸近自由性

16 量子色力学 (quantum chromodynamics, QCD) 共変微分 場のテンソル クォーク場 ( 実際には 6 種類ある ) グルーオン場 ( ゲージ場 ) SU(3) ゲージ群の生成子 リー代数

17 ゲージ不変性 SU(3) のゲージ変換 作用のゲージ不変性 従って 作用はゲージ不変

18 QCD を解くのは難しい 無限自由度の非線形問題 運動方程式が非線形 無限個の積分 低エネルギー領域で相互作用が強い 摂動展開ができない 格子ゲージ理論を用いて摂動展開をせずに QCD を数値的に解く

19 2. 格子上の場の理論

20 格子について 格子サイズ 格子間隔 サイト ( ) 上かリンク ( ) 上で場が定義される ( 前方差分 ) : 方向の単位ベクトル

21 格子場の理論 ユークリッド化 実で正 格子計算 有限自由度系実正のボルツマン因子 数値的なアプローチ 場の量子論 近似なしの第一原理計算!

22 格子スカラー場の理論 分配関数 格子点に関する和 ( 前方 ) 差分 有限個の積分 計算機で扱える c.f. 連続のスカラー場の作用

23 フェルミオンの格子化 ナイーブなフェルミオン作用 前方差分 後方差分 ダブリング問題 運動量表示 連続理論 ダブラーモード 物理的な極 ダブリング問題を 避けた いろいろな格子フェルミオンが定義できる ( ウィルソンフェルミオン スタガードフェルミオン オーバーラップフェルミオン, )

24 Wilson フェルミオン ウィルソン項 持ち上がる ダブラーのない単一の物理的なモード 一方 カイラル対称性は壊れている ( 連続極限で回復 ) c.f. ニールセン二宮の No-go 定理 カイラル対称性を壊さずにダブラーはなくせない

25 ゲージ場の格子化 Wilson ループ 共変微分 この表式を極限を取らずに用いて格子化

26 格子上のゲージ不変性 格子ゲージ場 ( リンク場 ) リンク上で定義 連続のゲージ変換に一致 共変差分 共変微分に一致 格子上で厳密にゲージ不変なフェルミオン作用 ( 例 ) Wilson フェルミンの差分を共変差分に置換すれば良い

27 格子ゲージ場の作用 プラケットゲージ作用 作用はゲージ不変 連続極限 c.f. BCH 公式

28 格子 QCD プラケットゲージ作用 + Wilson フェルミオン 群上の一様積分 (Haar 測度 ) 実際の計算では O(a) 改良された Wilson フェルミオン 他の格子フェルミオン作用 格子ゲージ作用 ( およびそれらの改良版など ) が用いられている

29 数値計算の方法 シンプルなアイデア 鋭いピーク ランダムに配位 を生成して平均 Importance sampling 非効率的 ほとんどの場所でほぼゼロ 配位を確率で生成 : 重要な配位だけ効率よく積分

30 確率 で配位を生成する方法 マルコフチェイン 確率変数の状態 遷移確率が現在の状態だけで決まっている 詳細釣り合い条件を満たすマルコフチェイン [ 定理 ] 詳細釣り合いの条件式 を満たすマルコフチェインの遷移確率は 十分な回数遷移後 となる 詳細釣り合いを満たす遷移を与えれば良い

31 ハイブリッドモンテカルロ法 1. 初期の配位 2. ガウス型の重みでをランダムに生成 3. ( 分子動力学 ) 仮想的な時間を導入し 次の運動方程式を積分 は離散化して積分 4. 最後にできてきたを次の確率で受け入れ 詳細釣り合いを満たすマルコフ鎖

32 QCD の質量スペクトル BMW collaboration (Fodor et al.), Science 322 (2008)

33 当時の日本の計算 PACS-CS collaboration (A.Ukawa et al.), 2009

34 陽子 中性子の質量差 BMW collaboration (Fodor et al.), Science 347 (2015) クォーク質量の差 + QED の効果

35 3. 格子超対称性の難しさ & その解決策

36 超対称性 (supersymmetry, SUSY) フェルミオンとボソンを入れ替える対称性 スピノルの添え字 相対論的な場の理論で許される不変性 Coleman-Mandula の定理 (1967) Haag Lopuszanski Sohnius の定理 (1975) ポアンカレ対称性 + 内部対称性 + 超対称性 場の理論に自然に宿っている不変性

37 超対称性の動機 1. 標準模型を越える新しい物理 ヒッグス質量の 2 次発散の相殺大統一理論. 非摂動論的な超対称性の破れの機構 2. 超弦理論 大山鳴動して鼠 (?) 一匹 LHC ヒッグス粒子のみ? 重力の量子化 万物の理論 3. 理論的予想 サイバーグ双対性 サイバーグ ウィッテン理論 AdS/CFT 対応.. 格子を用いて超対称理論を非摂動的に解きそのダイナミクスを明かにする

38 格子超対称性の難しさ ( 古典論レベル ) 連続理論の超対称性 ライプニッツ則 ( 微分の分配則 ) 格子上でのナイーブな超対称変換 : 差分 加藤 - 坂本 - 宗の No-go 定理 (2008) いかなる局所的な差分を用いても格子上でライプニッツ則は成り立たない

39 超対称量子力学 ボソン フェルミオン の任意の関数 補助場 2 つの超対称変換で作用は不変 : グラスマンのパラメータ

40 超対称不変性 ライプニッツ則

41 ナイーブな格子超対称量子力学 ( 前方差分 ) : 格子間隔 格子上での超対称変換

42 格子上での超対称不変の破れ ライプニッツ則の破れ 超対称不変性の破れ

43 格子超対称性の難しさ ( 量子論レベル ) ナイーブな連続極限で超対称性は回復 この回復は量子論レベルでは一般に起きない 超対称性を破る相互作用 ループ積分由来の発散 超対称性を破るグラフ ノンゼロ で生き残る で消える

44 解決策 : 3 つのアイデア (1) 完全な格子超対称性の実現? 理論的に難しい (2) 係数の微調整 数値計算のコストが大きい (3) 対称性を部分的に実現 ( 主流 ) 連続極限で全ての超対称性が回復できればよい 部分的対称性で禁止 で消える

45 部分的な超対称性の実現 連続の超対称作用 ライプニッツ則 Q-exact な作用 (Q はベキゼロの超対称チャージ ) 量子論的な連続極限 格子化 量子論的な連続極限 格子化 超対称性が壊れた格子作用 ライプニッツ則の格子上での破れ Q-exact な格子作用

46 超対称量子力学の Q-exact 作用 Q 変換 ( ) Q-exact 作用 ライプニッツ則なしで作用は Q 変換で不変 Q 不変性は格子上に実現可能

47 格子超対称量子力学 格子 Q 変換 格子上で 格子作用 一つ分の超対称不変性 (Q 不変性 ) を保つ

48 格子ライプニッツ則と No-go 定理 ライプニッツ則 格子化 格子上のライプニッツ則 この関係式を満たす局所的なはない [ 加藤 - 坂本 - 宗の No-go 定理 ]

49 巡回ライプニッツ則 (cyclic Leibniz rule, CLR) CLR の発見 [Kato-Sakamoto-So, 2013] c.f. CLR の一般解 [D.K.-Ukita, 2015] 超対称量子力学の美しい定義 ( 相互作用項と運動項が別々に不変 ) 課題は 2 次元以上やゲージ理論での関係式の発見

50 4. 格子超対称性の歴史

51 格子超対称性の歴史 (2000 年の前まで ) 1970 年代初頭場の理論としての超対称性 & 1974 格子ゲージ理論 Wilson, PRD10(1974) 格子超対称性の最初の論文 1983 Wess-Zumino 模型の格子定式化 Dondi and Nicolai, Nuovo Cim. A 41(1977)1 Sakai and Sakamoto, NPB229(1983)173 c.f. Cecotti and Girardello, NPB226(1983)417

52 2 次元の N=(2,2) の Wess-Zumino 模型 Wess and Zumino, NPB70(1974)39 不変性を格子上に実現できる 超ポテンシャル c.f. Nicolai 写像 Nicolai (1980) 格子定式化法と数値テストの良い試験場 : Sakai and Sakamoto (1983), Elitzur and Schwimmer (1983) Beccaria, Curci, D Ambrosio (1998), Catterall and Karamov (2002), Catteral (2003), Kikukawa and Nakayama (2002), Fujikawa (2002), Giedt (2005), Bergner, Kaestner, Uhlmann,Wipf (2007), Bergner (2009), D.K. and Suzuki (2010),. などの複数の関連論文あり

53 WZ 模型の数値シミュレーション IR 固定点上で SCFT? Kawai and Kikukawa, PRD83(2011) カイラルプライマリー場のコンフォーマルウェイト WZ 模型は SCFT の振る舞いをする c.f. Kamata and Suzuki, NPB854 (2012) 552

54 格子超対称性の歴史 (2000 年の前まで ) 1970 年代初頭場の理論としての超対称性 & 1974 格子ゲージ理論 Wilson, PRD10(1974) 格子超対称性の最初の論文 1983 Wess-Zumino 模型の格子定式化 Dondi and Nicolai, Nuovo Cim. A 41(1977)1 Sakai and Sakamoto, NPB229(1983)173 c.f. Cecotti and Girardello, NPB226(1983) 次元 N=1 SYM の格子計算 Montvay, NPB466(1996)259

55 4- 次元 N=1 SYM の格子計算 D=4 N=1 SYM ゲージ場 マヨラナフェルミオン ウィルソンフェルミオン の微調整 Montvay, NPB466(1996)259 DESY-Munster collaboration カイラル極限 = 超対称極限 質量の微調整なしの計算 Curci and Veneziano, NPB292(1987)555 Suzuki, NPB861(2012)290 ドメインウォールフェルミオン : Endres, PRD79(2009) オーバーラップフェルミオン : JLQCD-collaboration, arxiv:

56 DESY-Munster collaboration の最近の結果 最も軽い束縛状態の質量スペクトル JHEP 1311 (2013) 061 bosonic bound state fermionic bound state 格子間隔 束縛状態は超対称ペアを組む c.f. Veneziano and Yankielowicz, PLB113(1982) 231

57 格子超対称性の歴史 (2000 年以降 ) 2003 超対称ヤンミルズ理論の格子定式化法の発見 Cohen-Kaplan-Katz-Unsal, Sugino 幾つかの超対称不変性を格子上に実現 D=2 係数の微調整なし D=3,4 係数の微調整減らせる 関連する理論の定式化や他の定式化法 Kaplan and Unsal (2005), Unsal (2008), Catterall (2005) D Adda, Kanamori, Kawamoto and Nagata (2006) Kikukawa and Sugino (2008), D.K., Sugino and Suzuki (2009), Matsuura and Sugino (2014),

58 超対称性の破れ 真空のエネルギー = 超対称性の破れのオーダーパラメータ ( 破れたときにノンゼロ ) 2 次元 N=(2,2) SYM Kanamori, Suzuki and Sugino, PRD77(2008)09502, PTEP119(2008)797, Kanamori, PRD79(2009) 正しいゼロ点エネルギーを持ったハミルトニアン 格子上で厳密に実現 超対称性は破れない

59 格子超対称性のトレンド LHC(2008-) 超対称粒子の探索 D=N=2 WZ 模型の格子定式化法 D=4 N=1 SYM の格子計算 超対称ゲージ理論の格子定式化法 INSPIRE : 格子で超対称性を議論した論文数

60 格子超対称性のトレンド LHC(2008-) 超対称粒子発見されずヒッグス粒子だけ? D=N=2 WZ 模型の格子定式化法 D=4 N=1 SYM の格子計算 超対称ゲージ理論の格子定式化法 INSPIRE : 格子で超対称性を議論した論文数

61 格子超対称性のトレンド LHC 危機? LHC(2008-) 超対称粒子発見されずヒッグス粒子だけ? D=N=2 WZ 模型の格子定式化法 D=4 N=1 SYM の格子計算 超対称ゲージ理論の格子定式化法 INSPIRE : 格子で超対称性を議論した論文数

62 格子超対称性のトレンド ビッグウェーブ? D=N=2 WZ 模型の格子定式化法 D=4 N=1 SYM の格子計算 超対称ゲージ理論の格子定式化法 INSPIRE : 格子で超対称性を議論した論文数

63 講義 2: 杉野の格子超対称作用について 格子超対称性の最近の進展について 2016 年 10 月 29 日

64 講義 2 のトークプラン 1. 超対称ヤンミルズ理論に対する杉野の格子作用 2. Tree-level O(a) 改良と厳密な超対称性 3. まとめ

65 1. 超対称ヤンミルズ理論に対する杉野の格子作用

66 2 次元の N=(2,2) の超対称ヤンミルズ理論 : ゲージ場 : 複素スカラー場 : 実の補助場 : 2 成分のディラックフェルミオン ゲージ不変性

67 変数変換 と変数を変えると

68 Q-exact な作用 Q 変換 Q 不変性はゲージ不変性より明白に成立 ( 連続理論ではその他の 3 つ分の不変性も存在 )

69 格子化 格子間隔 2 次元連続時空格子点 2 次元格子

70 格子上で厳密なゲージ不変性 ゲージ変換 共変微分と共変差分 場のテンソルとプラケット

71 Q-exact な連続理論の作用 Q 変換 を格子化

72 杉野の格子作用 F. Sugino, 2004 格子上の Q 変換 格子上でも一つ分の超対称不変性を厳密に実現

73 格子 Q 変換とベキ零性 格子上の Q 変換 冪ゼロ性

74 の定義が複雑な理由 ナイーブな定義と真空の縮退問題 (, -1 は余分な真空 ) 修正された定義 連続極限で望ましい真空のみ

75 摂動論的な超対称性の回復 量子補正で次元の演算子が生成されたとする でレレバントなのは U(1) 対称性で禁止 U(1) と Q 対称性で禁止 摂動論的には超対称性を破る演算子は生成されない

76 非摂動的な超対称性の回復 [Kanamori-Suzuki, 2008] 2 次元 N=(2,2) SYM での超対称ウォード高橋恒等式 : 超カレント : 超対称性を破る質量 摂動論を越えてすべての超対称性が連続極限で回復する.

77 2.Tree-level O(a) 改良と厳密な超対称性 M. Hanada, D.K., S. Matsuura, and F. Sugino, 論文準備中

78 杉野格子作用の O(a) 改良 M. Hanada, D.K., S. Matuura, and F. Sugino, 論文準備中 計算結果の精度の向上連続極限に近い作用に改良したい 杉野作用のナイーブな連続極限 Tree level の O(a) 改良を試みる

79 改良すべき場所 ナイーブな連続極限 変換 連続と一致 の部分

80 ゲージ場の中点処方 中点処方 ゲージ変換の連続極限 中点処方するとゲージ変換は改良しなくて良い

81 Q 変換の改良 発見法での改良 一般的には このように勝手に選んで Q 変換の代数が閉じるのか?

82 矛盾のない Q 変換が作れるとき 補題 与えられたがに対して と解けるとき は を満たす には微小ゲージ変換 が定義されていることを仮定

83 証明のラフな説明 補題の前提条件 与えられたをと書き直せる 証明のポイント 上で

84 補題の教え 改良前の格子 Q 変換 改良された Q 変換の一例 形式的には があり得る ダメ

85 O(a) 改良された Q 変換 望ましい 可逆 の局所性も OK は局所的 c.f. overlap Dirac operator の局所性 (Hernandez-Jansen-Luscher,1998)

86 Tree-level O(a) 改良された杉野作用 格子上の Q 変換 作用も Q 変換も指数関数的に局所的

87 改良作用のウルトラローカル版 格子上の Q 変換 の変数変換で 作用 Q 変換ともにウルトラローカル 数値計算への応用が容易

88 3. まとめ

89 まとめ 超対称性の動機 (1) 標準模型を越える物理 (2) 超弦理論 (3) 理論的興味 格子を用いれば超対称性と関連した予想 非摂動効果を数値計算によって明らかにできる 格子超対称性の難しさ ライプニッツ則の破れ 超対称性の部分的実現は解決策の一つ 数値応用は精密化の段階へ 部分的超対称性を保った O(a) 改良

90 未解決な課題 3 4 次元における係数の微調整の不要な格子超対称理論の定式化法の確立 サイバーグ双対性や AdS/CFT 対応等の理論的な予測に対する格子計算による直接検証 超対称理論の場合に有効となる複素作用問題の一般的な解決策. 未解決問題は枚挙にいとまがない

91 格子上の超対称性 : ファインチューニング不要な格子理論 N=(8,8) N=4 Lower dimensional AdS/CFT AdS/CFT N=(4,4) N=2 Seiberg-Witten Theory N=(2,2) N=1 N=2 SCFT SUSY Phenomenology D=4

92 ゲージ重力対応 強結合のゲージ理論 ( ラージ Nc 極限 ) 曲がった時空上の古典重力 超弦理論 : 開いた弦ゲージ粒子 : 閉じた弦 重力子 ( グラビトン ) D- ブレーン AdS/CFT 対応 [1997, Maldacena]

93 ゲージ重力対応の応用 1. 超弦理論の非摂動的な定式化? 2. ブラックホールの量子論的性質の理解 ブラックホールの情報喪失問題の解決への示唆 3. ホログラフィック QCD, ホログラフィック超伝導, 強結合の問題を重力側から理解する しかし ゲージ重力対応は予想である 検証が重要

94 新しい研究分野の開拓 ゲージ 重力対応 [1998, マルダセナ,...] 格子超対称性の進展 [2004~, カプラン, 杉野, ] 格子ゲージ理論を用いた ゲージ理論と重力 ( 超弦理論 ) をつなぐ新しい研究

95 講義 3: 格子を用いた ゲージ重力双対性の数値的検証 格子超対称性の最近の進展について 2016 年 10 月 30 日

96 トークプラン 1. 研究動機 2.1 次元 SYMとゲージ重力対応 3. 格子上の1 次元 SYM 4. ブラックホールの内部エネルギーと双対性の検証 5.2 次元系への拡張 6. まとめと今後の展開

97 2.1 次元 SYM とゲージ重力対応

98 1 次元超対称ヤンミルズ理論 連続の作用 : ゲージ場 : スカラー場 : フェルミ場 16 個の超対称不変性 : 16 個の変換パラメータ

99 1 次元 SYM におけるゲージ重力対応 16 個超対称チャージを持つ1 次元 SYM IIA 型超弦理論のN D0-ブレーン解 ラージ ブラックホール t N D0- ブレーン 重力側からの解析計算 1996 Klebanov -Tseytlin 格子を用いてゲージ理論側からブラックホールの物理量を計算双対性をチェックする

100 なぜ格子を使うのか? 思想 : 格子理論は. (1) 連続理論でできることは何でもできる (2) 数値計算で手計算でできないこともできる (3) 非摂動領域を調べる上でもっともパワフル 実際 QCD のときは成り立っていそう 格子 QCD : 摂動計算も可能 ハドロン質量 崩壊定数は高精度で評価できる陽子 中性子の質量差 格子でゲージ重力対応を調べるのも自然だろう

101 先行研究 (1) Non-lattice ( 格子ではない数値計算 ) 運動量シャープカットで正則化 ブラックホールの内部エネルギー 重力側の予言とあっているようだ 温度

102 先行研究 (2) Lattice ( 格子計算 ) コンパクトなゲージ場 ( 厳密なゲージ不変性 ) 格子上に超対称性は残っていない 重力側とあっていない.

103 これは non-lattice の立場が優れていることの証左なのか? 格子超対称性は不要なのか? 格子の成果や進展はQCDに限られるのか? 西村淳さん (PoS LAT2009 (2009) 016 より引用 ) non-lattice simulations are indeed useful for studying supersymmetric large-n gauge theories. 格子は必要ない と言わない所が良いなあ 花田政範さん (2010 年頃のプレゼンスライドより引用 ) Lattice is not needed; momentum cutoff method is much more powerful. 本当に格子がダメか明らかにしよう

104 正則化された理論の持つ対称性 Non-lattice ( 西村さんら ) Lattice ( カテラルら ) Lattice ( 本研究 ) ゲージ対称性 (BRST 対称性 ) 超対称性 2 つ おかしい 格子の方が残ってる対称性が高いようだ 我々は 杉野さんが提唱された格子作用を用いる

105 3. 格子上の 1 次元 SYM

106 杉野の格子作用 [2005, F.Sugino] Q-exact 型の連続の作用 2 つ分の超対称チャージ 格子化 up to ゲージ変換 杉野の格子作用 2 つ分の厳密な超対称不変性

107 格子上の Q 変換 連続理論 ゲージパラメータ微小ゲージ変換 の 格子理論 格子上で 格子上のゲージ変換

108 シミュレーションの詳細 HMC 法 カットオフオーダーの 4 体フェルミ相互作用 配位 : ゲージ場スカラー場補助場 フェルミオンのダイナミカルな効果 パフィアンの絶対値 パフィアンの位相 クエンチ

109 超対称ウォード高橋恒等式 超対称性の破れの源 (1) 温度 (2) 格子間隔 物理的 非物理的 カットオフ効果と温度効果の分離 c.f. 2007, 金森 - 鈴木, 2 次元 N=(2,2) SYM 超対称ウォード高橋恒等式を数値的に調べる 超対称ウォード高橋恒等式 超対称カレント 質量項由来の破れの項

110 超対称ウォード高橋恒等式の計算結果 相関関数の比のプロット のプラトー SUSY WTI が良く成立

111 SUSY WTI の連続極限 零質量極限 連続極限 格子間隔を 3 点に対する定数フィットでプラトー値の連続極限を取る 零質量極限 カットオフによる超対称性の破れは 連続極限で消え去っている 零質量極限では

112 4. ブラックホールの内部エネルギー と双対性の検証

113 ブラックホールの内部エネルギー ブラックホールの熱力学 熱力学 BH の熱力学 第 0 法則 熱平衡で 一定 ホライズンで表面重力一定 第 1 法則 第 2 法則 第 3 法則 に到達できない に到達できない : ブラックホールの質量 : ホライズンの面積 (1) 重力側の計算 (2) ゲージ側の高温展開 (3) ブラックホール内部エネルギーの格子計算

114 重力側の解析的な計算 (1) 10 次元の重力理論 (string frame) スカラー曲率 ディラトン R-R ベクトル 計量 古典解 (Black 0-brane)

115 重力側の解析的な計算 (2) Bekenstein-Hawking エントロピー 温度 ブラックホールの内部エネルギー

116 ゲージ側の高温展開 [ 川原 - 西村 - 竹内 (2007)] 運動量表示 非零モードの摂動計算 + 零モードの数値計算 の高次 ( 行列模型 ) NLO での内部エネルギー

117 ゲージ側の高温展開 - 再考 - 行列模型の数値計算による係数の評価 川原 - 西村 - 竹内 (2007) 我々の再計算? Schwinger-Dyson 方程式 SD 方程式との比較 川原 - 西村 - 竹内 (2007) 我々の再計算 何事も確かめるのが良い

118 ブラックホールの内部エネルギーの格子計算 補助場 (7 個 ) の作用 高温展開 (NLO,N=14) 川原 - 西村 - 竹内 (2007), 加堂 - 鎌田 ( 準備中 ) 重力側の解析解 (1996 Klebanov -Tseytlin)

119 低温領域 [D.K. and S. Kamata (2015)] - 補正項を加えたフィット [ 重力の解析解 ] [ 我々の結果 ] [ 西村氏らの非格子計算の結果 (2009)]

120 NLO の寄与 ( 西村氏らの結果 ) この 3 点がフィット値を決定 2 大疑問点 (1) NLO が 20-30% の領域で NNLO は? (2) 低温でのずれはカットオフ効果のせいであるとして無視

121 NLO の寄与 ( 我々の格子の結果 ) 低温側 5 点を正直にフィットして

122 カテラル - ワイズマンの格子計算 なぜ カテラル - ワイズマンの結果は低温領域で落ちるのか? フラットディレクションの問題と関係

123 フラットディレクションの問題 ボソン作用とフラットディレクション 定数で対角行列 SU(3) T=2.8 BH BH non BH non-bh trajectory

124 相転移? ポリアコフラインの分布 BH non-bh 全領域が BH 的な相

125 カテラル - ワイズマン再考 固定したまま低温に行くと 最大のカテラルら : 12 西村ら : 17 我々 : 32 結果の違いに影響 フラットディレクションの配位を除外 [Catterall-Wiseman, 2009] 白抜き : フラットディレクションの配位を手で除外 第一原理計算に抵触 Catterall-Wiseman: The method is clearly ad hoc and difficult to justify,

126 花田らによる格子を用いた再計算 [Berkowitz, Rinaldi, Hanada, Ishiki, Shimasaki, Vranas (2016)] O(a) 改良したカテラルの格子作用で再計算し 連続極限も取った [ 我々の結果 ( 連続極限を取ってない )]

127 5.2 次元での双対性の検証

128 2 次元 N=(8,8) 超対称ヤンミルズ理論 連続の作用 : ゲージ場 : スカラー場 : フェルミ場

129 杉野の格子作用 (2 次元 N=(8,8)SYM) 不変な作用 前方 (+) / 後方 (-) 共変差分 真空の縮退の問題 c.f. 縮退のない作用アドミッシブル作用 [ 杉野 ] : 型作用 [ 杉野 - 松浦 ] などは コード化が煩雑 計算コストも多少高い

130 連続極限 ナイーブな連続極限 格子間隔 差分に関する高次項を無視 この議論が正当化されるためには 次の条件が必要 プラケット ボソン部分の差分の高次項

131 縮退した真空の問題 スカラー場がゼロ (, -1 は余分な真空 ) スカラー場がノンゼロ 滑らかでない配位 が を与える

132 縮退した真空は実際上問題ない のヒストグラム ボソン作用の高次項 とすると 杉野作用の真空縮退は 問題 ではないことを数値的に確認

133 超対称ウォード高橋恒等式 プラトーの値 2 次元の N=(8,8) SYM の杉野作用は正しい連続理論を再現

134 ブラックストリングの熱力学 E-P 重力側の解析解 [Klebanov-Tseytlin, 1996]

135 の計算結果 ( 準備段階の結果 ) E.Giguere and D.K., 準備中 ゲージ理論の高温展開 [E.Giguere and D.K.] 高温側でゲージ理論の高温展開を再現

136 低温領域 2 次元 SYM におけるゲージ重力双対性の妥当性を示唆している

137 6. まとめと今後の展開

138 まとめ 格子でゲージ重力対応を検証 2/16 個の超対称変換を厳密に保つ杉野の格子作用を採用 1 次元,2 次元で超対称ウォード高橋恒等式の数値計算 格子理論は望ましい連続理論を再現 1 次元 SYM に双対なブラックホールの内部エネルギーの結果 - 高温展開の計算 [ 川原 - 西村 - 竹内 (07)] の修正 - 格子計算から

139 本研究の今後の展開 1 次元 SYM の計算 - 内部エネルギーの結果の連続極限 最低次の係数 7.41の説明 - パフィアンの位相の取り入れ - 1/N 補正の計算. 2 次元 SYM の計算 - 相構造 - black string の内部エネルギーを格子計算から評価. AdS/CFT 対応の数値的な検証

140 これまでの格子理論 QCD QCD QCD の閉じ込め 格子ゲージ理論研究 Fodor et al. [2014] 陽子 - 中性子の質量差を格子で計算 格子 QCD 研究の終わりの始まり? 格子ゲージ理論研究に未来はあるか?

141 格子の展望 格子理論 格子超対称性 超弦理論 QCD 格子ゲージ重力対応 量子情報 素粒子論 重力 物性 興味のある人は是非一緒にこの分野を盛り立てましょう