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ふみなとくやす
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1 非専門家のための AdS/CFT 対応入門京都大学大学院理学研究科中村真基礎物理学研究所研究会 : 量子多体系のエンタングルメントとくりこみ群 0 年月 4 日 AdS/CFT 対応の日本語解説記事中村が素粒子論の専門家で AdS/CFT 対応の非専門家である方々向けに行った講義の講義録は : 素粒子論研究電子版 Volume 7 (0 年 3 月 7 日発行 ) 項目 4 第 5 回新潟山形合宿報告における解説記事 schedule/niiyama00/niiyama-nakamura.pdf また上記内容を改定拡充したものとしては中村真ホログラフィックゲージ理論入門 --- 超弦理論がつなぐ高次元重力理論とハドロン物理 --- 原子核研究 56- (0) 3. 他に日本語で素粒子の非専門家向けに書かれた記事としては例えば中村真夏梅誠超弦理論がつなぐブラックホールと流体力学物性研究 94-3(00)350 素粒子論研究 8-(00)63 ( 物性研究記事の転載 ) 夏梅誠線形応答理論で学ぶ AdS/CFT 双対性原子核研究 54-3(00)0. などがあります素粒子の専門家向けの記事としては他に今村洋介 AdS5/CFT4 correspondence 素粒子論研究 98-6(999)09 などがあります

2 講演予定 AdS/CFT 対応とは? ブラックホールで感じる AdS/CFT 対応ゲージ理論 D-braneを経由する考え方余分な次元の意味 ħ=c=k B =の単位系を用います単に次元と述べた場合時間方向を含んでいる場合があります AdS/CFT 対応とは?

3 AdS/CFT 対応とは何かこの研究会に適した説明 : ある微視的理論の多粒子系を粗視化しエントロピーなどの巨視的概念を抽出してくれる理論的なしくみである AdS/CFT 対応とは何かこの研究会に適した説明 : ある理論の長さ ( エネルギー ) スケールを空間の新たな次元として可視化するプリズムのようなものである CFT 注目する理論 : 様々なスケールの物理が混在 AdS/CFT 対応する理論には : あらたな次元方向があらわれスケールごとに住み分けがなされる AdS

4 AdS とは何か? AdS: Anti de Sitter 時空曲率が負で一定の時空 ( の一つ ) ds: de Sitter 時空 ( 曲率 : 正 ) 時空 : Einstein の一般相対性理論では時間と空間は時空という一種の多様体であって重力理論は時空の幾何学で記述される曲率とは? 本の平行線について : 平坦 : 正曲率 : 負曲率 : 負曲率の場合平行線に沿って進むにつれ互いの距離が離れていくような方向 ( 右上図の上下方向 ) があり本の平行線間の距離が無限大となる点を境界と呼ぶ Picture:

5 AdS とは何か? AdS: Anti de Sitter 時空曲率が負で一定の時空 ( の一つ ) AdS 時空には境界 (boundary) が存在する CFT とは何か? CFT: Conformal Field Theory ( 共形場理論 ) AdS/CFT 対応では共形不変性のある強結合ゲージ理論が登場する場合が多い

6 コメント歴史的には AdS 時空と CFT ゲージ理論の対応が最初に発見された (Maldacena, 997) しかし現在では AdS でない時空と CFT でない理論の対応も多く知られている AdS/CFT 対応ゲージ重力対応ゲージ string 対応 Holography Maldacena conjecture AdS/CFT 対応に関する迷信 AdS/CFT の名前は提案当初の歴史的経緯によるなど様々な名前で呼ばれる CFT に対してしか用いることができない? こうでない version もある共形不変なゲージ理論量子論相互作用は強い AdS/CFT 対応とは = 等価であると主張 AdS 時空上の一般相対性理論古典論 ( 超重力理論 ) d+ 次元 (d+)+ 次元 * 相互作用は弱いミクロな量子論の相互作用を含んだ困難な計算が重力の古典力学で容易に計算できる * 正確には 9+ 次元もしくは 0+ 次元

7 正確な具体例 SU(Nc) large-ncn=4 Super Yang-Mills (SYM) 理論 ( 超対称ゲージ理論 ) で t Hooft 結合 λ=g YM Nc >> の量子場理論 ( 平坦な 3+ 次元時空上の理論 ) 等価 Maldacena 次元の AdS 5 S 5 時空上の type IIB Super-gravity 理論 ( 超重力理論 = 一般相対性理論を一般化した理論 ) の古典論 ( ただし時空の曲率が十分小さい極限をとる ) この対応はどのように得られるのか? この formalism は超弦理論に立脚している超弦理論は重力理論とゲージ理論を統一的に扱うことの出来る理論であるため両者を結び付けることが可能となった具体的には D-brane と呼ばれる弦の soliton 解を通じて対応を見つけることができる ( ただし数学的証明はなく予想である )

8 ブラックホールの物理学から AdS/CFT 対応の香りを感じるこうでない version もある共形不変なゲージ理論量子論相互作用は強い AdS/CFT 対応とは = AdS 時空上の一般相対性理論等価であると主張 d+ 次元 (d+)+ 次元 * 古典論相互作用は弱い問い : どうして次元の異なる理論がミクロな量子論の等価となり得るのか重力の古典力学で? 相互作用を含んだ容易に計算できる困難な計算が * 正確には 9+ 次元もしくは 0+ 次元

9 ブラックホールと熱力学ブラックホールとは? Einstein 方程式の解であって強い重力のため光でさえ脱出できない領域が存在する時空もともと AdS/CFT 対応の提案 (997 年 ) 以前よりブラックホールの物理学と熱力学の類似性が Hawking や Bekenstein により指摘されていた (973 年 ) ブラックホール Einstein 方程式の解の一つ重力が強い重力が弱い radial direction 光は脱出できない (trapped region) Horizon (Apparent horizon) 光が脱出できる (un-trapped region)

10 ブラックホールと熱力学の法則熱力学ブラックホール第 0 法則熱平衡では温度が一定定常解では表面重力 κ (Tに対応) が一定第法則 de=t ds+μdn dm=[κ/(8πg N )]da+μdn ( 第項は各運動量や電荷に対応する項 ) 第法則第 3 法則エントロピーは減少しないホライズンの面積 A は減少しない物理過程で温度をゼロにできない (Nernst) 物理過程で表面重力をゼロにできない各法則について対応が成立している T κ =, S = π A 4 G G N : ニュートン定数 T κ =, π S = A 4 G しかしここで BH のエントロピーが何等かの 3+ 次元多自由度系のエントロピーに対応しているものと仮定してみようエントロピーは示量性 : 系の体積に比例するべき空間 3 次元の熱力学に対応させたければ A はホライズンの面積というよりも 3 次元体積 BH の定義のために 3 次元ホライズンに垂直方向が必要第 5 番目の座標が重力理論側には必要

11 ブラックホール Einstein 方程式の解の一つ重力が強い重力が弱い 3+ d radial direction 5th direction 光は脱出できない (trapped region) Horizon (Apparent horizon) 光が脱出できる (un-trapped region) さらに平坦な時空に埋め込まれた BH ( 通常の Schwarzschild BH) の比熱を計算すると負になる熱力学的に ill-defined しかし例えば AdS 時空に BH を埋め込むと比熱を正にできる

12 もし BH から考察を出発すると 4+ d AdS-BH?? T=0 limit 何らかの 3+ d 有限温度系ゲージ理論 4+ d AdS 何らかの 3+ d 系 ( ゼロ温度 )? 超弦理論によりこの矢印を厳密化したのが AdS/CFT 対応であるとも言えるゲージ理論 AdS/CFT 対応で登場するゲージ理論はクォークグルーオンの物理を記述する QCD( 量子色力学 ) に類似した非可換ゲージ理論であるそこで QCD について復習しておく

13 QCD( 量子色力学 ) クォーク陽子中性子などの核子中間子原子核の内部グルーオンクォーク反クォーククォークグルーオンをつかさどる理論 :QCD 量子電磁理論 (QED) に例えるとクォークは電子反クォークは陽電子 ( あるいは hole) に対応しグルーオンは光子に対応する QED: U() ゲージ理論 QCD: SU(3) ゲージ理論カラーと呼ばれる 3 つの自由度が存在する QCD の理想化 QCD: クォークとグルーオンの理論 SU(3) ゲージ理論クォークを取り除く SU(Nc) Nc=3 Nc= もとの SU(3) 理論の微細構造定数 4π Yang-Mills(YM) 理論グルーオンのみの理論 (SU(3) Yang-Mills 理論 ) large-ncym 理論 (SU( ) Yang-Mills 理論 ) λ=g YM Nc ( t Hooft 結合と呼ぶ ) が相互作用定数となっており Nc の極限で λ は固定する

14 QCD の理想化 ( 続き ) large-ncym 理論グルーオンのみの理論 large-ncsuper-ym 理論超対称 YM 理論グルーオンと同質量のフェルミオンをボゾンフェルミオンの入れ替え対称性 ( 超対称性 ) を保つ形で導入した理論 QCD の理想化 ( 続き ) Super-YM 理論超対称性の数 ( ボゾンとフェルミオンの入れ替えの方法の数 ) を N とすると 3+ 次元では N= N= N=4 が知られている Maldacena により最初に重力理論との対応が発見されたのが SU(Nc)N=4 SYM (large-nc,λ>>) 理論この理論は CFT( 共形場理論 ) である

15 現実の QCD との関係超対称性 : 超対称性を破る技術が存在するクォーク : クォークを導入する技術が存在する Large-Nc: SU(Nc=3) 理論の物理量を /Nc=/3 で展開して leading order のみを議論しているという解釈現時点では超対称性のない large-ncqcd の重力対応が得られており QCD の実験と悪くない一致が得られている T. Sakai and S. Sugimoto, Prog.Theor.Phys. 3 (005) , arxiv:hep-th/044 Prog.Theor.Phys.4:083-8,005. arxiv:hep-th/ 正確な具体例 SU(Nc) large-ncn=4 Super Yang-Mills (SYM) 理論 ( 超対称ゲージ理論 ) で t Hooft 結合 λ=g YM Nc >> の量子場理論 ( 平坦な 3+ 次元時空上の理論 ) 等価 Maldacena 次元の AdS 5 S 5 時空上の type IIB Super-gravity 理論 ( 超重力理論 = 一般相対性理論を一般化した理論 ) の古典論 ( ただし時空の曲率が十分小さい極限をとる )

16 もし BH から考察を出発すると 4+ d AdS-BH?? T=0 limit 何らかの 3+ d 有限温度系 N=4 SYMであるゲージ理論 4+ d AdS 何らかの 3+ d 系 ( ゼロ温度 )? 超弦理論によりこの矢印を厳密化したのが AdS/CFT 対応であるとも言える D-brane を経由する考え方 ( 正統的な説明 )

17 こうでない version もある共形不変なゲージ理論量子論相互作用は強い AdS/CFT 対応とは = AdS 時空上の一般相対性理論等価であると主張 d+ 次元 (d+)+ 次元 * 問い : どうして計算の簡単化が起き得るのか古典論? 相互作用は弱いミクロな量子論の相互作用を含んだ困難な計算が重力の古典力学で容易に計算できる * 正確には 9+ 次元もしくは 0+ 次元 AdS/CFT 対応の考え方同じ物理量を異なる真空上で展開した摂動論で記述すると計算結果は同じでも計算過程が全く異なるものとなる摂動論を展開する真空をうまく選ぶことで複雑な計算が簡単になる場合があるまず場の理論においてそのような例を見てみたい

18 例 : 3 理論 L= ( φ m φ µ ) + tachyonic V(ϕ) λ 3 φ 3! φ = 0 p m 真空 A 真空 B ϕ m φ = λ p +m A まわりの摂動論しか知らない者が B まわりの物理を議論したいとするどうしたら良いか? A の視点では B において場が期待値を持っているこれをどのようにしたら計算できるか? Consistency condition (Schwinger-Dyson eq.) m φ = λ L L Jφ δs[ J ] φ = δj J= 0 φ = + -λ +.. J J J m w w = m m = non-perturbative source を導入 ( 一点関数 tadpole) φ = = + λ m λ 4 w, w ( λ)! m w= w m

19 B まわりでの propagater( 点関数 ) = ) (... ) ( ) ( m p m m p m p m m p m p m m p m p λ λ λ λ λ λ B における propagater A まわりの摂動論の無限個の diagram の和が B まわりではたった個の diagram で計算される p +m = 例 : 3 理論 3 3! ) ( φ λ φ φ µ + L= m tachyonic 真空 A 真空 B λ φ m = = 0 φ p +m p m A まわりの摂動論を用いて無限個のダイヤグラムの足し合わせ ( 複雑な計算 ) をすることで B まわりの物理 ( 真空 B を知っていれば一発で計算可 ) を再現した V(ϕ) ϕ

20 この例で学んだこと同じ物理量の計算でも摂動論が立脚する真空を異なるものに選べば計算手法が大幅に異なってくる真空 B まわりの物理を記述する二つの方法真空 A の視点真空 B の視点 B における場の期待値 m /λ 0 Source あり (weight:-m 4 /λ) なし点関数 ( 古典 ) Source を挿入した無限個の diagram の和一本の diagram 複雑な計算 = 単純な計算同じことを弦理論で行うと AdS/CFT 対応が見えてくる弦理論への一般化弦理論の構成要素は点粒子ではなく弦平坦な時空上の摂動論は知られている超弦理論は 0 次元で定式化されている closed string open string Diagram は次元面となる重力場などゲージ場など string 長さが無視できる極限ではこのような点粒子と同定される source 一点関数は? D-brane?

21 Dp-brane closed string の一点関数 closed string の diagram が終端することのできる p+ 次元の超平面 ( 部分空間 ) ここの weight(tension) はどう計算できるのだろうか? p+ 次元 Dp-brane 0 次元 tension =weight Consistency condition (Modular invariance) D-brane = + closed string が propagate していると考えても良いし open string が loop を描いていると考えても良い二つの考え方に基づく計算が一致する条件から tension を計算できる tension = p+ p ( π) g l l : string length s s s string coupling g s の逆数に比例 : 非摂動的 4 m m w =, φ = w= λ m λ

22 D-brane これを open string の loop diagram だと見ると.. この open string の端点は D-brane に終端している D-brane 上には open string が存在する重力ゲージ場 D-brane 上にはゲージ理論が存在しているゲージ理論の coupling g YM を D3-brane の tension から読み取ると = YM g πg s Analogy 真空 A の視点真空 B の視点場の期待値 m /λ 0 Source あり (weight:-4m 4 /λ) なし点関数 ( 古典 ) Source を挿入した無限個の diagram の和複雑な計算一本の diagram 単純な計算弦理論平坦な時空の視点曲がった時空の視点 Graviton の期待値あり 0 D-brane あり (tension:g s - に比例 ) なし点関数 ( 古典 ) D-brane を挿入した無限個の diagram の和複雑な計算一本の ( 曲がった時空上の )diagram 単純な計算平坦な 0 次元時空 +D-brane で構成した弦の摂動論同じ物理の書き換え D-brane の無い曲った 0 次元時空で構成した弦の摂動論

23 真空 B, 曲がった時空は? Closed string の場の理論は完全には知られていないが平坦な時空上の IIB 超弦理論に D3-brane を導入した理論弦の長さが無視できる低エネルギー極限では black 3-brane 時空上の IIB 超重力理論を再現するための一点関数を提供 IIB 超重力理論 ( 良く知られている ) 弦の長さが無視できる低エネルギー極限ではこの理論には平坦な時空以外の解として black 3-brane 時空という解もある black 3-brane の tension/charge は D3-brane のそれと厳密に一致する ds = H Black 3-brane 解 N 枚の重なった D3-brane に対応する超重力理論の解 Black 3-brane 解 / r / ( dt + dx ) + H ( dr + r dω ) 4 r0 H = + r 4 0 = π r 3+ 次元方向の Poincare 不変性 4 ( 4 gs c) / ls r=0 に horizon がある ( 一種のブラックホール ) ADM 質量は r 04 に比例するすなわち N に比例するこの他に 4 階反対称テンソル場 (Ramond-Ramondfield) の flux が存在しこのブラックホールは D3-brane と同じ RR charge を持つこの他に scalar 場 (dilaton 場 ) も存在する 5 string length string coupling

24 D-brane vs. curved space IIB 超重力理論の black 3-brane 解に相当 IIB 超弦理論の D3-brane この上の open string を調べると N=4 SYM 理論を構成している弦の長さが無視できる低エネルギー極限では 4 次元の N=4 SYM 理論 + 平坦な 0 次元時空上の超重力理論 black 3-brane 解まわりの 0 次元超重力理論これがいらないので除きたい D3-brane black 3-brane ゲージ理論はここに局在 0 次元超重力理論 (flat 時空 ) +D3-brane 上の 4 次元 SYM 4 次元 YM だけ抽出 r 0 極限正確には注意が必要 0 次元超重力理論 ( 曲った時空 ) ゲージ理論の自由度はこの近傍 (r~0) に局在しているのではないか? Horizon 近傍の情報のみを抽出する r 0 極限をとった black 3-brane 解の上の超重力理論

25 Black 3-brane ds = H / r / ( dt + dx ) + H ( dr + r dω ) 4 r0 H = + r 4 0 = π r 4 ( 4 gs c) / ls 5 r 0 極限 (near-horizon limit) ( 正確には r/ls を固定しながら ) ds r r r = 0d r r 0 ( ) 0 dt + dx + dr + r Ω S 5 5 AdS 5 3+ 次元 N=4 SYM 理論 AdS 5 S 5 上の超重力理論等価? 等価というからには理論の持つ対称性くらいは一致していないと困る本当に一致しているか? N=4 SYM 理論の対称性 ϕ N=4 SYM 理論の場 4 種類の超対称変換を組み換える自由度 :R-symmetry A µ λλ λ3λ 4 ϕϕ 3ϕ 4ϕ 5ϕ 6 6 個の scalar 場を組み換える自由度に対応 SO(6) N=4 SYM 理論は CFT であることが知られている (β=0) 3+ 次元の conformal group は SO(,4)

26 ds 重力側の対称性 0 r r0 ( dt + dx ) + dr + r Ω r = 0d r r AdS 5 時空は時間がつあるような 4+ 次元 Minkowski 空間内の偽球面として構成できるので対称性は SO(,4) AdS 5 S 5 SO(,4) SO(6) 5 ここの回転対称性が SO(6) たしかに一致している! 結論 N=4 SU(N c ) large-n c SYM 理論の λ>> 極限の量子論等価曲率 << の AdS 5 S 5 上の IIB 超重力理論の古典論であると予想するに足る十分な理由が超弦理論にはある Maldacena(997) citation: 7933 の部分 : 対応をより精密に計算可能とするための条件

27 3+ d CFT 予想をさらに進めると多くの場合ここを忘れても差支えない N=4 SYM AdS 5 S 5 上の重力理論 4+ d AdS 予想ではあるが D-brane を通じた考察によりかなり具体的かつ精密な map を見つけることができたさらに予想を一歩進め一般にこの意味は? ( 何らかの )d 次元 CFT d+ 次元 AdS 上の重力理論の対応が成立しているのではないかと考えられている余分な次元の意味

28 どう等価なのか? 重力側とゲージ理論側の対応関係の辞書をどのように作ったら良いか? Black 3-brane 時空 D-brane の picture に立ち返ることが重要 Supergravity 反応が戻ってくる重力波 AdS flat 同じ反応のはず D3-brane + flat な時空 Supergravity SYM flat 重力波反応が戻ってくる SYM の視点からは外場 (source) の役割を果たす Near-horizon limit 後では AdS 時空に境界があった Horizon AdS Boundary 境界上のモード ( つまり境界条件 ) が外場 source に対応する何に対する source?

29 D-brane picture では T ij SYM T ij ( x ( x () () ) ) 重力波 g ij 重力波 g ij これは何? 入射した重力理論のモードが D-brane 上の YM のどのモードを励起するか調べれば良い例えば重力 (3+ 次元成分 metric g ij ) は D-brane 上の YM 理論の energy-momentum tensor と線形に結合するということは重力波 g ij 重力波 g ij Horizon AdS Boundary T ij ( x () ) T ij ( x () ) 曲った時空上の重力の古典的 Green 関数が平らな時空上の YM 理論の stress tensor のあらゆる planar diagram を取り入れた点関数を与える

30 紫外 vs. 赤外あくまで直観的な説明に過ぎないが外場の間の 3+ 次元的距離 AdS z= Boundary Z=0 AdS z= Boundary Z=0 YM 側で short distance を考えると重力側では boundary 近傍を考えることに対応する先ほどの BH の例では 4+ d AdS-BH 有限温度に戻ってみると T=0 limit 何らかの 3+ d 有限温度系具体的には N=4 SYM であることが判明した 4+ d AdS 何らかの 3+ d 系 ( ゼロ温度 ) 実はこのブラックホールの面積から読み取られるエントロピーは N=4 SYM の有限温度におけるゲージ粒子の多体系のエントロピーであった

5 番目の座標の意味そもそも AdS 5 と 4 次元 SYM が対応すると言った時に 5 番目の方向の意味を問うのは自然な質問であった厳密な正確性を無視して言えば 5 番目の座標はYM 理論の言葉ではエネルギースケールの方向であり非常に大雑把には非常に大雑把には異なるエネルギースケールの物理が5 番目方向の異なる場所に住み分けしているというイメージを持つこともできる IR UV

31 5 番目の座標の意味そもそも AdS 5 と 4 次元 SYM が対応すると言った時に 5 番目の方向の意味を問うのは自然な質問であった厳密な正確性を無視して言えば 5 番目の座標はYM 理論の言葉ではエネルギースケールの方向であり非常に大雑把には非常に大雑把には異なるエネルギースケールの物理が5 番目方向の異なる場所に住み分けしているというイメージを持つこともできる IR UV Horizon ( または origin) 5 次元目の方向 Boundary 実際巨視的物理に関連した物理量 ( エントロピーなど ) は horizon で与えられる AdS/CFT 対応とは何かこの研究会に適した説明 : 理論の長さ ( エネルギー ) スケールを空間の新たな次元として可視化するプリズムのようなものであるどの熱力学的概念が現れる場合 (BH) があったこの部分は曲がった時空上の高次元の重力理論であり余分な次元 ( のひとつ ) がCFT 側のスケールに対応していたさらに長距離側において多自由度系のエントロピーな CFT 注目する理論 : 様々なスケールの物理が混在 AdS/CFT 弦理論による書き換え対応する理論には : あらたな次元方向があらわれスケールごとに住み分けがなされる AdS

32 この研究会の趣旨の一つエンタングルメントエントロピーの AdS/CFT 対応による記述計算繰り込み群など理論のスケール変換に関する重力時空の視点からの理解本講演がこれらの入り口となれば幸いです

ଗȨɍɫȮĘർǻ 図 : a)3 次元自由粒子の波数空間におけるエネルギー固有値の分布の様子 b) マクロなサイズの系 L ) における W E) と ΩE) の対応として与えられる周期境界条件を満たす波数 kn は kn = πn, L n = 0, ±, ±, 7) となる長さ L の有限

ଗȨɍɫȮĘർǻ 図 : a)3 次元自由粒子の波数空間におけるエネルギー固有値の分布の様子 b) マクロなサイズの系 L ) における W E) と ΩE) の対応として与えられる周期境界条件を満たす波数 kn は kn = πn, L n = 0, ±, ±, 7) となる長さ L の有限 : Email: mizushima@mp.es.osaka-u.ac.jp, D38 0 08 5 S = k B ln W ) W n [] [] 5 N. 6 d h m dx ϕ nx) = E n ϕ n x) ) L 5 ϕ n x = 0) = ϕ n x = L) = 0, N k n ϕ n = N sink n x), E n = h k n m 3) k n = nπ, n =,,