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1 海岸工学 テキスト Coastal Engineering 広島大学工学研究科 海岸工学研究室 Graduate School of Engineering, Hiroshima Univ. River, Estuarine & Coastal Engineering Laboratory 川西 澄 Kiyoshi Kawanishi Office: A Tel & Fax:

2 目 次 2.4 微小振幅波理論 波長と波速 ( 分散関係 ) 水粒子の運動速度と軌跡 水中圧力 波のエネルギーとその伝達率 重複波 有限振幅波 浅水変形 波の屈折 波の反射と透過 砕波 波の減衰 高潮 津波 セイシュ 副振動と湾水振動 波の統計的性質と波浪推算 不規則波の解析方法 波別解析法による不規則波の表示 スペクトル解析法による不規則波の表示 風波の発生と発達 風波の発達過程 風波の推算法 沿岸海浜過程 海浜形状 波による底質の移動 漂砂量の算定 海浜流とその発生メカニズム i

3 2.4 微小振幅波理論 0. 渦なし流れとみなせる理由 [ 微小振幅波の仮定 (7) の成立理由 ] 波による底面付近の流速は周期的に流向が反転するため, 底面境界層で発生する渦度も周期的に符号が反転し, 正負の渦度が互いに打ち消し合うため, 底面近傍を除いて流れ場のほとんどは渦なし場 ( ポテンシャル流れ ) とみなされる. 進行波の流れと底面渦度 1. 基礎方程式と境界条件 (1) 基礎方程式教科書 16 ページの微小振幅波の仮定 (7) より, 水平, 鉛直速度は u = φ x, w = φ z (2.1) となり, これらを連続式 u x + w z に代入すると, 次のラプラス方程式となる. =0 (2.2) 2 φ x φ =0 (2.3) z2 また, 非粘性の渦なし流れでは次式のベルヌーイの式 ( 圧力方程式 ) が, 流れ場のいたるところで成立する. φ t + p ρ + gz φ 2 = f(t) (2.4) ここで, f(t) は時間のみの関数であり, φ に含めて考えることも出来る. 微小振幅波では, φ 2 を2 次の微少量として無視することができる.(2.3) 式から速度が,(2.4) 式から圧力が求まる. (2) 境界条件底面での運動学的条件海底面通過する浸透流がなければ, 底面での鉛直速度は h のラグランジュ微分で与えられる. すなわち w = Dh Dt. 底面が時間的に変化しなければ w = u h x = φ h x x. (2.5) 1

4 底面が水平なら w = φ z =0 (2.6) z= h が底面での運動学的境界条件になる. 水面での運動学的条件水面の水粒子が水面から離脱しなければ, µ w φ = Dη z Dt = η t + u η x η t, z = η 0 (2.7) 水面での力学的条件 ベルヌーイの式 ( 圧力方程式 ) から, φ 2 を2 次の微少量として無視し, 大気圧を 0 とすると, 水面 z = η では η 1 φ (2.8) g t となる. 時間的に変化する水面境界を有する場を解析的に解くことは困難なので, 微小振幅波理論では, 水面での境界条件が z =0 で適用できるものと考える. (3) 速度ポテンシャルの解波の観察から, 速度ポテンシャルとして, 次式の変数分離型の解が予想される. φ = Z(z)sin(kx ωt) (2.9) これを (2.3) 式に代入すると d 2 Z dz 2 k2 Z =0 (2.10) 底面での運動学的条件と水面での力学的条件のもとで上式を解くと が得られる. φ(x, z, t) = Hg cosh k(h + z) sin(kx ωt) (2.11) 2ω cosh kh 2.5 波長と波速 ( 分散関係 ) 水面での運動学的条件 (2.7) 式に (2.11) 式の φ の解と η = H 2 cos(kx ωt) を代入すると ωh sinh kh sin(kx ωt) =gkh sin(kx ωt) (2.12) 2 2ω cosh kh が得られる. これより ω 2 = gk tanh kh (2.13) L = gt 2 µ 2π tanh 2π h L (2.14) 繰り返し計算の必要がない近似式は ( s à s!) L gt 2 2π tanh h h 2π gt 2 1+ gt 2 (2.15) 2

5 C = L/T = ω/k から C = C = g ω µ gt tanh kh = 2π tanh 2π h L r s µ g gl tanh kh = k 2π tanh 2π h L (2.16) (2.17) kh で tanh kh 1 なので (2.16) 式より C gt 2π = C 0 ( 深海波 ) (2.18) L 0 = C 0 T gt 2 2π ( 深海波 ) (2.19) 従って, 深海波の波速 C 0 と波長 L 0 は周期 T で決まり, 水深の影響は受けない. kh 0 で tanh kh kh なので (2.17) 式より C p gh ( 長波 ) (2.20) L = CT p gh T ( 長波 ) (2.21) 従って, 長波の波速 C は水深 h のみで決まる ( 分散性のない波 ). 例題 2.1 の要点分散関係を使って波の周期と水深から波長と波速を求める. 2.7 水粒子の運動速度と軌跡 速度ポテンシャル φ が (2.11) 式のように求まっているので µ dx dt = u φ = H gk cosh{k(h + z)} cos(kx ωt) x 2 ω cosh(kh) µ dz dt = w φ = H gk sinh{k(h + z)} sin(kx ωt) (2.22) z 2 ω cosh(kh) 分散関係 (2.13) 式を使うと u = Hω cosh{k(h + z)} cos(kx ωt) 2 sinh(kh) w = Hω sinh{k(h + z)} sin(kx ωt) (2.23) 2 sinh(kh) 進行波の水面変動と水平流速 3

6 水粒子の運動軌跡 (2.23) 式の連立常微分方程式を解けば水粒子の運動が求まるが,(2.23) 式は右辺に未知関数 x, z を含む非線形方程式であり解析解を求めることは困難である. 水粒子の平均位置を (x 0,z 0 ) とすると, 微小振幅波では x x 0,z z 0 は微小で無視できる. 従って これはすぐに時間 t で積分できて dx dt = Hω cosh{k(h + z 0 )} cos(kx 0 ωt) 2 sinh(kh) dz dt = Hω sinh{k(h + z 0 )} sin(kx 0 ωt) (2.24) 2 sinh(kh) x = x 0 H cosh{k(h + z 0 ) sin(kx 0 ωt) 2 sinh(kh) z = z 0 + H sinh{k(h + z 0 ) cos(kx 0 ωt) (2.25) 2 sinh(kh) ξ = x x 0, ζ = z z 0 とおくと ここで, A = H 2 µ 2 µ 2 ξ ζ + =1 (2.26) A B cosh{k(h + z 0 )},B= H sinh(kh) 2 sinh{k(h + z 0 )} sinh(kh) 以上の結果から, 以下のことがわかる. 波にともなう水粒子の運動軌道は楕円である. 深海波 (kh > π) の変動振幅は水深方向に指数関数的に減少する. 長波 (kh < π/10) の変動振幅は水深方向に変化しない. 鉛直方向成分は底面からの高さに比例する. 例題 2.2 の要点まず分散関係式から波長を求める. この波長を速度ポテンシャルから求まる速度と加速度式 ( 教科書の 2.30 式 ) に代入して水粒子の速度, 加速度を求める. 2.8 水中圧力 (2.7) 式の 2 次の微小項を無視した圧力方程式に, 速度ポテンシャルの解 (2.11) 式を代入すれば, 水中圧力が求まる. p = ρ φ t ρgz = 1 2 γ 0H cosh{k(h + z)} cosh(kh) cos(kx ωt) γ 0 z (2.27) ここに, γ 0 は海水の単位体積重量 ρg である.(2.27) 式から圧力は, 右辺第 1 項の波の運動によって発生する動圧 p d と第 2 項の平均水位に対する静水圧 p s の重ね合わせで表されることが分かる. 水面変動 η = 1 2 H cos(kx ωt) を用いて書き直すと, p d = p p s = K p γ 0 η, K p = cosh{k(h + z)} cosh(kh) (2.28) 4

7 ここで, K p は圧力係数と呼ばれる. 上式から, 水中圧力を測定して, η を算定することができる. η = N(p p s) = Np d (2.29) γ 0 K p γ 0 K p ここで, N は補正係数で約 例題 2.3 の要点周波数から周期を求め, 分散関係式を使って波長 ( すなわち波数 ) を求める. 波数がわかると圧力係数が求まる. 5

8 2.9 波のエネルギーとその伝達率 波のエネルギー = 位置エネルギー + 運動エネルギー 位置エネルギー単位底面積当たりの水柱の持つ位置エネルギーは de p1 = Z η h ρgz dz = 1 2 ρg(η2 h 2 ) (2.30) 波のない静水時の位置エネルギーを de p2 とすると de p2 = Z 0 h ρgz dz = 1 2 ρgh2 (2.31) となる. 波の位置エネルギー de p は水柱の持つ位置エネルギーから静水時の位置エネルギーを引くことによって得られる. de p = de p1 de p2 = 1 2 ρgη2 (2.32) 規則波の水位変化 η =(H/2) cos(kx ωt) を代入して一波長にわたって積分し, 波長平均値を求めると E p = 1 2 ρg 1 L Z x+l x H 2 4 cos2 (kx ωt) dx = 1 16 ρgh2 (2.33) となる. これが, 単位幅当たりの波の ( 平均 ) 位置エネルギーである 運動エネルギー単位底面積当たりの水柱の持つ運動エネルギーは 単位幅当たりの波長平均値は E k = 1 2 ρ L de k = 1 Z η 2 ρ (u 2 + w 2 ) dz (2.34) Z x+l Z η x h h となり, 位置エネルギーと同じ大きさになる. (u 2 + w 2 ) dxdz = 1 16 ρgh2 (2.35) 波の全エネルギー前述の位置エネルギーと運動エネルギーを加えた単位幅当たりの波の全エネルギーは E = E p + E k = 1 8 ρgh2 = ρgη 2 (2.36) ここで, η 2 は水位変動の 2 乗平均である. 一波長間の総エネルギーは EL = 1 8 ρgh2 L (2.37) で与えられる. 6

9 2.9.4 エネルギー伝達率 ( 単位時間当たりのエネルギーの輸送量 ) エネルギー伝達率は仕事率で表される. 仕事率 = 力 速度 波の場合 力 = P d ( 動圧 ), 速度 = u( 水粒子の水平速度 ) であるから, 一周期平均したエネルギー伝達率 W は W = 1 T Z t+t Z 0 t = ρgh2 8 ω 1 k 2 h ½ 1+ P d udzdt ¾ 2kh sinh(2kh) (2.38) となり, エネルギー伝達率はエネルギーと群速度の積になっている. すなわち, W = EC g = ECn (2.39) ここで, n は群速度と波速の比で n = C g C = 1 ½ ¾ 2kh 1+ 2 sinh(2kh) (2.40) 深海波 ( 沖波 ) で n =0.5, 極浅海波 ( 長波 ) で n =1.0 となり, 群速度は波速以下である. (2.39) 式より波のエネルギー E は群速度 C g で運ばれることがわかる. 群速度とは 7

10 8

11 群速度の実験間隔の少し異なる縦縞を描いた図 A と B を重ねると第 3の縞模様 ( スダレ, モアレ ) が見える. モアレの黒い部分は2つの波の山と谷が重なって波が消えた所, 白い部分は山と山, 谷と谷が重なって, 波の振幅が大きくなった所と解釈できる. 振幅最大のところが動く速度が群速度である. さて,A と B の縦縞を平行に重ねたまま, 縞に直交する方向に紙を動かして以下の性質を確認する. (1) A と B を同じ速度 ( 位相速度 ) で動かせば, 当然のことながら, モアレも同じ速度で動く. このことは, 波に分散性がなければ, 群速度は位相速度に等しいことを示している. (2) A を B より速く動かせば, モアレは B よりも遅く動く. このことは, 波数の小さい波の位相速度の方が, 波数の大きな波の位相速度より速ければ, 群速度は, 両者の位相速度より遅いことを示している. (3) A を B より遅く動かせば, モアレは B よりも速く動く. このことは, 波数の小さい波の位相速度の方が, 波数の大きな波の位相速度より遅ければ, 群速度は, 両者の位相速度より速いことを示している. 水の波に関する群速度の性質 群速度は波速 ( 位相速度 ) 以下である. 群速度と波速の比は水深の減少とともに増加し,1.0 に漸近する ( 群速度は波速に近づいて行く ). 深海波では C g /C =1/2 である. 波速が水深とともに一様に減少するのに対して, 群速度は一時的に増加する. 水深による群速度の変化 例題 2.4 の要点波長と周期から波速を計算し,(2.40) 式を使って群速度を求める. 9

12 2.10 重複波 重複波 完全重複波 ( 定在波 ) 振幅が等しく, 進行方向が反対の波が重なってできる. η = η 1 + η 2 = H cos(kx ωt) + H cos(kx + ωt) 2 {z } 2 {z } x の正の方向へ進む波 x の負の方向へ進む波 = H cos {z kx } x によって波の振幅が変化 cos ωt = H cos 2π 2π x cos L T t (2.41) 水位変動と水粒子速度の関係は進行波と異なり, 波の腹 : kx =0, π, 2π, x =0,L/2,L, 水粒子速度 = 水平速度の振幅は 0, 鉛直速度の振幅は最大波の節 : kx = π/2, 3π/2, 5π/2, x = L/4, 3L/4, 5L/4, 水粒子速度 = 水平速度の振幅は最大, 鉛直速度の振幅は 0 完全重複波の水面変動と流速 10

13 部分重複波 η = η 1 + η 2 = H 1 cos(kx ωt) + H 2 cos(kx + ωt) 2 {z } 2 {z } x の正の方向へ進む波 x の負の方向へ進む波 = 1 2 (H 1 H 2 ) cos(kx ωt) {z } 進行波 + H 2 cos kx cos ωt {z } 定在波 = 1 2 (H 1 + H 2 )coskx cos ωt {z } 定在波 (H 1 H 2 )sinkx sin ωt {z } 定在波 (2.42) ここで, m =0, ±1, ±2, 最大波高 H max = H 1 + H 2, x = ml 2 2m +1 最小波高 H min = H 1 H 2, x = L 2 H 1 = H max + H min, H 2 = H max H min 2 2 K R = H 2 H 1 = H max H min H max + H min H max と H min を測定すれば, 反射率 K R が求まる (Healy の方法 ). 11

14 2.11 有限振幅波 波の非線形効果を評価する指標長波では,Ursell 数 U r = HL2 h 3 深海波では, 波形勾配 H/L 12

15 波による質量輸送 微小振幅波では水粒子の運動は楕円軌道を描くが, 実際の波では水粒子の運動は閉じた楕円軌道からはずれ, 水粒子は徐々に波の進行方向へ進んでいく. 問題 (1) 完全重複波 ( 定在波 ) の速度ポテンシャルを求め, 速度場が図 2.12 に示したようになることを確かめよ. (2) 完全重複波 ( 定在波 ) の位置エネルギーと運動エネルギーはどのように表されるか. 13

16 3.2 浅水変形 狭い意味での浅水変形とは, 水深変化による波形の変化を意味する. エネルギー収支は (EC g ) I (EC g ) II = W loss (3.1) エネルギー損失 W loss を無視すると (EC g ) I =(EC g ) II (3.2) E = ρgh 2 /8 の関係を用いると, H II H I = s (C g ) I (C g ) II (3.3) 断面 I を深海域にとり C g = nc の関係を用いると, 深海波の n は 1/2 だから r H C0 = H 0 2nC = K s( 浅水係数 ) (3.4) の関係がある. 分散関係 C = C 0 tanh kh より浅水係数は K s = 1 2n tanh kh = 1 q tanh kh 1+ (3.5) 2kh sinh 2kh となる. 例題 3.1 の要点分散関係 波長 波数 浅水係数 波高 3.3 波の屈折 波の進行方向 ( 波向 ) と波速の変化する方向とが異なる場合, スネルの法則にしたがって波向が変化する. sin θ 1 = sin θ 2 (3.6) C 1 C 2 b 1 cos θ 1 = b 2 cos θ 2 (3.7) K r = H H 0 = (EbC g ) 0 = EbC g (3.8) µ Cg0 C g µ 1/2 b0 = b 1/2 µ 1/2 b0 = K s K r (3.9) b µ 1/2 cos θ0 [ 屈折係数 ] (3.10) cos θ 14

17 波高変化を浅水変形によるものと屈折によるものに分けると H 0 0 H = H H0 0 H 0 H0 0 = K s K r (3.11) H 0 H = H 0 0K s, H 0 0 = H 0 K r (3.12) を相当 ( 換算 ) 沖波波高と呼ぶ. 一般に波がどのような屈折経路をとって観測地点に到達したかわからないので, H0 0 の沖波が浅水変形のみを受けて波高 H の波になったと考える.(3.6) 式から, 屈折角は次式のように波速の比を使って求められる. sin θ sin θ 0 = C C 0 (3.13) 等深線が平行な直線状の海岸に波が斜めに入射する場合,(3.6) と (3.7) 式から屈折係数は µ 1/2 µ cos θ0 1 sin 2 1/4 θ K r = = cos θ cos 2 θ 0 " ( 1 (C/C0 ) 2 sin 2 1/4 µ ) # 2 1/4 θ 0 C = cos 2 = 1+ 1 tan 2 θ 0 θ 0 C 0 (3.14) 上式を使えば, 入射角 θ 0 から屈折係数が求まる ( 屈折角を求める必要はない ). 例題 3.2 の要点分散関係から波長と波速を求め, 屈折係数と浅水係数を求める. 15

18 3.5 波の反射と透過 規則波の反射率と透過率 透過性の構造物に波が入射する場合のエネルギー収支は (EC g ) I =(EC g ) R +(EC g ) T + W loss (3.15) ここで, 添字 I, R, T はそれぞれ入射波, 反射波および透過波に関する量を示す. 水深の変化がなければ, 入射波, 反射波, 透過波の群速度は等しいから, µ HI 2 = HR 2 + HT 2 Wloss ρgc g (3.16) となる. 入射波高に対する比で表すと 1= µ HR H I 2 µ 2 µ HT Wloss + + H 1 I 8 ρgh2 I C = KR 2 + KT 2 + K loss (3.17) g である. ここで, K R = 反射率,K T = 透過率,K loss = エネルギー損失率である 砕波をともなう斜面 ( 海浜 ) からの反射率 K R = χ 1 χ 2 (3.18) ここで, χ 1 : 斜面の粗度や浸透性に関係する係数, χ 2 : 砕波の有無 ( 斜面勾配と波形勾配 ) に関係する係数である. 係数 χ 1 は, 不透過滑面で χ 1 =1, 不透過粗面で χ 1 =0.7~0.9, 砂浜で χ 1 0.8, 捨石で χ 1 =0.3~0.6 の値をとる. 係数 χ 2 は, 砕波によるエネルギー損失に関係し,Michie により以下のように与えられている. 砕波が起こる限界波形勾配 (H 0 /L 0 ) max は次式で与えられる. µ H0 L 0 max = r 2β π sin 2 β π (3.19) ここで,β は水平面と斜面とのなす角度 ( ラジアン ) である. 波形勾配が (H 0 /L 0 ) max より大きいとき, χ 2 = (H 0/L 0 ) max H 0 /L 0 (3.20) と与えられる. 16

19 3.6 砕波 砕波の形式 崩れ砕波 勾配がゆるい海岸に, 波形勾配の大きな波が入射する場合に見られる. 波形の非対称性は小さい. 巻き砕波 崩れ砕波の場合より急勾配の海岸に, 波形勾配の小さい波が入射するときに発生する. 波形の非対称性は大きく, エネルギー消散は急激に起こる. 砕け寄せ波砕波 さらに急勾配の海岸に, 波形勾配の非常に小さい波が入射するときに発生する. 波形の非対称性は大きい 砕波波高と砕波水深 - 砕波指標 沖波の条件 (H0 0 と T ) が与えられたとき, 砕波がどのような条件 (H b と h b ) で起こるかを推定する. 参考 浅海波 : H b =0.142 tanh 2πh b (3.21) L b L b µ H0 深海波 : =0.142 (3.22) L 0 max 極浅海波 :γ = H b h b 0.83 (3.23) 深海波では kh, tanh kh 1 から (3.22) 式が得られる. 極浅海波では kh 0, tanh kh kh から H b L b = πh b L b H b h b = π =0.89 砕波指標 ( 教科書の図 3.20~ 図 3.23) 図 3.20: 沖波の周期 ( 波長 ) 設計水深で砕波が発生するときの波高を求める. 図 3.21: 沖波の周期 ( 波長 ) 設計水深で砕波が発生するときの水底から波頂までの高さを求める. 図 3.22: 沖波の波高と周期 ( 波長 ) 砕波波高を求める. 図 3.23: 沖波の波高と周期 ( 波長 ) 砕波水深を求める 浅水変形と砕波条件浅水変形計算によって求められる砕波点での波高と, 砕波指標から求められる波高とは一致しない. これは, 浅水変形計算式は微小振幅波理論から求められたもので, 有限振幅の効果や砕波点付近での波形変化の効果が考慮されていないためである. 例題 3.5 の要点微小振幅波理論から求めた砕波水深と砕波波高を, 砕波指標から求められるものと比較する. 17

20 3.7 波の減衰 エネルギー損失により, 波は伝播するにつれ波高が減少する. エネルギー損失の原因としては,(1) 内部粘性,(2) 海底摩擦,(3) 海底面での粘性浸透,(4) 砕波,(5) 逆風などがあげられる 海底摩擦による波高減衰 (1) 波の乱流境界層底面剪断応力 τ b は τ b = fρu b u b (3.24) ここで, u b = 底面での水粒子速度, f = 底面摩擦係数である. 摩擦によって失われるエネルギー W f は底面剪断応力のなす仕事率として W f = τ b u b = fρ u b 3 (3.25) と表されるから, 半周期平均のエネルギー損失は Z T/4 E f = 2 τ b u b dt = 2 Z T/4 T T/4 T fρ u 3 b dt T/4 = 4 µ 3 fρ H 3 π2 sinh 3 = 4 kh T 3π fρû b 3 (3.26) ここで, û b は海底面での水粒子の最大平均速度である. エネルギーフラックスの保存則は x (EC g)= E f (3.27) となり, この微分方程式を解けば, 海底摩擦による波高の変化が求められる. 波のエネルギーと群速度を代入すると x (EC g)= ρgh µ k 1+ 2kh µ dh 8 ω sinh 2kh dx = E f 4 3π fρû b 3 (3.28) これに分散関係 ω/k = g/ω tanh kh = gt/(2π)tanhkh を代入すると µ ρgh gt tanh kh 1+ 2kh dh 8 2π sinh 2kh dx = 4 3π fρû b 3 (3.29) これを整理して, 浅水係数の2 乗 µ K 2 s = tanh kh 1+ 2kh 1 (3.30) sinh 2kh を用いると dh H 2 = 64π3 2 fk s 3g 2 T 4 sinh 3 kh dx (3.31) x の区間で水深が一定とみなし, x =0 で H = H 1, x = x で H = H の条件で積分すると H = 1+ 64π3 fk 2 1 s H 1 x H 1 3g 2 T 4 sinh 3 (3.32) kh (2) 海底摩擦係数 Jonnson は底面での摩擦応力 τ b の振幅 ˆτ b と水平速度の振幅 û b の関係を ˆτ b = ρ 2 f wû b 2 (3.33) とおいた. ここで, f w は摩擦係数で Reynolds 数 û b A b /ν と相対粗度で決まる. 代表長さ A b は水粒子の軌道振幅, d s は相当粗度である. 18

21 3.7.2 浸透による波高減少 水底が透水性の物質で構成されている場合, 波がその上を進行すると水底の水圧変化によって水の浸透または湧き出しが起こる. 透水層内の流れは粘性の作用によってエネルギーの一部を失う. 単位面積, 単位時間当たりのエネルギー損失 E p は, E p = π 4 ρg KH 2 1 exp( 8πD/L) L cosh 2 2kh {1+exp( 4πD/L)} 2 (3.34) ここで, D は透水層の厚さ, K は透水係数である. 透水層の厚さが D>0.3L なら D の影響はほとんどなく, E p = π 4 ρg KH 2 L cosh 2 2kh (3.35) と表される. 例題 3.6 の要点分散関係から水深 25 m での波長 ( 波数 ) を求め,(3.33) 式から浅水係数の 2 乗を計算する. 海底での摩擦損失を考慮した (3.35) 式を用いて, 波が 5km 進んだ時の波高を求める. 19

22 4.3 高潮 1. 発生原因 (1) 気圧低下,(2) 強風による海水の吹き寄せ 2. 発生条件 (1) 湾口が台風の襲来方向に開いている. (2) 台風の進行方向東側危険半円域に入る. (3) 湾奥に向かって強風が吹く. (4) 湾内の水深が浅い. 3. 高潮の計算 (1) 気圧低下による海面上昇 1 p ρ r + g η r =0 (4.1) 1 ρg (p p 0 ) {z } p +(η η 0 ) {z } =0 (4.2) η ps η ps = 1 p (4.3) ρg mb = 10 3 dyn/cm 2 だから,cm-mb 単位系では 1 ρg = =0.991 (2) 風の吹き寄せによる海面上昇水面勾配による圧力勾配と剪断応力が釣り合っている場合, 運動方程式は g η x + µ u K z =0 (4.4) z z 境界条件は ρk z u z = τ s for z =0 (4.5) ρk z u z = τ b, u =0 for z = h (4.6) これらの条件のもとで運動方程式を z で積分すると, 海面勾配は I = η x = τ s + τ b ρgh (4.7) [ 海面に働く風応力と海底摩擦応力の合力に釣り合うように海面勾配が決まる ] 海面に働く風応力 τ s は τ s = γ s 2 ρ a U 2 ; γ s (4.8) 海底摩擦応力 τ b は τ b = γ b 2 ρ u b 2 ; γ b (4.9) 20

23 から計算される. ただし, 海底付近の流速 u b が分からないので, τ b は不明である. τ b が τ s に比例すると考え, τ b = λτ s とおくと 0 F まで x で積分すると η x = 1 ρgh (1 + λ)γ s 2 ρ a U 2 (4.10) 2 η = γ ρ 2 a s (1 + λ)u ρ hg F = k F h U 2 (4.11) 例題 4.1 の要点水深が変化する場合は式 (4.10) を積分して海面上昇量を求める必要がある. (3) 砕波による海面上昇 Wave setup により, η B = ch 1/3 ; c 0.1 (4.12) の海面上昇が生じる. ここで H 1/3 は有義波高である. (4) 高潮の経験式高潮による最大海面上昇量は半経験的に次式で推算される. η M = a p + bu 2 cos θ + ch 1/3 (4.13) ここで, p = 最大気圧降下量 [mb], U = 最大風速 [m/s], θ = 海面上昇が最大となる主風向と最大風速時の風向とのなす角 [ ], a, b, c = 海域に固有な経験定数である. 4.4 津波 津波は微小振幅理論の長波として扱うことが出来る. (a) 津波の変形 H 2 H 1 = µ 1/2 Cg1 C g2 {z } 浅水変形 長波の群速度は C g = C = gh だから, µ 1/2 b1 b 2 {z } 屈折 (4.14) H 2 H 1 = µ h1 上式の関係は Green の法則と呼ばれる. h 2 1/4 µ 1/2 b1 (4.15) (b) 津波の打ち上げ高と進行速度一定水深と一定斜面からなる海岸に長波が入射するときの静水面からの打ち上げ高 R は教科書の理論式 (4.9) または実験式 (4.10) で求められる. 陸上に打ち上げた段波上の津波先端の進行速度 U は長波の波速から b 2 U = k p gh (4.16) 21

24 で推定される. ここで, k は陸上地表面の条件によって決まる係数で,0.7~2.0 程度の値をとる. 例題 4.2 の要点沿岸等深線が凹状であるところにV 字形の湾がある. この湾に津波が進入する.Green の法則を使って, 湾口の波高と湾内の波高を求める. 例題 4.3 の要点長波と考え, 津波の波長を求める. 平均勾配から斜面長 l を計算し, 教科書の理論式 (4.9) または実験式 (4.10) を使って打ち上げ高を求める. 4.5 セイシュ 副振動と湾水振動 閉鎖水域や一部開放水域には固有振動周期が存在し, これが外部擾乱の周期と一致すると共振を起こし, 波高が非常に大きくなる. この固有振動をセイシュまたは副振動と呼ぶ. 鉛直壁では波が完全反射され, 完全重複波が形成される. 鉛直壁の位置は重複波の腹の位置と一致する. この境界条件を満足するのは, 両端が鉛直壁の場合 : 水域の長さ l が 1/2 波長の倍数となる 1 端のみが鉛直壁の場合 : 水域の長さ l が 1/4 波長の倍数となる場合である. 一般に, セイシュ 副振動は長波と考えられるので, その周期は T = L/C = L/ p gh (4.17) で与えられる. 波長 L は上述したように, 両端が鉛直壁の場合 :L =2l/n n =1, 2, 3, (4.18) 1 端のみが鉛直壁の場合 :L =4l/(2n 1) n =1, 2, 3, (4.19) である. k =1 の場合が最も起こりやすい.(4.18), (4.19) 式を (4.18) 式に代入すれば, 固有振動の周期が求められる. ただし,1 端のみが鉛直壁の場合の L は, 回折効果に より,(4.19) 式で与えられるものより若干大きい. エネルギー損失を無視した場合, 湾口の波高 H 0 に対する湾奥での波高 H 1 の増幅 率 R は R = H 1 = 1 H 0 cos kl (4.20) である. 共振状態では kl = 2π L l = 2π 4l l = π 2 の影響で有限にとどまる. となるから, R. 現実には粘性など 22

25 5 波の統計的性質と波浪推算 不規則波では確率論的な取り扱いが必要となる. すなわち, 平均値, 分散 ( 標準偏差 ) などの統計量を使って不規則波を取り扱う. 5.1 不規則波の解析方法 (a) 波別解析法 1 波ごとの波高や周期などの発生確率分布を算定する. 非線形の強い波に適用される. (b) スペクトル解析法不規則波を様々な周期と振幅をもった成分波の合成と考え, 各成分のエネルギー分布によって不規則波を記述する. 線形波に適用される. 5.2 波別解析法による不規則波の表示 波の定義法 (a) ゼロアップクロス法 : 水位が上昇しながら平均水位を切る時刻を区切りとする. (b) ゼロダウンクロス法 : 水位が下降しながら平均水位を切る時刻を区切りとする 代表波とその定義 N 個の波群中から, 波高の大きい順に N/n 波を選び, その波高と周期を平均したものを 1/n 最大波高 : H 1/n, 1/n 最大周期 : T 1/n と呼ぶ. また, H 1/n と T 1/n を持つ波を 1/n 最大波と呼ぶ. (i) 最大波 (H max,t max ) (ii) 1/10 最大波 (H 1/10,T 1/10 ) (iii) 1/3 最大波 (H 1/3,T 1/3 ) 有義波 (iv) 平均波 (H, T ) 波の統計的性質 (1) 水面変動 η の確率密度分布水面変動 η は µ ( η p = 1 exp 1 µ ) 2 η σ η 2π 2 σ η のガウス分布に従う. (2) 波高 H の発生確率密度分布波高 H は ( p(h) = H 4σ exp 1 µ ) 2 H 2 η 8 σ η の Reyleight 分布に従う. 波群中で波高 H より大きい波高が出現する確率 ( 超過発生確率 P ) は Z ( P (H) = p(h) dh =exp 1 µ ) 2 H 8 H σ η (5.1) (5.2) (5.3) となる. 23

26 (3) 代表波間の関係平均波高 H は Z Hp(H) dh 0 H = Z = 2πσ η (5.4) p(h) dh 0 2 乗平均波高 H rms は Z 1/2 q H 2 p(h) dh H rms = H 2 0 = Z = 8 σ η (5.5) p(h) dh 有義波高との関係は 0 H 1/3 =1.597H =1.416H rms = πσ η = σ η =4.004σ η (5.6) (4) 最大波高波群中の最大波高は H max /H 1/3 の度数分布の最多値と平均値によって予測される. H max H 1/3 の最多値 ln N (5.7) ½ H max ln の平均値 N + H 1/3 γ 2 ln N ¾ (5.8) ここで, N = 波群中の波の数,γ =Eulerの定数 (= ). 一般に, 構造物の設計などにあたっては, 設計条件や構造物の重要度などを考慮して が用いられている. H max =( )H 1/3 (5.9) 例題 5.1 の要点波高の超過確率を, H rms = 8 σ η の関係を使って H rms で表し, 波高が 2H rms 以上となる確率を求める. 5.3 スペクトル解析法による不規則波の表示不規則波は様々な振幅と周波数を持つ波が重なり合ったものと考えられる. 不規則波を周波数のふるいにかけて不規則波を構成している成分波を取り出し, 各成分波の振幅の 2 乗値 ( エネルギー ) を示したものをエネルギースペクトル, 周波数 f を中心とした単位周波数当たりのエネルギー ( 振幅の 2 乗 ) を周波数エネルギースペクトル密度関数と呼ぶ 周波数スペクトルと代表波との関係周波数の関数としてエネルギースペクトル密度を表したものが周波数エネルギースペクトル密度関数 S(f) である. 従って, スペクトルと振幅の 2 乗平均値の間には η 2 = σ η 2 = Z 0 24 S(f) df (5.10)

27 の関係がある. 上式でスペクトルから振幅の 2 乗平均値が求まれば, 代表波高は (5.4) ~(5.6),(5.9) 式の関係を用いて計算される 風波の周波数スペクトル風波の周波数スペクトルに大きく関係する物理量としては, 風速 ( 水面での摩擦速度 ), 吹送時間と吹送距離がある 代表的な風波のスペクトル 1 Pierson-Moskowitz のスペクトル外洋で完全に発達した風波に対するもので, 吹送時間と吹送距離には関係しない. 2 光易のスペクトル吹送距離が有限の場合, いいかえれば発達段階の風波のスペクトルを表現したもの. 5.4 風波の発生と発達 波の発生と発達の理論静かな水面に微風が吹くと水面に局所的な乱れが生じ, 風速が増加するとさざ波へと発達する. 風波の発生, 発達機構を説明する理論として, フィリップスの共鳴理論, マイルズのせん断流理論がある. 5.5 風波の発達過程風波の発達は, 風速 U, 吹送時間 t w と吹送距離 F に支配されている 代表波の変化風域の風上端 A で発生した波が, 風域の風下端に到達するのに要する時間 t A より長く風が吹き続けても, 風波の波高と周期は一定となり風波の発達は止まる. すなわち, 風波の波高と周期は風域の大きさ ( 吹送距離 ) によって制限される. t A を最小吹送時間という. 最小吹送時間は風上端 A で発生した波群が, 風域の風下端に達する時間であるから, Z F dx t A = (5.11) C g で計算される. t<t A の場合には, 風波の発達は吹送時間 t によって制限される. t C (<t A ) の時間風が吹き続けたとすると, 波群の伝播距離は 0 25

28 Z t=tc F min = C g dt (5.12) 0 で与えられる. これを最小吹送距離と呼ぶ. 実際の風域の大きさ ( 吹送距離 ) がこの最小吹送距離より大きい場合, 風波の発達に関係するのは (5.12) 式で計算される最小吹送距離である. 5.6 風波の推算法 (1) 風域の設定 (2) 波の発達と減衰の計算 風域の設定 (1) 地上天気図 気象データ (2) 計算期間の決定 (3) 天気図から傾度風の計算 (4) 傾度風から海上風の推定 1 地衡風と傾度風地衡風と傾度風は等圧線に沿って吹く. 地衡風 : 気圧傾度と Coriolis 力が釣り合っている. 傾度風 : 気圧傾度,Coriolis 力と遠心力が釣り合っている. 2 海上風地衡風と傾度風は, 海面近くでは海面での摩擦力の影響を受け, 海上風となる. 海上風 : 気圧傾度,Coriolis 力, 遠心力, 摩擦力が釣り合っている SMB 法 ( 有義波法 ) 波の発達は風速 U と吹送距離 F または吹送時間 t のどちらかによって支配されるので, U と F, U と t の組み合わせに対して H 1/3 と T 1/3 を観測資料を整理して作成された図表から求め, 小さい方の値の組を推算値として採用する. 例題 5.3 の要点 SMB 法による風波の予測曲線を用いて, 風速と吹送距離, 風速と吹送時間の2つの組み合わせから得られる有義波高のうち小さい方を選ぶ.( 吹送距離と吹送時間のうちのどちらが風波の波高と周期を規定しているか考える ) 例題 5.5 の要点 SMB 法との波高差 0.3m は, T 1/3 から L 1/3 を求め, 波数が得られるので, 式 (3.32) を用いて計算できる. 26

29 6 沿岸海浜過程 海浜での底質移動現象と移動している底質自体をともに漂砂 (littoral drift) という. 波 流れと漂砂 海浜地形の相互作用, それらの変化過程を総合して, 海浜過程 (coastal processes) と呼んでいる. 6.2 海浜形状沖波波形勾配 H0/L 0 0 と底質の粒径と比重が海浜縦断形状を決める主要因である. すなわち, 粒径 d の大きい底質ほど安定力が大きく, 海浜勾配は急になる. 同一の底質粒径に対しては波の大きい海岸の方が前浜勾配がゆるい. また, 波が小さく粒径が大きいほど前浜勾配は急となる. 静穏な波浪条件 汀線が前進し, 前浜勾配が急になる. 高波浪条件 前浜が削られ, 砕波点付近に堆積 ( 沿岸砂州の形成 ) する. 前浜勾配は緩やかになる. 6.4 波による底質の移動 粒子の抵抗力 F R =(W F L )tanφ W tan φ (6.1) ここで, W = π(ρ s ρ)gd 3 /6 ( 粒子の水中重量 ), F L = 粒子に働く揚力, φ = 静止摩擦角,d = 粒径である. 粒子に働く流体力 2 τ bm = fρu bm (6.2) ここで, f は摩擦係数, u bm は (6.3) と (6.1) 式の比をとると は底面付近の最大流速である. 粒子に働く水平力 F T F T τ bm π µ 2 d = π 2 4 fρd2 2 u bm (6.3) F T F R 2 fρu bm {(ρ s ρ)}gd tan ψ = (u bm ) 2 sgd 1 tan ψ (6.4) ここで, u bm = p τ bm /ρ = fu bm ( 最大底面摩擦速度 ), s =(ρ s ρ)/ρ ( 粒子の水中比重 ) である. ψ m = (u bm) 2 sgd を Shields 数と呼ぶ. この無次元数は, 海底に作用する底面剪断力と底質の剪断抵抗の比で,Shields 数が0.05~0.06 の大きさの時, 底質が移動を開始する. これを限界 Shields 数と呼ぶ. 摩擦係数 f は2つの Reynolds 数の関数と考えられる. すなわち, µ p µ q ubm d ubm δ f = a (6.5) ν ν 27

30 境界層の厚さ δ は式より δ ³ 2νω 1/2 = ³ 2νT π 1/2 だから, µ " p µ # 1/2 q µ " p µ # 1/2 q ubm d 2 ubm d T f = a u bm = a u bm (6.6) ν νω ν νπ 粗面乱流では f は ν に関係しないから, p = q/2 となる. 従って, µ q/2 ubm T f = a (6.7) πd 以上のように, 基本的には, 底質の移動限界は Shields 数と Reynolds 数によって決定されるが, さらに加速度の効果等を考慮する必要がある. また, 工学的には, 海岸と底質の特性と入射してくる波の特性がわかったときに, 底質の有意な移動はどの程度の水深から始まるのかを推定する必要がある. このような観点から, 以下の予測式が提案されている. H0 0 µ n µ d = α sinh 2π h µ i H 0 0 (6.8) L 0 L 0 L H ここで, h i = 移動限界水深, α, n= 経験定数である. なお, L と H は h i から決まる. 例題 6.1 の要点水深 h i を仮定し, 分散関係式から波長 L を求め, 浅水係数から波高 H を計算する. なお, 沖波波長 L 0 は与えられた周期から求める. 得られた諸量が移動限界予測式を満足しているかどうかチェックし, 満足していない場合は水深 h i を仮定し直して再計算する. 28

31 6.5 漂砂量の算定 掃流漂砂量 µ 3 q s w 0 d =12.5 τbm 3 =12.5ψ m sρgd (6.9) ここで, q s = 半周期間の単位幅, 単位時間当たりの平均掃流砂量,d = 底質粒径,w 0 = 底質粒子の沈降速度,s = 底質の水中比重,g = 重力加速度. 最大底面剪断応力 τ bm τ bm = f w ρu bm 2 /2 で計算される 浮遊漂砂量浮遊砂濃度 c は, 通常の移流拡散方程式に砂粒子の沈降フラックスを加えた次式を解いて求められる. は c t + (uc) x + (vc) y + (wc) z {z } 移流フラックスの発散 = µ c ε x + µ c ε y + µ c ε z x x y y z z {z } 拡散フラックスの発散 c + w 0 (6.10) {z z } 沈降フラックスの発散 周期平均した流れ場と濃度場が定常で水平方向に一様とみなせれば, µ d dc dc ε z + w 0 =0 (6.11) dz dz dz 参考 : 保存方程式 簡単のため,1 次元の場合を考える. c(x, t) を濃度などの単位体積当たりの物質量,f(x, t) を物理量のフラックスとする. 区間 [a, b] における物理量の変化率は となる. から t Z b a c(x, t) dx = f(a, t) f(b, t) Z b f(x, t) f(a, t) f(b, t) = dx a x t Z b 区間 [a, b] は任意であるから, 保存則は a Z b f(x, t) c(x, t) dx = dx a x c(x, t)+ f(x, t) =0 t x 29

32 の様に表される.3 次元の場合も同様に考えて, c t + f =0 時間変化率 + フラックスの発散 =0 上式が述べていることは, c の時間変化はフラックスの収束, 発散によって引き起こされると言うことである. 化学, 生物過程を含み, c が保存されない場合は ここで, P は物質の生成率, B は消滅率である. フラックスの種類 : 移流フラックス 拡散( 分散 ) フラックス 沈降フラックス c(x, t)+ f(x, t) P + B =0 (6.12) t x 6.6 海浜流とその発生メカニズム 海浜流海流や潮流に加えて沿岸域では一般に密度流や吹送流が発生する. さらに, 砕波帯付近では波が直接の原因となって生ずる海浜流と呼ばれる流れが存在する. 沿岸部に存在する流れは, 海岸流 ( 海岸線に平行 : 海流, 潮流 ) と海浜流に大別される. 海浜流には, 沿岸流 ( 汀線に平行 ) と離岸流 ( 砕波帯を貫通して沖方向 ) がある Radiation 応力波の存在によってもたらされる過剰な運動量流束は 全水深に対する波の 1 周期平均を計算すると d(m e ) x =(p + ρu 2 )dz ρgzdz (6.13) (M e ) x = 1 T Z T Z η 0 h (p + ρu 2 )dzdt 1 2 ρgh2 (6.14) となる. 運動量流束は応力であるから, (M e ) x は, 波の進行方向に垂直な単位幅の鉛直面に働く応力 [ 過剰運動量流束 ( 比力 単位重量 )] である. 波の進行方向に平行な面に働く応力は (M e ) y = 1 T Z T Z η 0 h pdzdt 1 2 ρgh2 (6.15) となる. こうした波の運動にともなって発生する応力を radiation 応力と呼び, テンソル表示によって S ij と表す. (M e ) x = S xx, (M e ) y = S yy である. 微小振幅波の水粒子速度と水中圧力を代入して積分すると S xx = E(2n 1/2), S yy = E(n 1/2) (6.16) 30

33 が得られる. 極浅海域では n = C/C g =1, 深海域では n =1/2 だから, 極浅海域では S xx = 3 16 ρgh2 (6.17) 深海域では S xx = 1 16 ρgh2 (6.18) となる.Radiation 応力は波高の 2 乗に比例して大きくなる 平均水位の変化等深線が汀線に平行で一定勾配の直線海岸に, 波が直角に入射する場合を考える. 入射方向を x とすると, 運動量保存則は F x+dx F x F b =0 (6.19) となる. ここで F x = S xx ρg(h + η)2 (6.20) F x+dx = S xx ρg(h + η)2 + dx d ½S xx + 12 ¾ dx (6.21) これらを式 (6.19) に代入すると F b = pdx cos β ds xx dx sin β = ρg(h + η)dhdx (6.22) dx dη + ρg(h + η) =0 (6.23) dx η h なら dη dx = 1 ds xx ρgh dx (6.24) 砕波帯外では, 浅水変形によって波高が増大するので,radiation 応力 S xx も波の進行方向に向かって増加し, dη/dx < 0 となって平均水位は岸方向に低下する wave setdown が生ずる. 砕波帯内では, 砕波によって波の進行とともに波高が減少するので, ds xx /dx < 0, dη/dx > 0 となって平均水位が上昇する wave setup が生ずる. 31