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1 品質設計特論まとめ 和歌山大学システム工学研究科 鈴木新 火曜日 限目 A04 教室 動的な対象の評価 ( 誤差 ) 同じように写真を撮っても RGB 値は異なる これらのばらつきの原因はノイズ 撮影方法環境など ソフト部品など ソフト紙など 被写体 デジカメ 撮影画像 入力出力被写体のRGB 成分 画像出力のRGB 成分

2 復習 : 原点を通る比例式 ( 次式 ) 一次式 ( 原点比例式 ) の関係 入力が増えると出力も増える ( 動的 ) 復習 : 比例式における 乗和の分解 n 全 乗和 比例項の変動 n n n 3 誤差変動 平均値が 次式 ( 回帰直線 ) に変わった

3 復習 : 誤差と信号 ( 比例式の場合 ) ( 傾き ) が信号 ノイズは平均値の場合と同じく /( n ) V 自由度 N 比は / V :0log( / V ) より バネはかり 動的 N 比の考え方 測りたいもの ( 測定対象 ) とバネの伸びの関係 比例関係 良いはかりは 同じ対象は同じ : 誤差が小さい 違う対象は違う : 伸び ( 感度 ) が大きい kg どのようなはかりが良いか? kg 3

4 おもりと伸びの関係 伸び 大きく β 小さく おもり おもさの違いは大きく現れた方が良い = β 各おもりにおいて測定のばらつきは小さい方が良い 産業的に有効と考えられるばねはかり 伸び 先ほどと比べて明らかに差が大きい 先ほどと比べて明らかに差が小さい β おもり 4

5 実測値と 次式のずれ より 0 となる. 3 最小 乗法 しかし, 実際は誤差, ( x : ) が存在つまり を最小にする が直線の傾き ( 平均的なところを通る ) 最小二乗法 次式 の形で表現 n の 乗和 ( 正負で相殺されないため ) を最小にする係数 が各点からの誤差が 最も少ない直線 を で微分し0とおけば求まる で微分 d d n 0 三乗法でも四乗法でもない 5

6 6 最小二乗法 cont d で微分 0 n n n n n n d d 動特性 N 比の重要な特性 ( 前提条件 ) β 因果の向き : から へ対象システムに を入力して得られる出力 を評価する誤差は各 における推定値と実測値の差 ( 乗の ) ゼロ点比例式入力されるエネルギー が理想とする出力 に変換されたかを評価する

7 理想関係に近い = 利点 3 どちらが良いデータ ( システム ) か? 3 機能が理想関係に近いと設計しやすい, ロバスト, 省エネ, 定量評価へ向けて再びおもりと伸びの関係 伸び 大きく β 小さく = β おもり おもさの違いは大きく現れた方が良い β が大きく 各おもりにおいて測定のばらつきは小さい方が良い β が小さく正負で相殺されないように 乗で扱う 7

8 信号 ( 感度 ):N 比の (gnal) 3 β 3 3 傾き β が大きければ良い 相関が負の場合はマイナスに, エネルギーは 乗で扱う, 信号とノイズの分離 乗和の分解 傾きの 乗を信号とする ノイズ ( 誤差 ):N 比の N (Nos) 3 β 3 3 実測値 と推定値 β の差が小さければ良い 積算時に正負で相殺されないように, エネルギーは 乗で扱う, 信号とノイズの分離 乗和の分解 誤差の 乗 ( 分散と同じ ) をノイズとする n 8

9 信号ノイズ 動特性 N 比 ( 誤差条件無し ) n 信号とノイズの比に足し算の関係を成立させるためにlog 化 0log 0log V n 動特性 N 比の 乗和を考える 3 3 全ての出力 の 乗和は β 3 直線上の点, そこからの誤差 つまり, これはどんな成分に分解できたか? 全 乗の積算値 = 直線上の積算値 + 誤差の積算値 9

10 0 乗和の分解全ての出力の 乗和はは比例項変動は誤差変動理想値の 乗の項とばらつきの 乗の項に分解 信号とノイズは無関係 直交! 乗和の分解を利用して N 比を表現 0log 0log 0log n n V

11 N 比 ( 不偏推定値補正 ) β は平均的に大きくも小さくもない推定値 期待値をみると V ( ) E の不偏推定値は V ( ) V 正のバイアス有 正のバイアスを引いてあげるとN 比は V V 0log 0log V V 動的な対象の評価 ( 誤差 ) 同じように写真を撮っても RGB 値は異なる これらのばらつきの原因はノイズ 撮影方法環境など ソフト部品など ソフト紙など 被写体デジカメ撮影画像 入力出力被写体のRGB 成分 画像出力のRGB 成分

12 誤差を考えた ( 取り入れた ) 評価 バネはかりの評価では誤差を考え無かった のびを測る簡単なシステム 乱れる要因が少ない エンジンでは? 温度, 湿度, 燃料の質, 運転の方法, 部品のばらつき, 他 デジカメでは? 照明, 背景, 撮影距離, 他 電気ケトルでは? 外気温, 部品のばらつき, 高度, 電源, 他 意図的に誤差条件を与える 例 : 電気ケトル 初期水温が低いと遅い 冷水, 外気温が低いと遅い 風, 冬場, 古いヒーターは遅い 劣化 ( マイナス条件 ) 電圧が高いと速い 高電圧 ( プラス条件 ) これらを誤差因子と呼ぶ 設計によって ( 設計者が ) 変更できない因子 外乱 : 気温や風, 内乱 : 部品の劣化やばらつき

13 復習 : 誤差因子を考える ノイズ = 誤差因子 ばらつきの要因は何か? 消費者の立場で 内部のばらつき 内乱 色の表現方法 ( ソフトウェア ) 部品ばらつき ( 個体差 ) 部品品質 ( 劣化 ) 他 外部のばらつき 外乱 撮影条件 環境 ( 光など ) 印刷紙 他 誤差因子 設計パラメータ : 設計者が自由に変更可能 誤差因子 : 設計者が変更不可 ( 手出しできない ) 例 :. 季節による温度, 湿度の変化 ( 外乱 ). 抵抗のばらつきと経時変化 ( 内乱 ) 単純繰り返しとは違う意図的な誤差を与え評価 わざとばらつかせるという考え方 画期的! 誤差 ( 内乱, 外乱 ) 水の量 β 沸騰までの時間 例 : ケトル 3

14 復習 : メーカーの立場では 温度一定! 無風! 条件を揃えるんだ! 実験の条件を絞って再現性を確認 ( 保?) 上司を説得するため? 誤差因子導入とロバストネス 実用誤差を考慮成果 可愛い子には旅をさせよ! N N タグチメソッドの最大の が大きくなれば誤差も大きくなる ( 当たり前 ) しかし, 誤差が意図したものであれば解釈は異なる ( 繰返しは無意味 ) 意図的誤差を与え評価 4

15 誤差因子の設定 ( 例 : ケトル ) 誤差因子は外気温 外気温は設計者が変更できない ( 使用者によって変化 ) N と N の差が最小となる組み合わせを求める N N 外気温が低温熱の逃げが多いために, 出力 ( 沸騰時間 ) は大きく ( 長く ) なる 外気温が高温熱の逃げが少ないために, 出力 ( 沸騰時間 ) は小さく ( 短く ) なる 誤差因子有 N 比の概念 N N 本来のエネルギー 誤差因子によるばらつき N 比例関係からのばらつき N 二乗和の分解 5

16 誤差因子の導入 N 傾き β が変動 N 全ての出力 の 乗和は j N は比例項変動 は誤差変動 N は誤差による変動 二乗和の分解 N β N N β β, j,,3 j j j j j j j j j 回帰直線上の点 j 6

17 二乗和の分解 β N N β β N 原点比例式の 傾きが共通 誤差因子による変化 β N j j の回帰変動と 傾きが異なる β, 回帰変動の差 誤差因子による変動成分 j 二乗和の分解 3 β N N β β N を自由度で割る ( 不偏分散 ) 3 個のデータから 個の直線それらが 個あるので V j =,,3 =, 3 N j j 7

18 誤差因子 N 比 不偏推定値補正をした N 比 ( 誤差因子数 :I, 信号水準 :J) シグナルは傾き I I j j ノイズはばらつきをすべて合計し自由度で割る を自由度 IJ N 全ノイズの自由度は の自由度は IJ I( J ) で割る N N IJ 0log 誤差因子 N 比 不偏推定値補正をした N 比 ( 誤差因子数 :I, 信号水準 :J) V / I j / IJ N 0log 誤差無と同じく分子は不偏推定値 分子は正のバイアスを引いた形 海外では単なる傾きの 乗が多い 本講義では正のバイアスを引いた形を用いる V / I j / IJ N V I(J ) 8

19 デジタルカメラの機能は x 機能性評価の方法 a 被写体 入力被写体の寸法被写体の色 デジカメ ax 寸法の転写性色の転写性 撮影画像 出力撮影画像の寸法撮影画像の色 37 誤差あり 動特性の N 比で評価 グレースケールの RGB 値 ラベル名 9 A 演習 グレースケールにもばらつき有り さらに RGB 値の正式値は非公開 とりあえず上の 演習 の値を使用 消費者の立場で 信号 ノイズ それらは分解可能か良く考えること 38 9

20 誤差因子有 N 比の概念 日向 日陰 N N 本来のエネルギー 誤差因子によるばらつき N N 比例関係からのばらつき 二乗和の分解 タグチメソッドの考え方と手順 技術者, 企画者, 教育者他 が作りだすもの, これらはすべて人工物 人工物には必ず目的が存在 目的 ( 目標値 ) にあうようにパラメータを調整 例えば教育システム : 現行 を 調整手順はタグチメソッドによって与えられる 調整した結果を評価 目的が明確であれば理想的な状態が分かる 評価方法はタグチメソッドによって与えられる 評価結果から最適値を得る目的を実現する機能の評価方法 0

21 タグチメソッドの流れ. システム選択 ( 目的と手段 ) 仕様 ( 設計対象と機能 ) を決定. パラメータ設計 ( 評価 ) 適当なパラメータで実験 直交表と N 比を利用 3. 許容差設計 損失関数など経済的考え方 発明とはこれ! 技術者の独創性! タグチメソッドとはこれ! 技術者の独創性は要求されない 企業では重要 ( コスト ), 安全率 システム選択で重要なこと 対象は人工物 : 何か目的を持って設計される 冬でも暖かいシャツ, 速い車, 燃費の良い車などこれが目的機能! 目的を実現するための機能を設計 各種素材 ( 繊維 ) の組み合わせ, 燃料噴射法など これが基本機能! 他社 ( 人 ) が真似できない技術 基本機能を実現させるための工夫特許! はたして実現できるのだろうか? 手っ取り早く知る方法がタグチメソッド

22 パラメータ設計への橋渡し パラメータ設計こそがタグチメソッドの核心 どうやって設計するのか? 具体例として電気ケトルで説明 まず電気ケトルの構造 名古屋市消費生活センター報告より引用 電気で沸かすやかん

23 沸き上がり時間のばらつき 同容量でも水温によって沸き上がり 時間が変わる 容量の増加と沸き上がり時間はきれ ( 分 ) いな比例関係ではない水温.L.0L 0.5L 0.5L 0 6:4 5:9 :59 :3 A 5 6:3 5:4 3:05 :7 0 6:59 6:08 3:9 :9 5 7:36 6:4 3:7 :33 0 6:3 5:9 3:06 :35 C 5 6:43 5:58 3: :35 0 7:03 6:4 3:5 :38 同容量でも製品によって沸き上がり 5 7:48 6:8 3:3 :33 時間が変わる 名古屋市消費生活センター報告より引用 設計の目的と設計法 電気ケトルの目的機能, 基本機能, パラメータ? 目的機能 湯沸かし 基本機能 ヒータによる加熱 設計パラメータ ヒータ ( 種類, 構造 ), 断熱 ( 側面, ふた ) 他 機能性評価 これをどうやって設計 ( 調整 ) するか? 伝熱, 流体, 他 あらゆる知識を総動員する単純にもっとも早く湯沸かしできるものを! 3

24 ケトルの設計 湯沸かしにおいて熱力学の法則が成り立つ ( はず ) Q mc t W mc Wt この関係が重要! 入力と出力 ( 色々な形式が考えられるが W 数を入力, 温度上昇を出力とする ) Q m c 熱エネルギー, 質量, 比熱, W 温度上昇, エネルギー, 時間, t ケトルの設計 cont d 印加エネルギー = ヒータ電力 - 外部へ逃げるエネルギー W WHatr R( Ktol Out ) 材料のばらつき c c, m m 加熱による対流を最適化 ( 形状の変更 ) 最適な設計ができましたか? 本当に重要なことは何か?(QC におけるパレートの法則 ) t W mc 電力 W を t 秒間印加したとき温度上昇 が大きくなれば良いどう対流しようが 4

25 消費者のことを考えた設計へ t W mc 温度上昇は変化する! 季節, 地域, 冷蔵庫内で実験, 評価可愛い子には旅をさせよ! ばらつきの原因はそのまま従来には無い考え方 N 比は理解できた (?) どうやって N 比が高いシステムを設計するか? 設計の手順も規定されている ( おせっかい?) タグチメソッドの流れを思い出す システム選択 技術者の知恵, 創造 パラメータ設計 実験計画 タグチメソッドが提供する設計手順 許容差設計 創造したものを調節する方法つまり最適化調節には直交表を利用 タグチメソッドが提供する安全率, コストの設定 5

26 直交表 L4 直交表 (4 行,3 変数 ) A B C L L L3 L4 直交とは A 列の に対して, B 列の, が同じ回数出現すること 目的は効率化と組み合わせ効果 直交表 (L9: 組み合わせ 9 通り ) A B C D 直交表 目的は効率化と組み合わせ効果 本来の組み合わせ数は =8 作成法 : 一貫した理論は無い 技術者は利用する立場で OK 従来実験は任意の設計パラメータを固定して条件出し ( 例 : モータを決めて ( 固定 ) 他の条件を変更していく ) 6

27 A B C D E F G H L8 直交表 ( 推奨!) 8 行 ( 実験回数 8 回, 信号や誤差によってこれよりも多くなる ) 本来の組み合わせ数は ^ 3^7=4374 水準が,3 水準が 7 8 個の設計パラメータが割付可能 複雑なシステムでなければ改善の余地無し, 競争力無し A B C D E F G H L8 直交表の活用 タグチメソッドでは通常 L8 を使用 基本的には 3 水準で 大 or 中 or 小 が分かる 設計パラメータが 6 以下のときは C 列以降に割り付け もっと細かくしたいときは A,B をひとつに 6 水準 そうすれば AB の 6 水準がその他のパラメータと直交していることが分かる 7

28 直交表実験 ( 設計 ) 方法 適当に組み合わせて実験, 良いのを選ぶ どう組み合わせるのか? 直交表 通常 ^3=8 通り, 直交表 4 通り A B C L L L3 L4 A: ヒーター B: プレート5mm C: 胴形状 A: ヒーター B: プレート5mm C: 胴形状 直交表にて ( 主 ) 効果を確認 A B C L L L3 L4 A:,A: B:,B: C:,C: Cは他のパラメータの影響を受けにくい ロバストこの考え方は後で説明する誤差実験で重要 8

29 設計パラメータの割り付け ケトルでは A: ヒーターの種類 B: 底の種類 C: 胴の形 N N No A B C それぞれの行で結果を得る 3 3 それを静的な評価指標 ( 静 特性 N 比 ) で評価する 3 4 NR 設計パラメータごとの結果 x, A>A, B<B, 誤差 Nは? 信号 は?( 動特 性 N 比 ) 誤差因子と信号因子の割り付け 誤差因子と信号因子の外側配置 : 外側直交表 N N No A B C NR 全ての設計パラメータ ( 行 ) の N 比を得る N 比は行で つ ( 動的 ) N の回帰直線 N の回帰直線 全データの回帰直線 9

30 内側直交表と外側直交表 内側直交表 外側直交表 N N No A B C NR 内側 ( 設計パラメータ ) と外側 ( 誤差と信号 ) は直交している 誤差と信号も直交している つまり分離可能 乗和の分解 誤差因子の配置と調合 誤差因子は直交表の外側に配置 : 外側直交表 No A B C N N 3 4 NR N 比が大,N 比が小の両極端な条件設定 誤差因子の調合意図した誤差条件! 条件としたほうが実験が楽, さらにより厳しい条件となる 誤差 誤差 N 比小 N 比大 室温 低 高 ヒーター古 新 電圧 低 高 30

31 実験結果の評価 ( 行 ) 外側直交表 :j は実験結果 ( 評価値 ) N N NR No A B C 3 3 η 3 4 η NR 行目の NR を計算する 0log I, J 3 V / I j / IJ N,, 3, 4 行目の NR, 3, 4 実験結果の評価 No A B C NR η η 3 η3 4 η4 NR A の NR A A の NR A 3 4 以下, 同様に N 比を計算 3

32 最適水準の組み合わせ No A B C NR η η 3 η3 4 η4 NR の場合, を選択 A A B B A の場合, B を選択 最適水準のグラフ化 ( 要因効果図 ) 得られた結果をもとに平均値間の差 ( 要因効果 ) を求める 難しいことは後, とりあえずプロット db N 比の一番高いところが最適条件 0 9 A A B B C 3

33 要因効果図 No A B C NR η η 3 η3 4 η4 NR N 比をプロット A A 3 4 N 比の高いパラメータを探す η η η η η η η η 交互作用 ( ケトルの例 ) ヒーター とヒーター の良いほうを選択したい 板厚, センサー, ヒーター以外の条件を固定 問題点は板厚とヒーターとの関係が変化 ヒーター, で板厚, の差 ( 傾き ) が違う 交互作用無し 板厚 板厚 ヒータ ヒータ ヒータ ヒータ 板厚 板厚 33

34 交互作用 ( ケトルの例 ) ヒーター とヒーター の良いほうを選択したい 板厚, センサー, ヒーター以外の条件を固定 問題点は板厚とヒーターとの関係が変化 ヒーター, で板厚, の差 ( 傾き ) が違う 交互作用有り 板厚 板厚 ヒータ ヒータ ヒータ ヒータ 板厚 板厚 交互作用をもとにパラメータ選択 交互作用を考えた選択では ノイズ ( 誤差, ばらつき ) を減らす ヒーター とヒーター はどちらが良いか? 板厚 と板厚 はどちらが良いか? 板厚 ヒーター がばらつき小 板厚 がばらつき小 ヒータ 板厚 ヒータ ヒータ ヒータ 板厚 板厚 34

35 パラメータとばらつき パラメータの変化によって出力は大きな影響を受ける A のほうが出力のばらつきが小さい A A ばらつき低減 目標値 ばらつきは低減できそうだ, 目標値は? ばらつきは減る, しかし出力が大きすぎる 線形なパラメータを利用して出力を小さく! 目標値 A A B B 35

36 ばらつき低減 目標値 ばらつきは低減できそうだ, 目標値は? ばらつきは減る, しかし出力が大きすぎる 線形なパラメータを利用して出力を小さく! 目標値 まずばらつきの低減, つぎに目標値へ合わせる 段階設計! A A B B 段階設計の方法 設計パラメータによる方法 ( 前述 ) 出力のオフセット の目標値 = β( + α) or = β + α の目標値 α 36

37 37 最適水準を確認する A A B B C C 0 9 db 最適条件は A,B,C 直交表内には無い条件確認実験によって N 比を確認 No A B C 3 4 No A B C NR η η 3 η3 4 η4 NR ηa ηb ηc 確認実験例えば 行目は C B A A A A ) / ( ) / (

38 38 確認実験の再現性なのででは, 最適設計が全て水準 であればどうする? 最適設計と 行目 ( 初期設計 ) の差を計算初期よりどれだけ改善されたか確認実際に実験したときの N 比と比較! ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( C B A C B A C B A C B A C B A C B A opt ) ( ) ( ) ( opt opt No A B C 3 4 確認実験 L8 の場合の推定値は以下のように一般化できる最適値も同様にして推定可能 3 6 / 6 / 6 / / 9 / C A B B B B A A A ) ( ) ( ) ( 7 ˆ H B A H B A opt

39 db を使う意味 通信で利用されるN 比に合わせて 信号 ( 技術の働き ) とノイズ ( 誤差 ) の比 それぞれのN 比の効果を足し算で計算 L9 直交表の場合,A は 3 個 (3 行の実験結果 ) 得られた これらを単純に足して平均化した理由は N 比 (db 値 ) による 製品開発で欲しい情報例 対数 (log) の評価 温度変化の影響度 a% 湿度変化の影響度 b% 電圧変化の影響度 c% 材料のばらつきの影響度 d% 総合的な安定性は次式となる総合評価 =(+a/00) (+b/00) (+c/00) (+d/00) 両辺の対数を取ると足し算で表される log( 総合評価 ) =log(a の影響 )+ log(b の影響 ) + log(c の影響 )+ log(d の影響 ) 総合的な評価や個別の影響も分析しやすくなる 39

40 静特性 N 比 望小特性 : 目標値が負ではなく, 小さければ ( 特に0 が ) うれしいもの n 0log n 望大特性 : 目標値が負ではなく, 大きければ ( 特に が ) うれしいもの n 0log / n 静特性 N 比 cont d 望目特性 : 誤差因子 ( 誤差条件 ) を繰り返しとすれば目標値からの変動係数と同じ扱い n m V / n 0log, m / n, V V n ゼロ望目特性 : 上記の望目特性と異なりばらつきが平均に依存しないもの N 比は大きいほど良い 静特性の N 比は ( 信号 ) と N ( ノイズ ) の比ではないが, 気にせずに使用しましょう 0log V n m 40

41 動特性 N 比 動特性 : 誤差有り : 信号因子 j=,,j, 誤差因子 =,,I 0log V / I j / IJ N 動特性 : 誤差無し : 信号因子 j=,,j, 繰り返し数 =,,I 0log V / I j V 動特性と静特性 パラメータ設計において システムの入力と出力の関係を調べたい 動特性 ( 原点を通る比例式 ) ( 例 ) 入力電圧における回転数 : エネルギーの変換 パラメータ設計 4

42 動特性と静特性 入力 : 固定, 出力を安定化 静特性 ( 例 ) 規定時間での処理量 : 理想値へ近づける パラメータ設計 静特性 : 望目特性 望大特性 望小特性 目標値に揃うほど良い 寸法, 出力電圧など 大きいほど良い 強度, 寿命など 非負で小さいほど良い 騒音, 振動など 段階設計 ばらつきを抑える 目標へ近づける 傾き 4

43 . システム選択 手順まとめ 設計の目的, 基本機能, 評価方法 (N 比含む ) を決定. パラメータ設計 パラメータと水準決定 ( 設計, 誤差, 信号 ) 直交表実験, 最適水準の探索 確認実験により初期値と最適値比較, 再現性確認 重要なことは 最初に良く考える, 仕様が決まればとにかく実験をする, 確認実験で再現性チェック, 活用しやすいデータを取る 43