年ステップ 式の計算 ~ 式の計算 ~ 次の計算をしなさい ()(χ+0) 4 =x ()(-9χ-) =-9x - χ+5 -χ -4 ()(-6a-9ab) = - 6 a - 9 a b (4)(5χ +5χ-0) (-5) =5x (- 5 )+5x (- 5 )+(-0) (

年ホップ 式の計算 ~ 式の計算 ~ 次の計算をしなさい ()9a-6b-a+5b ()χ -6χ-χ-χ =( 9-)a+(-6+5)b =(-)χ +(-6-)χ 6a-b -χ 7χ - ()5ab-6a-ab+5a ( 4) χ + - χ - =(5-)ab+(-6+5)a =( - )x+( - ) 次の計算をしなさい ab-a - χ - 6 - ()(χ+)+( 4χ +) ()(χ )+(χ +5) =χ+-4χ + = χ-+χ +5 =(-4)χ+(+) =(+)χ+( -+5) - - χ + 5χ + ()(4χ-)-(5χ-) (4)(-χ-8+)+(χ+5) =4χ--5χ+ =(4-5)χ+(-+) =-χ-8++χ+5 =(-+)χ+(+5)-8 -χ+ -χ + 7- -8 (5)(a -a+4)+(a -6+5a) (6) 9a-4b- =a -a+4+a -6+5a =(+)a +(-+5)a+4-6 - ) a-6b+ a +a- a- 7a+ a+b- b-5

年ステップ 式の計算 ~ 式の計算 ~ 次の計算をしなさい ()(χ+0) 4 =x 4 +0 4 ()(-9χ-) =-9x - χ+5 -χ -4 ()(-6a-9ab) = - 6 a - 9 a b (4)(5χ +5χ-0) (-5) =5x (- 5 )+5x (- 5 )+(-0) (- 5 ) -a- a-ab ab -χ -χ+6 次の計算をしなさい ()(χ+4)+(χ-4) =χ+8+χ- =(+)χ+(8-) ()(4a-b)+6(-a +b) =a-6b-6a +b =(-6)a+(-6+)b 5χ-4 6a+6b ()(4χ-)-(χ -) =χ--4χ+6 =(-4)χ+(-+6) (4)(χ +4χ-)-(χ-) =χ +χ-6-9χ+ =χ +(-9)χ-6+ 8χ+ χ +χ- (5)7χ-4 χ+ (6)a+b a-b - + 0 5 通分する 6 通分する 7 x - 4 ( x+ ) = - 0 5 ( 7 x- 4 ) - ( x+ ) = 0 7 x - 4 - x - 4 = 0 5 x - 8 = 0 5 x 8 または - 0 0 ( a + b ) = a + 4 b + a - b = 6 4 a + b として約分する = 6 ( a + b ) + a - b = 6 または + a - b 6 4 a 6 + b 6 として約分する 4 χ - または 5 χ-8 a + b または 4a+ a+b 5 0 6

年ジャンプ 式の計算 ~ 式の計算 ~ 次の計算をしなさい ()(-6n) (-m) n ()(-4ab) 5c b =(-6) (-) m n n (-4ab) 5c = b 4mn - 0ac ()(-6a) 4a (-b) (4)(-χ) 6 (-χ) (-6a) (-6a) (-b) = 4a = (-x) (-x) 6 -x -8 8ab -χ (5)8χ (-4χ) (6)(-4ab) a (-b) 8x = - 4x = ( - 4 a b ) a ( - b ) - 4b (7)(-χ ) χ 4χ (8) χ χ 6 = ( - x ) x 4 x = x 6 x -4 4χ χ a=-,b= のとき, 次の式の値を求めなさい ()(a+b)-(a+4b) =a+6b-a-4b =a+b (-)+ ()ab b-ab a b = - a b b = a b ( - ) -5 -

年ホップ 式の計算 ~ 文字式の利用 ~ 5 つの続いた整数の和は 5 の倍数となります このわけを, 文字を使って説明しなさい 例 5 つの続いたいた整数整数のうち, もっとも小さいさい整数整数を n とすると,5 つの続いたいた整数整数は, n,n+,n+,n+,n+,n+,n+,n+4 と表されるされる したがって, それらの和は, n+(n+)+(n+ )+(n+)+(n+ )+(n+)+(n+ )+(n+4)= )=5n+ n+0 =5(n+ (n+) n+ は整数整数だから,5(n+ (n+) は5の倍数倍数であるである したがって,5 つの続いたいた整数整数の和は 5の倍数倍数となるとなる 次の等式を の中の文字について解きなさい ()5χ+= χ ()=5χ+7 χ 5x=-+ を右辺に移項 -5x=-+7-5xを左辺に, を右辺に移項 -+ -7 x= 両辺を5で割る x= 両辺を-5で割る 5 5 χ = -+ + - 7 χ = 5 5 ()S= ah h (4)L=(a+b) a ah ah =S a =S a 両辺を入れ替える 両辺に a をかける L=a+b -a=-l+b a と L を移項 a= L -b 両辺を - でわる S L h = a = - b a (5)S= (a+b) a (6)χ=4 S=a+b 両辺にをかける -a=-s+b a=s-b 4 = x 両辺を x でわり, 約分する a = S - b = χ

年ステップ 式の計算 ~ 文字式の利用 ~ けたの自然数と, その数の一の位の数字と十の位の数字を入れかえた数の和は, の倍 数となります このわけを, 文字を使って説明しなさい 例 はじめに考えたえた数の十の位を χ, 一の位を とすると, はじめの数は 0χ+ 入れかえたれかえた数は 0+ +χ と表されるされる したがって, それらの和は (0 0χ+)+( +)+(0 0+ +χ)= )= χ+ = (χ+) χ+ は整数整数だから, (χ+) は の倍数倍数であるである したがって, けたの自然数自然数と, その数の一の位の数字数字と十の位の数字数字を入れかえたれかえた数の和は, の倍数倍数となるとなる 半径 r の円があります この円の半径を 倍にすると, 面積は何倍になりますか また, 半 径を にするとどうなりますか 半径 r を使って説明しなさい 半径 rの円の面積面積は,r r π=πr 半径を 倍にすると,r r π=4πr したがって, 半径を 倍にするとにすると面積面積は 4 倍になるになる 半径を にすると, r r π= πr 4 したがって, 半径を 倍にするとにすると面積面積は 4 倍になるになる 次の等式を の中の文字について解きなさい ()χ-4+=0 ()n= a+b a -4=-x- = 4 x+ 4 両辺を -4 で割る n = a + b a + b = n a = n - b = χ + または = χ+ 4 4 a = n-b

年ホップ 連立方程式 ~ 連立方程式とそのとその解き方 ~ 次の連立方程式を解きなさい ( ) χ+=4 () 8χ+=5 χ-= χ- =4 x+ = 4 + ) x- = x = 6 x = を に代入 + = 4 = 4 - = 8x+=5 +) x-=4 9x =9 x = をに代入 -=4 -= =- χ= = χ= =- () χ-= (4) χ+=5 χ-=-4 χ-=7 x-= x+=5 -) x-=-4 +) x-=7 x =7 4x = x = をに代入 をに代入 7-= -=7 -=- -=4 = =- χ=7 = χ= =- (5) 4χ-=- (6) χ+=5 7χ-=4 χ-=7 4x-=- x+=5 -)7x-=4 +) x-=7 -x =-5 4x = x =5 x = をに代入 をに代入 4 5-=- -=7 -=- -=4 =7 =- χ=5 =7 χ= =-

(7) χ-=- (8) χ-5= χ+= 4χ-=5 x-=-6 +)x+= 5x =5 x = をに代入 -=- -=-- -=-4 =4 4x-0=6 -)4x- -7 = 5 = =- をに代入 4x- (-) =5 4x =-4 x =- χ= =4 χ=- =- =- (9) -χ+=7 ( 0) χ-= χ-=- χ-=8-4x+=4 +) x-=- -x = x =-4 をに代入 -4-=- -=-8 =9 x-=6 -) x-=8 -x =- x = をに代入 -= -= =- χ=- =-4 =9 χ= =-

年ステップ 連立方程式 ~ 連立方程式とそのとその解き方 ~ 次の連立方程式を解きなさい () χ+4=-7 6x+ 8=-4 -) 6x+5=0-7=-4 = をに代入 x+4 =-7 x=-5 x=-5 () χ-4=-5 χ+5=0 χ+ =7 6x-8=-0 -) 6x+9= -7=-5 = をに代入 x+ =7 x=- x=- = χ=- =-5 χ=- =- = () χ-=9 (4) 7χ-5=7 -χ-=-9 8χ+= 9x-6=7 x-5=5 5 -)-4x-6=-8 +)40x+5=0 x =65 6x =6 x=5 x= をに代入 をに代入 5-=9 8 += -=-6 =-6 x= =- χ=5 (5) χ-= (6) χ-=0 χ-=9 =-χ+ 6x-4= -) 6x-9=7 5=-5 をに代入 =- x- (-)= x=9 x= を に代入する x-(-x+)=0 x+6x-4=0 7x=4 x= をに代入 =- + =-4 χ= = χ= =- =- χ= =-4

(7) χ=4 (8) =4χ+ χ+=6 χ+= を に代入する 4+=6 6=6 = をに代入 x=4 =4 を に代入する x+(4x+)= x+4x+= 6x=- x=- をに代入 =4 (-)+ =5 χ=4 = χ=- =- =5 (9) -χ-=4 ( 0) χ-=6 χ=7- =-χ を に代入する -(7-)-=4-4+4-=4 =8 =6 をに代入 x=7-6 =-5 を に代入する x-(-x)=6 x-6+9x=6 x= x= をに代入 =- =-4 χ=- =-5 =6 χ= =-4

年ジャンプ 連立方程式 ~ 連立方程式とそのとその解き方 ~ 次の計算をしなさい () χ+=8 () 5χ+= χ-=4 χ-4(χ+)=7 x+=8 を整理すると -x-4=7 +) x-=4 0x+4= 4x = +) -x-4=7 x =8 9x =9 をに代入 x = 4 8-=4 -=6 =- 4をに代入すると 5 += =-4 =- χ=8 =- χ= =- ( ) χ=8- ( 4 ) χ+ = χ+5 =0 4 の両辺に4をかけて整理すると 4=x+5 をに代入 4=8-+5 4-8=-+5-4=4 =- 4 4をに代入 x=8 (-)- x=-9 0 0.5=-χ+0 x+=40 5=-0x+00 4 4を整理 0x+5=00 5 5 0x+5=00 5 -) 0x+ 5=00 0=00 =0 6 6をに代入 x+5=0 x=0-5 x=5 χ=- =-9 =- χ=5 =0 (5) χ-5=0 (6) χ-= -(χ-)+=- χ+=8 H 全国学力調査 を整理すると -x+4=- 6x-9= 7.8% 6x-5=60 -) 6x+4=6 +)-6x+8=-4-7=56 -=- =-8 4 = をに代入 4をに代入すると x-5 (-8) =0 x- = x=-0 x=4 x=-0 x= χ=- =-0 =-8 χ= =

(7) 0.4χ-0.=. (8) χ-=5 4χ-= - χ+=4 6x-=0 H4 宮城県入試問題 0 4χ-= +) x+=4 χ-=- 7x =4 x= 整理して χ+= 4 をに代入 4χ-= +=4 = 4 +)χ+= = 6χ =6 または代入法で解くと を変形すると x=-+4 χ = 5 をに代入 (-+4)-=5 5をに代入 -6+-=5 4 -= -7=-7 =-9 4をに代入 x=- +4 = = 4 χ= =-9 χ= = 連立方程式 aχ-b=- bχ+a= の解が, 方程式 χ=-,=であるとき,a,bの値を求めなさい 方程式の解 χ=-,=を,に代入すると -a-b=- -b+a= 整理すると -a-b=- a-b= 4,4を連立方程式として解き,a,bを求めればよい a= b=5

年ホップ 4 連立方程式 ~ 連立方程式の利用 ~ ある美術館に入るとき, 中学生 人とおとな 5 人では 950 円, 中学生 4 人とおとな 人では 00 円かかります 中学生 人, おとな 人の入館料はそれぞれいくらですか 中学生 人の入館料を χ 円, おとな 人の入館料を 円として連立方程式をつくり, 答を求めなさい 連立方程式連立方程式 連立方程式の順序順序は入れ替わってもよいわってもよい χ+5= =950 4χ+= =00 χ=50 =500 答 中学生 人 50 円, おとな 人 500 円 50 円切手と 80 円切手を合わせて 6 枚買って,000 円札を出したら, おつりが 0 円ありました 種類の切手をそれぞれ何枚買いましたか 50 円切手の枚数を χ 枚,80 円切手の枚数を 枚として連立方程式をつくり, 答を求めなさい 50 円切手の枚数を χ 枚,80 円切手の枚数を 枚とすると 000 円でおつりが 0 円なので買った代金は 980 円なので 50χ+80=980 また,6 枚買ったので χ+=6 50 円切手 0 枚, 80 円切手, を連立方程式として解く パン 5 個とドーナツ 個の代金は合計 980 円, パン 6 個とドーナツ 個の代金は 000 円です パン 個とドーナツ 個の値段はそれぞれいくらですか パン 個の値段を χ 円, ドーナツ 個の値段を 円として連立方程式をつくり, 答を求めなさい パンの値段を χ 円, ドーナツの値段を 円とすると パン 5 個, ドーナツ 個で 980 円なので 5χ+=980 パン 6 個, ドーナツ 個で 000 円なので 6χ+=000, を連立方程式として解く パン 0 円, ドーナツ 0 円 4 Aさんは9 時に家を出発して,00mはなれた駅へ向かいました はじめは毎分 50m とちゆうの速さで歩いていきましたが, 途中から毎分 00mの速さで走ったら, 駅には9 時 8 分に着きました 歩いた道のりと走った道のりを求めなさい 歩いた道のりをχm, 走った道のりをmとして連立方程式をつくり, 答を求めなさい 歩いた時間を χ 分, 走った時間を 分とすると 全体の道のりは 00m なので 50χ+00=00 全体でかかった時間は 8 分なので χ+=8 これを解くと χ=6,= となる したがって, 歩いた道のりは,6 50=800(m) 走った道のりは, 00=400(m) 6 枚 歩いたいた道のり 800m, 走ったった道のり 400m

年ステップ 4 連立方程式 ~ 連立方程式の利用 ~ さとこさんの学級では, 次の問題を考えています ある動物園の入園料は, 中学生 6 人とおとな 人で 400 円, 中学生 8 人とおとな 人では 400 円でした 中学生 人, おとな 人の入園料はそれぞれいくらですか さとこさんは, この問題を解くのに, 中学生 人の入園料をχ 円, おとな 人の入園料を 円として, 連立方程式をつくろうと考えました さとこさんの考え方で連立方程式をつくりなさい ( つくった連立方程式を解く必要はありません ) H7 宮城県学習状況調査 8.% 6χ+= =400 8χ+= =400 連立方程式の順序順序は入れ替わってもよいわってもよい ある中学校の 年生の人数は男女合わせて58 人です そのうち男子の5% と女子の 0% は自転車で通学しており, その人数の合計は9 人です この問題を解くのに, 年生の男子の人数をχ 人, 女子の人数を 人とした連立方程式をつくりなさい ( つくった連立方程式を解く必要はありません ) H9 宮城県学習状況調査 7.5% 割合に当たる量 =もとの量 割合もとの量 = 男子の人数 χ 人 χ+= +=58 割合 =5% なので 5 =0.5 0.5 5χ+0.= =9 00 連立方程式の順序順序は入れ替わってもよいわってもよい 割合に当たる量 =χ 0.5 となる ある店では, パンとドーナツを合わせて00 個作りました そのうち, パンは90% 売れ, ドーナツは70% 売れ, 合わせて50 個売れました パンとドーナツはそれぞれ何個作りましたか 作ったパンの数をχ 個, 作ったドーナツの数を 個として連立方程式をつくり, 求めなさい ただし, その連立方程式を解く必要はありません H5 宮城県学習状況調査 9.% χ+= +=00 0.9χ+0.7= =50 連立方程式の順序順序は入れ替わってもよいわってもよい

年ジャンプ 4 連立方程式 ~ 連立方程式の利用 ~ おとなと子ども合わせて 78 人にみかんを配りました おとなには 個ずつ, 子どもには 個ずつ配ると, 配ったみかんの個数は全部で 88 個になりました おとなと子どもの人数は それぞれ何人でしたか H9 宮城県入試問題 おとなを χ 人, こどもを 人とすると合わせて 78 人なので χ+=78 個数は 88 個なので χ+=88, を連立方程式として解く おとな 46 人, 子ども 人 さとしさんの学級では, 次の問題を考えています A さんは, 家から 900m はなれた学校に向かいました はじめは, 毎分 60m の速 さで歩いていましたが, 途中から毎分 0m の速さで走ったところ, 家を出てから 0 分後に学校に着きました 歩いた道のりと走った道のりをそれぞれ求めなさい さとしさんは, この問題を解くのに, 毎分 60m の速さで歩いた道のりを χm, 毎分 0 m の速さで走った道のりを m として, 連立方程式をつくろうと考えました さとしさんの考え方で連立方程式をつくりなさい ( つくった連立方程式を解く必要はありません ) 歩いた道のりと走った道のりを合わせると家から学 校までの道のりになるので の式ができる 歩いた時間は ( 歩いた道のり ) ( 歩いた時間 ) χ なので, 同様に走った時間は 60 0 到着まで 0 分かかっているので の式ができる H6 宮城県学習状況調査.% χ + =900 χ 60 + 0 =0 連立方程式の順序順序は入れ替わってもよいわってもよい 8% の食塩水と,% の食塩水を混ぜて,6% の食塩水を600g 作ります 種類の食塩水をそれぞれ何 g 混ぜればよいですか 解き方と答を書きなさい 8% の食塩水 とは, 食塩水 00gあたり食塩が8gふくまれている食塩水のことです 食塩水を混ぜる前とあとでは, 全体の食塩水の重さや, ふくまれる食塩の量は変わりません 解き方の例 8% の食塩水食塩水を χg, g,6% の食塩水食塩水を g とする χ+= +=600 0.08 08χ + 0.0 0 = 600 0.06 06 χ=60 =40 答 8% の食塩水 60g, % の食塩水 40g

年ホップ 5 次関数 ~ 次関数 ~ 次のア~ウの中で,がχの関数といえるものをすべて選びなさい ア体重がχkgの人の身長 cmイ 辺の長さχcmの正方形の周の長さ cmウ kmの道のりを毎時 4kmの速さでχ 時間歩いたときの残りの道のり km 次関数 =χ+5 について, 次の問に答えなさい ()χ= のとき, の値を求めなさい ()χの値がから4まで増加したときのの増加量を求めなさい χ=のときのの値は +5= χ=4のときのの値は 4+5=7 7-=6 ()χの値が 増加したときの変化の割合を求めなさい (4)χの値がから4まで増加したときの変化の割合を求めなさい 変化の割合 = の増加量なので 7- xの増加量 4- = 次の 次関数について, グラフの傾きと切片を書きなさい ( ) = χ- ()=χ+ 4 イ, ウ 6 傾き 切片 - 傾き 切片 4 4 次の直線の傾きと切片を書きなさい また, 直線の式を書きなさい () () 5 5 P5 O 5 x P5 O 5 x - - P5 P5 傾き 切片 傾き - 切片 - 直線の式 = χ + 直線の式 =- χ -

年ステップ 5 次関数 ~ 次関数 ~ 次関数 = χ-について, 次の問に答えなさい ()χ の増加量が のとき, の増加量を求めなさい の増加量変化の割合 = xの増加量 の増加量は となる 変化の割合が,x の増加量が なので ()χの値が6 増加したとき,の増加量と, 変化の割合を求めなさい () と同様に考える の増加量 変化の割合 次の 次関数のグラフをかきなさい ()=-χ+ ( )= χ-4 ()=- 4 χ+ 5 5 5 P5 O 5 x P5 O 5 x P5 O 5 x P5 P5 P5 切片, 傾き-の直線切片 -4, 傾きの直線切片, 傾き - の直線 4 次関数 =χ+について,χの変域が- χ のときのの変域を求めなさい χ=-のとき=-,χ=のとき=7 従って- 7-7 大まかなグラフを考えるとよい 4 次の条件を満たす 次関数 ( 直線の式 ) を求めなさい () 変化の割合が4で,χ=-のとき=である 次関数 次関数の式は =a χ+b 変化の割合が4よりa =4 よって =4χ+b ここにχ=-,=を代入しbを求める () 傾きが-で, 点 (4,) を通る直線の式 直線の式は =a χ+ b 傾きが-よりa =- よって =-χ+b 点 (4,) を通るので χ=4,=を代入しbを求める =4χ+ =-χ+

() 点 (-,-), (,) を通る直線の式 =χ+ < 考え方 > 直線の式は =a χ+b 点 (-,-) を通るので,χ=-,=-を代入 -=-a +b 点 (,) も通るので,χ=,=を代入 =a +b,を連立方程式として a, b の値を求める < 考え方 > 直線の式は = a χ+b 点 (-,-), (,) を通ることから, 直線の傾きを求める χ の増加量 =-(-) の増加量 =-(-) 表で表すと χ - = =6 - の増加量したがって傾き ( 変化の割合 )= なので 6 xの増加量 = よって直線の式は =χ+b となる に 直線が通る つの点のどちらかを代入する χ=,=を代入すると =+b となりbを求める 6

年ジャンプ 5 次関数 ~ 次関数 ~ はχの 次関数で,χ=のとき=4となり,χが増加するとは減少します このような 次関数のグラフが 軸と交わる点をつ決めて, その点の 座標を答えなさい また, そのときの 次関数の式も答えなさい H7 宮城県入試問題 χが増加するとは減少するので, この 次関数のグラフは右下がりとなる 点 (,4) を通るので, 右下がりとなるためには 軸と交わる点の 座標は4よりも大きくなければならない 例えばそれを5とすれば, 軸との交点は切片なので=aχ+bのb=5ということになる χ 座標が0からで 増加するとき, 座標は5から4で 減少する よって傾きは - となる 軸と交わる点の 座標 例 5 次関数の式 例 = - χ+5 直線 =5χ-4 に平行で, 点 (,6) を通る直線の式を求めなさい 直線が平行だということは 傾きが等しいということ した がって, 求める直線の傾きも 5 であり,=5χ+b という ことが分かる これに (,6) を代入し b を求める 変化の割合は - 4 = - である =χ=4,=4を代入しbを求める =5χ-9 χ の値が 4 増加するとき の値は 減少し,χ=4 のとき =4 である 次関数を求めなさ い χ+b に =- χ+6 4 次関数 =aχ+8(a は定数,a>0) は,χ の変数が - χ のとき, の変域 が b (b は定数 ) です このとき,a,b の値を求めなさい a>0 なので, グラフにすると右上がりのグラフ したがって χ=- のとき は最小値の b,χ= のと き は最大値 をとる χ= のとき = を =aχ+8 に代入し a をもとめてから,b を求める a= b= 5 図のように, 点 A(0,6 ),B(6,) があります χ 軸上に点 Pをとり,AP+PB の値が最小になるようにしたときの点 P の座標を求めなさい 5 P5 O 5 P5 A P B C x 点と点をつないだ線の長さが最小になるのは 直線でつ ないだときになる χ 軸について点 B と対象な点 C(6,-) をとる そ うすると P をどこにとっても PB=PC となるので, AP+PB の値は AP+PC の値と常に等しくなる したがって, 点 A と点 C をつないだ直線が χ 軸と交わる点 が最小の値となる点 P の座標である 9 P(,0 )

年ホップ 6 次関数 ~ 次関数と方程式 ~ 元 次方程式 χ--4=0を 元 次方程式 χ+=-6で,χ=0の について解き, この方程式のグラフを ときのの値と, =0のときのχの値を求め, かきなさい グラフをかきなさい =χ-4 χ=0 のときの の値 =0 のときの χの値 - -6 6 6 4 4 P6 P4 P O 4 6x P P6 P4 P O 4 6x P P4 P4 P6 P6 方程式 =-8 のグラフをかきな 4 次の連立方程式の解をグラフをかいて求めな さい さい χ+= について解くと =-4 これは, 座 標が -4 であるような点の集まりで, 例えば (-,-4), (0,-4), (,-4) な どはこのグラフ上の点である 従って点 ( 0, -4) を通り,χ 軸に平行な直線になる 6 χ-= グラフの交点の座標が連立方程式の解となる 6 4 4 P6 P4 P O 4 6x P P6 P4 P O 4 6x P P4 P6 P4 P6 χ=, =

年ステップ 6 次関数 ~ 次関数と方程式 ~ 次の方程式のグラフをかきなさい 次の連立方程式の解を, グラフをかいて求め ()χ-=4 なさい ()χ+5=-5 () χ-=4 ( ) χ= () χ - =- χ-=0 = () χ-=-6 ( ) χ= (4)+6=0 χ-= 4 =4 6 4 () 6 4 () P () 6 P4 P O 4 6x (4) P P4 P6 P4 P O 4 6x P P4 P6 4 P6 元 次方程式 6χ-5-0=0のグラフが,χ 軸, 軸と交わる点の座標をそれぞれ A,Bとする このとき, 点 A,Bと原点 Oを結んでできる ABOの面積を求めなさい グラフのめもりをcmとします 5 cm 6χ-5-0=0 を について解くと = 6 5 χ-6 6 となる 点 A の χ 座標 5 点 B の 座標 -6 4 A P6 P4 P O 4 6 x 従って ABO の面積は 5 6 =5 P P4 P6 B

4 右図の直角三角形 ABCで, 点 PはBを出発して辺上をCを A 通ってAまで動きます 辺 ACの長さを4cm, 辺 BCの長さを 6cm, 点 PがBからχcm動いたときの ABPの面積をcmと 4 するとき, 次の問に答えなさい cm () 点 Pが辺 BC 上を動くとき,をχの式で表しなさい C P χcm B 6cm =χ ABPの底辺はBP=χ 高さはAC=4 したがって 面積 =χ 4 =χ () 点 Pが辺 CA 上を動くとき,をχの式で表しなさい =-χ+0 0 P A 今度は ABPの底辺をAP と考えると高さはBC=6 となる ここで, 底辺 APは,Pが動いた長さが変化するに伴って変化する BC+AC=6+4 =0 AP=0-Pの動いた長さ =0- χ したがって面積 =(0-χ) 6 C B 整理して =0-χ =-χ+0

年ジャンプ 6 次関数 ~ 次関数と方程式 ~ グラフの つの直線 l,m の交点の座標を求めなさい 直線 l は, 軸と (0,4) で交わっているので切片は 4 ま た点 (4,0) を通っているので, 傾きは - 従って直線 l の式は =-χ+4 直線 mは, 軸と( 0, -) で交わっているので切片は- また, 点 (,-) を通っているので, 傾きは 従って, 直線 m の式は =χ- =-χ+4 と =χ- を連立方程式として解き,χ, を求める 5 7 (, ) l m 6 4 P6 P4 P O 4 6 x P P4 P6 右図の長方形 ABCDにおいて, 点 PはBを出発して 8cm 辺上をCを通りDまで移動します A D AD=8cm,AB=4cm,Pの移動距離をχcmとし, 多角形 ABPDの面積をcmとするとき, 次の問に答え 4 なさい cm () 点 Pが辺 BC 上を動くとき,をχの式で表しなさ B C い χcm P 点 P が辺 BC 上を動くとき, 多角形 ABPD は台形となる よって =(8+χ) 4 となる これを整理する =χ+6 () 点 Pが辺 CD 上を動くとき,をχの式で表しなさい また, このときのχの変域を求めなさい A D 多角形 ABPDは台形となる 下底をABとすると上底はPD B P C PD の長さは P が移動するに伴って変化する PD=BC+CD-(P の移動距離 ) で求められるので これに当てはめ ると,PD=8+4-χ =(-x+4) 8 で PD=-χ これを整理する 変域は,P は辺 CD 上なので,8 cm以上移動していなければならない また,BC+CD で cm以下でなければならない 式 =-4χ+64 変域 8 χ

右図で, は直線 =χで, は 点 A( 0, 6), B(6,0) を通る直線です との交点をPとする とき, 次の問に答えなさい A () 交点 Pの座標を求めなさい の直線の式を求める P 軸との交点が (0,6) なので 切片は 6 B( 6, 0) を通るので, A, Bの関係から傾きは- よって, の式は =-x+6 となる =x と =-x+6 を 連立方程式として解く O B χ P(,4 ) () PAOの面積を求めなさい ( めもり cm ) PAO の底辺を AO とすると AO=6 高さは P から 軸に下ろした垂線の長さであり,P の x 座標と同じなので高さは (cm) である よって面積 =6 6 cm

年ホップ 7 平行と合同 ~ 平行線と角 ~ 次の問に答えなさい () 六角形の つの頂点から対角線を引くと, 対角線は何本引けますか 本 () 六角形の内角の和を求めなさい 六角形を三角形に分けると三角形が4つできる 80 4=70 () 正六角形のつの内角の大きさは何度ですか 正六角形なので70 6で求める (4) 正六角形のつの外角の大きさを求めなさい 一つの内角と外角をたすと80 80-0 =60 右図のように 直線 l,mにつの直線 nが交わっているとき, n 次の問に答えなさい a () aの対頂角をいいなさい c b l () bの同位角をいいなさい f 70 0 60 d c () cの錯角をいいなさい e (4)l//m のとき, dと等しい b, b, f, f, h 角をすべていいなさい m e h f g 次の図で χの大きさを求めなさい () () () A m 75 68 80-75 χ =05 χ P 5 75 B 65 AB=AC C 47 χ n 5 m//n 平行な直線 Pを引き, 錯角を利用する 50 65 40

年ステップ 7 平行と合同 ~ 平行線と角 ~ 十二角形について次の問に答えなさい () つの頂点から対角線を引くと, 三角形が何個できますか () 十二角形の内角の和を求めなさい 80 (-) () 正十二角形のつの内角は何度か求めなさい 正十二角形なので 800 で求める (4) 正十二角形のつの外角の大きさは何度か求めなさい 80-50 次の図で χ の大きさを求めなさい 0 個 800 50 0 () () () m 0 χ 9 46 χ 55 n m//n 4 7 平行線を引き, 錯角を利用 点線のように延長して考えてもよい 一つの外角はそれととなり合わない つの内角の和に等しい χ 87 05 5 05 (4) (5) (6) 0 60 8 48 A 74 B ア χ 75 5 χ χ 4 7 7 +A 5 x+b アの角の大きさについて x+4 =8 +48 が成り立つ 7 +A+x+B=5 A+B=74 00 4

年ジャンプ 7 平行と合同 ~ 平行線と角 ~ 右図で, BAD= CADのとき, χの大きさを求めなさい 80-6 -7 =80 =80 から求める A A 4 0 左図の ABC は,AB=AC の二等辺三角形である AD=CD のとき, χ の大きさを求めなさい B χ 6 7 D C D AD=CDより ADCは二等辺三角形 よって DCA=4 ABCは二等辺三角形 よって C= B ABCの内角から 4 +(x+4 )+(x+4 )=80 これを解く B x+4 4 χ C 7 A 左図の正三角形 ABC で, χ の大きさを求めなさい 60 7 正三角形より つの内角はすべて 60 で図のようになる ここから様々な形の三角形を部分的に見ながら, 分かる角度を書き込んでいくと x の大きさにたどり着く 7 B 60 60 χ C 4 6 B χ x 4 幅が一定の紙テープを左図のように折り返したとき, χの大きさを求めなさい 折り返すということは, A= xということ 平行線の同位角から B=6 x+x+6 =80 となる 7 5 次の問に答えなさい () 内角の和が60 になる多角形は何角形ですか 求める多角形をn 角形とすると 80 (n-)=60 が成り立つので, これを解く ( ) つの外角の大きさが4 になる正多角形は正何角形ですか 多角形の外角の和は60 正多角形なので 60 4 =5 ()つの内角の大きさが, その外角の大きさの 7 倍であるよ うな正多角形は正何角形ですか 外角を x とすると内角は 7 x となる 内角と外角の和は 80 より x+ 7 x=80 これを解いてx=40 外角の和は60 より60 40 =9 十一角形 正十五角形 正九角形

年ホップ 8 平行と合同 ~ 合同な図形 ~ 学年 組 氏名 三角形の合同条件をいいなさい 順不同 辺がそれぞれがそれぞれ等しいしい 辺とそのとその間の角がそれぞれがそれぞれ等しいしい 辺とそのとその両端両端の角がそれぞれがそれぞれ等しいしい 次の図において, 合同な三角形を記号 を使って表しなさい また, そのときに使った合同条件をいいなさい () () A A B 50 4 cm C B cm 5 cm C 4 cm D 50 E cm D 5 cm 合同な三角形 合同条件 ACB ACB ECD 合同な三角形 ABC ABC DBC 辺とそのとその両端両端の角がそれ 合同条件 辺がそれぞれがそれぞれ等しい ぞれ等しい 右図で, 四角形 ABCD 四角形 EFGH であるとき, 次の問に答えなさい A 9 D () HEF の大きさを求めなさい 四角形の内角の和より DAB= HEF=60-9 -87-68 = B 87 68 C H ()ABの長さとBCの長さの比を求めなさい AB:BC=EF:FC =:4 =: : cm F E 4 cm G

年ジャンプ 8 平行と合同 ~ 合同な図形 ~ 右図の印をつけた5つの角の和を求めなさい A B E E 三角形の外角より, A+ C=, D A D B+ D= A したがって A+ B+ C+ D B C C 80 + E =++ E =80 B E C D 右図で,AB=DC,AC=DB ならば, BAC= CDB であることを証明しなさい A D 仮定 結論 証明 AB=DC,AC=DB BAC= BAC= CDB CDB E ABC と DCB において AB=DC( 仮定 ) AC=DB( 仮定 ) BC=CB( 共通 ) 辺がそれぞれがそれぞれ等しいので, ABC ABC DCB したがって, BAC BAC CDB B C 右図のように, 正方形 ABCDの辺 BC, 辺 CD 上にCE=DFとなる点 E, Fをとります また, 直線 AFと直線 BCの延長との交点をGとします このとき, CDE= CGFを証明しなさい 仮定 結論 証明 正方形 ABCD,CE=DF CDE= CDE= CGF CGF A D = F ADF と DCE において AD=DC( 仮定 ) DF=CE( 仮定 ) ADF= ADF= DCE= DCE=90 90 ( 仮定 ) 辺とそのとその間の角がそれぞれがそれぞれ等しいので ADF ADF DCE 対応するする角は等しいので, DAF= DAF= CDE 一方で, AD// //BC により錯角錯角が等しいので, DAF= DAF= CGF, より CDE= CDE= CGF CGF B E C G

年ホップ 9 三角形と四角形 ~ 三角形 ~ 次の問に答えなさい () 二等辺三角形の定義をいいなさい つの辺の長さがさが等しいしい三角形三角形を二等辺三角形二等辺三角形というという () ABC DEFならば A= D の逆をいいなさい A= A= D ならば ABC ABC DEF である 次の図で, ABC は A を頂点とする二等辺三角形である χ を求めなさい () () () 二等辺三角形の底角は等しいから, χ=(80-9) =44 χ=70 =40 +70 角 Aが6 なので C=(80-6 ) =7 BD=BCより C= BDC=7 したがって ABDの外角より χ=7-6 =6 44 40 6 下の証明は, 直角三角形の合同条件のうち, 斜辺とつの鋭角が等しいとき合同であることを証明したものです にあてはまる言葉や記号を入れて, 証明を完成させなさい ABCと DEFにおいて, 仮定より C= F=90 仮定より A= D 三角形の内角の和は80 であるから,,より B = E 仮定より AB = DE 4,,4 より 辺とそのとその両端両端の角 がそれぞれ等しいから, ABC DEF

年ステップ 9 三角形と四角形 ~ 三角形 ~ 右図はAB=AC, BAC=6 の二等辺三角形です ADは BACの二等分線, BEは ABCの二等分線のとき, 次の角の大きさを求めなさい () ABC 7 () BDC () AEB AEBにおいて, BAE=6 EBA= ABC=6 (4)AD,BEの交点をFとするとき AFE AFE= BAF+ ABFより 80 08 54 右図は,AB=AC である二等辺三角形で, 辺 AB, 辺 AC 上に EB=DC となるように, 点 E, 点 D をとり,B と D,C と E をそれぞれ結んだものです CE=BD となることを証明しなさい ( 例 ) EBC と DCB において EB=DC ( 仮定 ) BC=CB ( 共通 ) また, ABC は Aを頂角頂角とするとする二等辺三角形二等辺三角形より底角は等しいので EBC= EBC= DCB ~ より, 辺とそのとその間の角がそれぞれがそれぞれ等しいので, EBC EBC DCB よって, 対応するする辺は等しいので CE=BD

年ステップ 0 三角形と四角形 ~ 平行四辺形 ~ 右図で, 四角形 ABCDはAB=8cm,AD=6cmの平行四辺形である Aの二等分線とBCをCの方向に延長した直線との交点をEとするとき,CEの長さを求めなさい AD BCより, DAE= BEA 仮定より DAE= BAE,より BAEはBA=BE=8の二等辺三角形したがって CE=8-6= cm 右図で, 四角形 ABCDは平行四辺形, Eは辺 AD 上の点で, ABE= EBC,EC=DCである EAB=00 のとき, BECの大きさを求めなさい EAB=00 より, ABC=80-00=80 BEは角の二等分線より, CBE=80 =40 AE BCより AEB= CBE=40 平行四辺形の対角より CDE= ABC=80 CD=CEより二等辺三角形の底角は等しいから CDE= CED=80,より BEC=80-40-80=60 60 右図のように, 平行四辺形 ABCD において, 辺 BC 上に,AB=AE となるように点 E をとる このとき, ABC EAD であることを証明しなさい ABC と EAD において AB=EA ( 仮定 ) BC=AD ( 仮定 ) また, ABE は BAE を頂角頂角とするとする二等辺三角形より底角底角は等しいので, ABE= ABE= AEB AEB AD// //BC より, EAD= EAD= AEB AEB 4,4 より, ABC= ABC= EAD 5,,5 より, 辺とそのとその間の角がそれぞれがそれぞれ等しいので, ABC ABC EAD

年ジャンプ 0 三角形と四角形 ~ 平行四辺形 ~ 右図のように, BCD=60 のひし形 ABCD がある 辺 BC 上に点 E をとり, 辺 BE を 辺とするひし形 BGFE をつくる このとき,AE=DG であることを証明しなさい DB をひくと, ABE と DBG において BE=BG ( 仮定 ) また, BAD= BAD=60 60, ABCD はひし形であることから,DA=AB よって ABD は正三角形正三角形であるから, AB=DB また,DC// //AB より, BCD= BCD= EBG= EBG=60 60 であるから, ABE= ABE= DBG= DBG=0 0 ~ より, 辺とそのとその間の角がそれぞれがそれぞれ等しいので, ABE ABE DBG したがって AE=DG 右図のように, 長方形 ABCD がある この長方形の外部に つの辺 CD,DA をそれぞれ 辺とする正三角形 CPD と正三角形 DQA をつくり, 線分 CQ が線分 PA, 線分 DA と交わる点をそれぞれ E,F とする () CDQ と PDA が合同であることを証明しなさい CDQ と PDA において DQ=DA ( 仮定 ) CD=PD ( 仮定 ) また, QDC = 90 + QDA = 50 ADP = 90 + CDP = 50 QDC= QDC= ADP ~ より, 辺とそのとその間の角がそれぞれがそれぞれ等しいので, CDQ CDQ PDA () AEF の大きさを求めなさい () より DQF= FAE FQA+ QAE= DQA+ QAD =0 したがって AEQの内角の和より AEF=80-0 =60 60

年ホップ 確率 つのさいころを投げるとき, 次の確率を求めなさい ただし, さいころは, どの目が出ることも同様に確からしいものとします ( そのことが起こる場合の数 ) 確率 = で求められる () の目の出る確率 ( 起こりうるすべての場合の数 ) () 偶数の目が出る確率 6 すべての場合の数は 6 通り偶数の目は,4,6 の 通り したがって, 6 = () または の出る確率 すべての場合の数は 6 通りそのうち または が出るのは 通り したがって, 6 = ジョーカーを除く5 枚のトランプをよくきってから 枚引くとき, 次の確率を求めなさい () ハートの出る確率 () 絵札の出る確率 () クローバーの が出る確率 すべての場合の数は5通りそのうちハートが出るのは 通りしたがって, = 5 4 すべての場合の数は5通りそのうち絵札が出るのは 4= 通り したがって, 5 = すべての場合の数は5通りそのうちクローバーのが出るのは 通り したがって, 5 4 5 A,B 枚の硬貨を投げるとき, 次の確率を求めなさい () 枚とも表の出る確率 枚の硬貨を投げたときのすべての出方は, ( 表, 表 ),( 表, 裏 ),( 裏, 表 ),( 裏, 裏 ) の 4 通り このうち 枚とも表は,( 表, 表 ) の 通り したがって 4 () 枚が表で, もう 枚が裏である確率 枚の硬貨を投げたときのすべての出方は, ( 表, 表 ),( 表, 裏 ),( 裏, 表 ),( 裏, 裏 ) の4 通り このうち 枚が表で, 枚が裏になるのは, ( 表, 裏 ),( 裏, 表 ) の 通り したがって 4 = 4

年ステップ 確率 つのさいころを同時に投げるとき, 次の確率を求めなさい ただし, さいころは, どの目が出ることも同様に確からしいものとします () 出た目の和が 6 になる確率 出た目の和が6になるのは,(,5),(,4) (,),(4,),(5,) の5 通り 5 6 () 出た目の積が になる確率 出た目の積がになるのは,(,6),(,4) (4,),(6,) の4 通り 4 = 6 9 () 出た目の和が 5 の倍数になる確率 出た目の和が5の倍数になるのは,(,4),(,) (,),(4,),(4,6),(5,5),(6,4) の7 通り 7 6 個のさいころを同時に投げるとき, 起こりうる結果は全部で 6 通りある 5 6 9 7 6 赤玉 4 個, 白玉 個の入った袋から, 続けて 個取り出すとき, 次の確率を求めなさい ()つともに赤玉である確率 赤 赤 赤 赤 4 赤 赤 赤 赤 4 赤 赤 赤 赤 4 赤 4 4 個の赤玉を, 赤, 赤, 赤, 赤 4, 個の白玉を, 白, 白, 白 と区別して樹形図をつくって考えると, 起こりうる結果は7 6=4 通り 赤 赤 赤 4 = 7 7 () 取り出した玉の色が異なる確率 赤 白 白 白 赤 白 白 白 赤 白 白 白 赤 4 白 白 白 白 赤 赤 赤 赤 4 白 赤 赤 赤 赤 4 白 赤 赤 赤 赤 4 4 4 = 4 7 4 7 () つともに同じ色である確率 つとも赤玉になるのは () より 通り つとも白玉になるのは 白 白 白 白 白 白 白 白 白 の6 通り +6 4 = 7 7 0 本のうち 本が当たりになっているくじをA,Bの 人が,A,Bの順に 本ずつ引くとき, 次の確率を求めなさ A,Bの順にひく引き方は全部で0 9=90 通り い ()Aだけが当たる確率 Aがあたり,Bが外れをひけばよいから 7= 通り 7 90 = 0 ()B だけが当たる確率 Aがはずれ,Bがあたりをひけばよいから 7 = 通り 7 90 = 0 7 0 7 0

年ジャンプ 確率 大小 つのさいころを投げて, 大きいさいころの出た目の数を χ, 小さいさいころの出た目の数を とし, 点 P の座標 (χ,) を決めることにします このとき, 点 P が 次関数 =-χ+8 のグラフ上の点となる確率を求めなさい つのさいころの目の出方は全部で6 6=6 通り もし大きいさいころの目が, 小さいさいころの目がだとすると, 点 P の座標は (,) となる χ=を-χ+8に代入すると (-) +8=6 となり, 座標が (,6) の点ならばグラフ上にあり, 点 P(,) はグラフ上にはないことが分かる χ=なら (-) +8=4で(,4) の点がグラフ上の点 χ=なら (-) +8=で(,) の点がグラフ上の点 χ=4なら- 4+8=0で (,0) の点 しかし, さい ころには 0 の目はない χ=5 や 6 では計算結果は負になってしまう したがって, 条件に合う目の出方は 通り 人でじゃんけんを 回して, あいこにならない確率を求めなさい 人でじゃんけんをしたときの出し方は 人が 通りの出し方があるので, 全部で =7 通り このうち, あいこ になるのは, 人とも同じ種類を出したときの 通りと, 人とも違った種類を出したときの6 通り ( あいこにならない確率 )=-( あいこになる確率 ) で求められるから, 9 ( あいこにならない確率 )=- = 7 右の図のような長方形,,を, さいころを 回投げて,,,の順に色をぬることにする さいころを投げて,の目が出たら赤,,4の目が出たら青,5,6の目が出たら黄色でぬること にして, 次の確率を求めなさい () 赤を使わない確率 さいころを 回投げたときの出方は全部で 6 6 6=6 通りさいころの目が,4が出ない場合の数は 4 4 4=64 通り 64 8 したがって確率 = = 6 7 () 同じ色が隣り合わない確率 同じ色が隣り合わない ということは, 箇所がすべて違う色になるときである すべて違う色の出方は, 回目に出る目は, 回目に出た目の色と違う色にならないといけないので 4 通り 回目に出る目は, 回目, 回目に出た目の色と違う色でないといけないので, 通り したがって, すべて違う色の出方は,6 4 =48 通り 4 Aさんは,,,5の数字をつずつ書いた 枚のカードを,Bさんは,,,4の数字をつずつ書いた 枚のカードを持っています 人とも, カードをよくきり, 自分の持っているカードの中から 枚ずつ取り出します このとき,Aさんの取り出したカードに書いてある数のほうが,Bさんの取り出したカードに書いてある数よりも大きい確率を求めなさい H 宮城県入試問題 A さんのカード B さんのカード 5 4 8 7 48 したがって確率 = = 6 9 9 5 9 出方は全部で = 9 通り A の方が大きくなるのは A が のとき, B が の 通り A が のとき, B が の 通り A が 5 のとき, B が,, 4 の 通りしたがって全部で 5 通りある 確率 = 5 9

年スペシャル スペシャル問題 aを一の位の数字が0でないけたの自然数とし,aの十の位の数字をχ, 一の位の数字を とします bをaの十の位の数字と一の位の数字を入れかえたけたの自然数とします 次の (),() の問に答えなさい H0 宮城県入試問題 ()0a-b は 9 の倍数になります そのわけを, 文字式を使って説明しなさい 例 a は 0χ+,b は 0+ +χ と表されるから, 0a-b= a-b=0 0(0 0χ+)-( +)-(0 0+ +χ) =00 00χ+0 0- -0 0- -χ =99 99χ =9 χ χ は整数整数だから,9 χ は9の倍数倍数であるである したがって,0 0a-b は9の倍数倍数になるになる ()0a-b=79 が成り立つ a の値のうち, もっとも大きい値を求めなさい a=0χ+,b=0+χとする 0a-b=0(0χ+)-(0+χ) =00χ+0-0-χ =99χ この値が79になるから 99χ=79 χ=8 χはaの十の位の数であり, 最も大きい数になるにはbが9のときである したがって89である 89 縦に 行, 横に何列も並んだます目があります 下の図のように,,,, の 自然数を順番に, 奇数列のます目には第 行から第 行まで, 偶数列のます目には第 行にだ け書いていき, 表を作ります なお, 下の図は第 列以降を省略してあり, また, は数字を 省略して表したものです H4 宮城県入試問題 第第第第第第第第第第図 4 5 6 7 8 9 0 列列列列列列列列列列第 行 5 9 第 行 4 6 8 0 4 第 行 7

この表の一部分を, ちょうど縦 行横 列が入るように囲み, それをわくわくということにします たとえば, 真ん中の列が第 列であるわくわくは, 例 の太線で囲まれた部分です また, 真ん中の列が第 4 列であるわくわくは, 例 の太線で囲まれた部分です 例 第 第 第 第 第 第 例 第 第 第 第 第 第 4 5 6 4 5 6 列 列 列 列 列 列 列 列 列 列 列 列 第 行 5 9 第 行 5 9 第 行 4 6 8 0 第 行 4 6 8 0 第 行 7 第 行 7 次の ()~(4) の問に答えなさい () わくの真ん中の列が第 7 列のとき, わくの中にあるすべての数の和を求めなさい 左の図のようになる すべての数を足せばよい 4 6 5 70 () 第 n 列の第 行の数を,n を用いて表しなさい n () わくの真ん中の列が第 n 列のとき, わくの中にあるすべての数の和を,nが奇数の場合と, nが偶数の場合に分けて考え, それぞれnを用いて表しなさい ただし,nは 以上としま す 左の図のようになる すべてを足せばよい n- n- n n+ nが奇数の場合 0n n+ n- n+ n- n n+ nが偶数の場合 4n n- n+ (4) わくの中にあるすべての数の和が 400のとき, わくの真ん中の列は第何列になりますか もし,nが奇数とすれば, 0n=400 n=40 nは奇数とした仮定に矛盾する もし,nが偶数とすれば,4n=400 n=00 nが偶数とした仮定に矛盾しない したがって第 00 列である 第 00 列