/5 平成 9 年 月 4 日午前 時 48 分第八章ニュートリノ質量行列 第八章 フレーバーニュートリノ ( t ) 換で結びつく (5.) の ( ) ニュートリノ質量行列 種混合 と質量固有状態のニュートリノ ( ) と ( ) の場合の は ユニタリー変 æ æ cosq siq æ ø -siq cosq ø ø (8.) 以外に æ æ cosq siq æ -siq cosq t ø ø ø (8.) æ æ cosq siq æ -siq cosq t ø ø ø (8.) を導入する ここに (8.) は 太陽ニュートリノ振動に主に寄与するニュートリノ混合 (8.) は 大気ニュートリノ振動に主に寄与するニュートリノ混合 として考えられている そのとき ( ) を (8.) (8.) (8.) の順番で混合させる U の混合から ( t ) を出す行列として ( ) æ æ cosq siq æ cosq siq cosq siq -siq cosq -siq cosq -siq cosq ø ø ø æ cosq cosq siq cosq siq - cosq siq - siq cosq siq cosq cosq - siq siq siq siq cosq siq siq cosq cosq siq siq cosq cosq siq siq cosq cosq - - - ø æ æ U t ø ø (8.4) を標準のユニタリー行列として採用している ((4.4) 参照 )( 問題 ) ユニタリー行列の名称 U は 最初にニュートリノ混合に気がついた物理学者 : B. Potcorvo Sov. Phys. JETP (Sovit Physics: Joural of Exprital ad Thortical Physics) 7 (958) p.7 [ ロシア語版 :Zh. Eksp. Tor. Fiz. 4 (958) p. 47] ij æ -id 複素数まで許すと æ æ cosq siq æ ij id 及び t siq cosq U U と変更される こ ø - ø ø ij ø T のとき (8.9) の M ass U M wak U M ass U M wa ku も変更受ける
/5 平成 9 年 月 4 日午前 時 48 分第八章ニュートリノ質量行列 Z. Maki M. Nakagawa ad S. Sakata Prog. Thor. Phys. (Progrss of Thortical Physics) 8 (96) p. 87. に因んで Potcorvo-Maki-Nakagawa-Sakata () 行列と付けられた ((4.4) 参照 ) (8.4) の表記として wak ì æ æ ï ï wak ass U ass Ü í t ï ø ø ï î wak ass T T T T T T ( t ) ( ) を使うことがある マヨラナニュートリノ (Majoraa utrio) の質量項は (4.46) より 本章の表記に直して - Lajoraa ass - C M + - + である 以降 便宜上 -C - を省略して C M - - wak wak H.c. ass ass ass H.c. - Lajoraa ass wak M wak + H.c. ass ass ass + H.c. M と表す ここに M は の行列であり その個々の要素がフレーバーニュートリノの質量 (8.5) (8.6) (8.7) M は の対角行列であり はニュートリノの質量とすると ass M ass æ ø (8.8) を与える (8.5) と (8.6) から M U M U ass wak (8.9) である ( 問題 ) さて この混合角 ( ) 実験結果 q q q に対して 現在の実験値は æ +.8 æ +. 4 æ +. si q.4 si q.44 si q.9 -.5 -. -.9 ø ø ø - (8.) である また ニュートリノの質量について
/5 平成 9 年 月 4 日午前 時 48 分第八章ニュートリノ質量行列 Dat º - D º - (8.) と定義すると æ +. D -.6ø - at.4 V D 7.9 ±.9 V -5 (8.) ここで > に注意する これら実験結果から ニュートリノ振動の大まかな性質として si q Þ siq ± si q Þ siq D D << at (8.) (8.4) (8.5) を得ることができる この質量 乗差から ニュートリノの質量自身 を求めると 通 りの取り方ができることが分かっている それは Noral ass hirarchy Ivrtd ass hirarchy ( 順質量階層 ) ( 逆質量階層 ) ( 縮退質量型 ) < << << < Dgrat ass pattr - - << である 更に (8.5) の特徴を強調すると D»» (8.6) (8.7) である 大気ニュートリノの最大混合と μ-τ( 置換 ) 対称性 さて 実験から導き出されたニュートリノ振動の性質が 理論で用いられる (8.4) や (8.9) に何を 示唆しているか調べてみる そこで (8.4) でのsiq を用いて (8.) に代入すると æ æ cosq siq æ æ æ -siq cosq - ø t ø ø ø ø (8.8) である 逆変換で表すと si q も有望視されている値である この値を重視する混合角を用いる時を tri-biaxial 混合という ここ では この値は用いないで解析を進める 安江正樹@ 東海大学理学部物理学科
4/5 平成 9 年 月 4 日午前 時 48 分第八章ニュートリノ質量行列 - + t t (8.9) であるので どちらも混合の割合が : であることが分かる このことから (8.9) で表せる混 合を最大混合 (axial ixig) とよぶ 即ち 大気ニュートリノ振動は と t の最大混合の結果 である事が分かる 実際には フレーバーニュートリノの ( t ) の混合であるので (8.9) に は の成分が現れ その分がズレてくる ((8.4) 参照 ) (8.4) のニュートリノ混合の特徴をもう少し調べるために (8.9) より得られる M U M U wak ass (8.) に (8.4) を代入して ( siq ) 結果を æ a b c M wak b d c f ø (8.) で表すと a cos q + si q b - c ( - ) siq cosq d f + + - ( si q + cos q - ) ( si q cos q ) を得る ( 問題 ) 即ち (8.) は æ a b -b M wak b d -b d ø と表されることになる また ニュートリノは -t cosq - siq -t siq + cosq + t (8.) (8.) (8.4)
5/5 平成 9 年 月 4 日午前 時 48 分第八章ニュートリノ質量行列 と表される ( t ) で表された質量項は (8.) を (8.7) に代入して T T T T T T T T - Lajoraa ass éa + b - + b - + d + + + ë ( t ) ( t ) ( t t ) ( t t ) (8.5) を得る ( 問題 ) ù û マヨラナ質量項 (8.5) は - - の同時入れ替え (8.6) t t に対して L ajoraa ass が不変である という性質を持っている このように L ajoraa ass が不変で ある のは L ajoraa ass に対称性があることを示唆している この対称性をニュートリノ振動 における -t ( 置換 ) 対称性 という この対称性は 数学的には つの要素の入れ替えとして Z 対称性 T - : という 一般に Z N 対称性には N 個の要素があり それぞれの要素は N 個の演算子 N æ p T xp i ( N - ) (8.7) N ø T - で変換され移り合う ここで N 個の演算子 N は ( T ) N (8.8) を満たしている さて -t ( 置換 ) 対称性の Z 対称性では つの要素はT とT -で変換される つの 要素を ( ) + - とすると T + + + + T - - - - である また 更に分かることは に対しては (8.9) T + を要請する必要がある ( 問題 4) (8.9) を (8.6) で表すと (8.)
6/5 平成 9 年 月 4 日午前 時 48 分第八章ニュートリノ質量行列 -t + (8.) + t - となる ( 問題 5) (8.) を用いて (8.5) を書き換え T T T T T T T - Lajoraa ass éa + b + + d + + - ë を得る ( 問題 6) また ニュートリノは cosq - siq になる + siq + cosq + - ( + + ) ( - - + + ) ( - - + + ) ù û (8.) (8.9) の性質を用いると T T T T T -t ( 置換 ) 対称性を破らない量は + + + + + - - T T T T -t ( 置換 ) 対称性を破る量は - + - - + + + - であることが分かる ( 問題 7) 以上から 実験事実の si q.5 si q (8.) を自動的に導き出す理論の要請はニュートリノ振動における -t ( 置換 ) 対称性 (8.4) である 従って 未知のニュートリノ理論は -t ( 置換 ) 対称性に対する不変性を持つはず であると結論できる ニュートリノ質量項と混合角 ニュートリノ振動は フレーバーニュートリノが (8.) の質量を持つとき 観測値を再現する混 siq ± siq を予言する ところで 残りの混合角 siq は予言されない 合角 この角度は (8.) の質量から計算できるので この節では -t ( 置換 ) 対称性を仮定し 混合角 si q siq 及びsiq の計算 を実行する (8.) の質量行列は対称行列なので (8.9) のように直交行列で対角化できる 直交 行列は (8.) の固有ベクトルを用いて作ることができる そこで (8.) の代わりに æ a b -s b M wak b d -s b d ø (8.5)
7/5 平成 9 年 月 4 日午前 時 48 分第八章ニュートリノ質量行列 とする 一般に (8.5) の固有値 l に対する固有ベクトルを とすると U ( ) で表わすことができる ( 問題 8) 固有値と固有ベクトルを求めると - ( x ) ( s ) a + d -s - a - d + + 8b l æ -x- a - d + s - ( a - d + s ) + 8b N - with x- < b s ø N - + - ( x ) ( s ) a + d - s + a - d + + 8b l æ x+ a - d + s + ( a - d + s ) + 8b N with x+ > b -s ø N + l d + s æ s ø + (8.6) (8.7) (8.8) (8.9) になる ( 問題 9) ここに N は係数で 及び になるように決められる さて (8.7)~(8.9) を用いて l l l を仮定する (8.4) と ( ) ( ) なので より ( ) U æ -x N x N - + ì - s ïn + U ( ) ( ) -N N í - ï î N + s N -s N ø ( x ) - ( x ) + (8.4) (8.4)
8/5 平成 9 年 月 4 日午前 時 48 分第八章ニュートリノ質量行列 とわかる ( - x - > に注意せよ ) (8.4) と比較して cosq - x N N siq x N N - + s cos q siq cosq siq (8.4) を得る ( 問題 ) 以上から cos q -x siq x + + - + ( x ) + ( x+ ) ( x ) + ( x- ) - + (8.44) を得る また ( x ) + ± x a - d + s + b 8 ± ± b (8.45) に注意して (8.44) を用いると si q b ( s ) a - d + + 8b (8.46) を得る ( 問題 ) これが siq の予言を与える ( 問題 ) ここで ニュートリノ振動 の大まかな性質として (8.4) の代わりに si si q Þ siq ± q Þ siq ± q とするとき Þ q si si b a - d +s (8.47) (8.48) である ( 問題 ) 以上から ( s ) ( s ) a + d -s - a - d + + 8b a + d - s + a - d + + 8b d + s (8.49)
9/5 平成 9 年 月 4 日午前 時 48 分第八章ニュートリノ質量行列 si q b ( s ) a - d + + 8b s cos q siq cosq siq (8.5) が予言できる ニュートリノ質量階層 ニュートリノの質量への制限 (8.6) を課してみると 質量パラメーター a b d に制限がつく まず 太陽ニュートリノの D : ( s ) ( s ) D» a + d - a - d + + 8b (8.5) より a + d > s (8.5) の条件がつく 大気ニュートリノの D at は 質量のパターンによる A 順質量階層(Noral ass hirarchy) の時には < << なので at ( s ) D -»» d + (8.5) を得る ここで D D >> D を満たすためには at at a + d - s» ad/or a - d + s» & b» d + s ¹ (8.54) が必要になる これに < << の条件を用いると d + s >> a b d - s (8.55) になる ( 問題 4) 従って d» s が分かる そこで 小ささを示すパラメータとして << (8.56) (8.57) とすると (8.54) と (8.55) を満たすように
/5 平成 9 年 月 4 日午前 時 48 分第八章ニュートリノ質量行列 d + s a b d - s と設定できる これを用いれば (8.) は æ -s éæ æ -s ù ê ú M + s ( - ) ê s + -s ú -s s ( - ) + ê s s s ø - - øú oral ø ë û (8.58) と与えられる これから (8.59) + - - + 8 8 + + - + (8.6) si q - + 8 (8.6) を得る ( 問題 5) B 逆質量階層(Ivrtd ass hirarchy) の時には << < なので D -» at (( s ) ( s ) ) ( s ) ( s ) ( a ( d s ) 4b ) ( a d s ) ( a d s ) 8b a + d - + a - d + + 8b - a + d - a - d + + 8b 4 + - + - + - - + + を得る 第 項は無視できる ( 問題 6 A) ので ( ( s ) 4 ) (8.6) D at» a + d - + b (8.6) を得る 更に ( ) << より d + s» がわかる 実際には (8.6) は ì ï ( s ) ( s ) a + d - ad a - d + + 8b» D at» í ï é ù ïî ë ( a d s ) b ( a d s ) - + + 4 ad + -» û (8.64) (8.65) の 通りの場合があることが分かる ( 問題 6 B) ところで si 意すると a d s b q O に注 - + + 8» の場合には b» (8.66)
/5 平成 9 年 月 4 日午前 時 48 分第八章ニュートリノ質量行列 + -» の場合には b ¹ (8.67) ( a d s ) が導かれる ( 問題 6 C) 以上から (8.57) と同様な手法を用いて M æ + -s -s ( - ) -s -s ( - ) ø ivrtd- (8.68) これより æ æ ø ø - - + + 8 - + + + 8 + + si q を得る また + + 8 (8.69) æ - + q -s q M q -s ( - ) -s q -s ( - ) ø ivrtd- (8.7) と与えられ æ ( 4 - - ) + 8q - æ + - - +» - 4 + q + + < 4 + q ø ø æ ( 4 - - ) + 8q - æ + - +» 4 + q - + > 4 + q ø ø si q q» 4 - - + 8 ( ) q + q q (8.7) を得る ( 問題 7) C 縮退質量型(Dgrat ass pattr) の時には - - << な ので つの質量がほぼ > とすると at + + at << (8.7) と置くとよい ここで ニュートリノ質量は ± の符号が許される ことを考慮して 絶対値がついている その時
/5 平成 9 年 月 4 日午前 時 48 分第八章ニュートリノ質量行列 << ( h ) D - + -» at << at ( hat ) at D - + -» (8.7) であるので D D at << より at がわかる << Þ» と考えてよい (8.74) さて»» > の場合には (8.7) は + + at (8.75) なので s a d b - + + 8 (8.76) a d s a d s at d s + - - d s + - æ + -» + - (8.77) ø である 以上から (8.76) は (8.5) より ( 簡単のため a - d + s > b > とする ) a - d + s cos q b» si q (8.78) また (8.77) より cos - at s - q» s (8.79) である 例として M æ s - at + cos q si q - si q s si q s s - si q at ø dgarat- at と与えることができ æ - cos q - æ - cos q + - - ø ø æ at + ø を得る ( 問題 8) at at (8.8) (8.8) 実験の特徴を このように整理することであらたなニュートリノ理論を考える道筋が得られる 例えば 順質量階層の場合には (8.59) より
/5 平成 9 年 月 4 日午前 時 48 分第八章ニュートリノ質量行列 æ 第 近似 : s を与えるモデルを考える s ø æ -s 第 近似 : ごく僅かな影響を与える相互作用を考案し -s を導く -s -s ø が生まれる 特に 第 近似の場合には æ with ø æ - s with ø であり (8.) と (8.4) を用いて 明らかに s D at >> D ( ) si q siq siq æ with s ø (8.8) (8.8) が成り立つ 従って siq は第 近似から与えられる つまり 第 近似の質量行列がsiq を決定する (8.84) ことがわかる 他の場合も同様である ( 問題 9)
4/5 平成 9 年 月 4 日午前 時 48 分第八章ニュートリノ質量行列 第八章問題 )(8.4) のようにU がニュートリノの混合行列のみで表わされるには 重要な仮定が荷電 レプトンになされているが その重要な仮定とは何かを説明せよ )(8.9) を導き U )(8.) を導け )A)(8.4) を導け B)(8.5) を導け は直交行列であることを示せ 4) に対して (8.) を要請する理由を述べよ 5)(8.) を導け 6)(8.) を導け T T T T 7) + + が -t ( 置換 ) 対称性を破る量であることを説明せよ - - - + + - 8)(8.6) を証明せよ 9)A) 固有値と固有ベクトル (8.7)~(8.9) を求めよ B) と が直交していることを示せ C) Tr ( M ) Tr ( M ) wak が成立していることを示せ ass )A)(8.4) を求めよ - x N N 及び x+ N N を証明せよ ヒント x- < x+ > に注意する B) - )A)(8.45) を求めよ B)(8.46) を求めよ )(8.4) ではなく l l l の時 つまり ( ) ( ) を求めよ ヒント この場合は siq を予言しない )(8.48) を導け 4)(8.55) を導け 5)(8.6) と (8.6) を導け 6)A)(8.6) に置いて何故第 項は無視できる理由を説明せよ B)(8.65) の 通りになる理由を説明せよ C)(8.66) と (8.67) を導け 7)(8.68)~(8.7) を導け 8)A)(8.8) と (8.8) を求めよ B)(8.75) の + + at at の時 q - + の代わりに + を用いた時に (8.8) と (8.8) に対応する結果を導け 9)A) 逆質量階層 ((8.68) と (8.7)) 縮退質量型 ((8.8)) の場合に議論せよ
5/5 平成 9 年 月 4 日午前 時 48 分第八章ニュートリノ質量行列 B) それぞれについて 第 近似の場合での (8.8) に対応する固有値と固有ベクトルを求め ((8.49) と (8.5) を利用せずにもう一度計算すること ) (8.8) や (8.84) のようなニュートリノ混合の特徴を議論せよ