平成 30 年度 前期選抜学力検査問題 数学 ( 2 時間目 45 分 ) 受検番号氏名 注 意 1 問題は, 表と裏にあります 2 答えは, すべて解答欄に記入しなさい 1 次の (1)~(7) の問いに答えなさい (1) -3 (-6+4) を計算しなさい 表合計 2 次の (1)~(6) の問いに答えなさい 合計 (1) 関数 y = x 2 において,x の変域が -2 x 3 のとき, y の変域を求めなさい (1) (2) 比例式 2:7= x:49 の x の値を求めなさい (1) y (2) 次は,5 人の生徒の身長を表したものである 5 人の身長の平均値が 171cm であるとき, a の値と 5 人の身長の中央値を求めなさい (2) x = 164 175 170 172 a ( cm) 2x -6 x -1 (3) - を計算しなさい 3 2 (2) a = 中央値 cm (3) 箱の中に,-3,-2,1,2,3 の数が 1 つずつ書かれた 5 枚のカードがある 箱の中から 2 枚のカードを同時に取り出すとき, 取り出した 2 枚のカードに書かれた数の積が負の数になる確率を求めなさい ただし, どのカードの取り出し方も同様に確からしいものとする (3) -3-2 1 2 3 2x +3y =-1 (4) 連立方程式を解きなさい 5x -4y =9 (3) すい (4) 底面の半径が等しい円柱と円錐がある 円柱の高さが円錐の高さの2 倍であるとき, 円柱の体積は円錐の体積の何倍か, 求めなさい (4) x =,y = (5) 方程式 x 2 +9x -36=0 を解きなさい (4) 倍 円柱 円錐 (5) ABC において, 辺 AC の長さが 4cm, ABC=45, ACB=30 であるとき, ABC の面積を求めなさい (5) x = (6) 48 6-18 を計算しなさい (5) cm 2 (6) 次の図のように ABC がある ABC を, 直線 AC を対称の軸として対称移動させてできる図形を作図しなさい ただし, 作図に用いた線は消さないこと (6) A (7) 504 2-496 2 を計算しなさい (6) B (7) C
3 次の図のように, 平行四辺形 ABCD の対角線の交点を O とし, 点 O を通る直線と辺 AD,BC との交点を, それぞれ点 E,F とする (1),(2) の問いに答えなさい A O E D 裏合計 5 幸太さんは水温 20 の水を温める実験を行い, 考えたことをまとめた (1)~(3) の問いに答えなさい [ 幸太さんのまとめ ] 実験 1 水温 20 の水 3 l を鍋に入れガスコンロで温めました 水を温め始めてから x 分後の水温を y とし, 水温を 1 分ごとに調べて, 表とグラフにまとめました B F C 調べた結果経過した時間と水温 経過した時間 x( 分 ) 水温 y( ) 0 1 2 3 4 5 6 20.0 24.7 29.8 34.9 39.8 44.9 50.0 (1) OE=OF となることを証明しなさい (1) [ 証明 ] (2) O F = F B, B A D = 120, O D C = 34 であるとき, OFC の大きさを求めなさい (2) 4 次の図は, 半径 3cmの円を ルール にしたがって,1 番目に 2 個,2 番目に3 個,3 番目に4 個,, と並べたものである 図の太線は, それぞれの図形の周囲を表す (1)~(3) の問いに答えなさい ただし, 円周率をπとする ルール それぞれの円の中心が一直線上にある とな 隣り合う円の中心の距離が半径と等しい 1 番目 2 番目 3 番目 y( ) 100 80 60 40 C 20 A D E F G B 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x 9 10 ( 分 ) 水を温め始めてから水温が 100 になるまでの時間を予測し ます 調べた結果のグラフの点 A から点 G までの点がほぼ一直 線に並んでいることから y は x の 1 次関数であるとみなし,2 点 (0,20),(6,50) を通る直線の式を考えました y を x の式 で表し, その式の y に ました 実験 2 (1) [ 幸太さんのまとめ ] に合うように, にあてはまる数を書きなさい (1) (2) 実験 1 において水を温め始めてから 10 分後の水温は何 であ ると考えられますか 考えた過程も書きなさい ( 過程 ) を代入して計算すると 16 分となり 水温 20 の水 3 l を, 容量 1 l の電気ケトルで 3 回に分けて 温めました 1 回目は 4 分 30 秒で 100 になりました 100 の水を容器に移し, 空の電気ケトルにあらためて水温 20 の水 1 l を入れて温めたら,2 回目,3 回目は 4 分 15 秒で 100 に なりました 1 回目準備 2 回目準備 3 回目 100 の水を容器に移し, 空の電気ケトルにあらためて水温 20 の水 1 l を入れる時間を準備の時間とします この時間の長さによっては, 電気ケトルで水温 20 の水 3 l を 3 回に分けて 100 にする時間が, 実験 1 で予測した 16 分より短くなりそうです (1) 1 番目の図形の周囲の長さを求めなさい (1) cm (2) (2) 2 番目の図形の周囲の長さは,1 番目の図形の周囲の長さより何cm長いか, 求めなさい (2) cm (3) n 番目の図形の周囲の長さを,n を用いた式で表しなさい 答 (3) 実験 2 において 1 回目と 2 回目,2 回目と 3 回目の間の準備にそれぞれ t 分かかる 準備の時間も含めて電気ケトルで水温 20 の水 3 l を 100 にする時間が 16 分より短くなった この数量の関係を不等式で表しなさい (3) cm (3)
平成 30 年度 数学採点基準 問題配点正答大問小問小問大問 (1) 6 4 点 (2) x =14 4 点 x -9 (3) 4 点 6 1 (4) x =1,y =-1 5 点 (5) x =-12,3 5 点 (6) - 2 5 点 問題配点正答大問小問小問大問 [ 証明 ]( 例 ) OAE と OCF において平行四辺形の対角線は各々の中点で交わるので, OA=OC 1 平行線の錯角は等しいので, OAE= OCF 2 (1) 対頂角は等しいので, 5 点 AOE= COF 3 3 123 より, 1 組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから, OAE OCF 合同な図形は対応する辺が等しいので, OE=OF (2) 52 5 点 10 点 (1) 8π cm 5 点 (7) 8000 5 点 32 点 4 (2) 2π cm 5 点 2 (1) 0 y 9 5 点 a =174 (2) 5 点中央値 172 cm 3 (3) 5 点 5 (4) 6 倍 5 点 (5) 2+2 3 cm 2 5 点 ( 例 ) A (6) B 5 点 (3) 2π( n +3) cm 5 点 15 点 (1) 100 3 点 ( 過程 )( 例 ) 直線の式を y = a x + b とすると, 50-20 a = =5 6-0 y =5x+ b は, 5 (2) 点 (0,20) を通るから, 5 点 b =20 y =5 x +20に,x =10 を代入すると,y =70 答 ( 例 )70 C 30 点 (3) 13+2 t <16 5 点 13 点 合計 100 点
ab ba aa ab nn 1
m m 2
aa a nn 3
4
5
6
7
m n mnmn 8
b b m n mn bmn mn b 9
a a n
b b
平成 30 年度 数学採点基準 問題配点問題配点正答正答大問小問小問大問大問小問小問大問 1-11 2 点 1 ウ 3 点 (1) (1) 2-3 2 点 2 a =-3 4 点 (2) -2 a 2 b 4 点 ア 2 n +2 2 点 (3) 3 4 点 イ 2 n +4 2 点 1 (4) a =-5 4 点 (5) -4 4 点 (1) (6) x =2,3 4 点 点~(15) (7) -6 4 点 (8) a b + =1 4 点 13 18 (9) 3 組 4 点 (10) n =99 4 点 (11) 49 4 点 (12) 28 4 点 (13) 7 cm 4 点 (14) 112π cm 3 4 点 (15) 8 5 cm 4 点 32 2 (2) ( 例 ) 2n+(2n+2)+(2n+4) =6n+6 ウ =6(n+1) n+1 は整数なので, 6(n+1) は 6 の倍数となる ( 例 ) 3 点 (3) 4 点 P l A (4) B ( 過程 )( 例 ) 袋の中の緑色の豆の個数を x 個とし, 比例式で表すと, x :100=27:3 これを方程式にして解くと, 3 x =2700 5 点 x =900 よって, 緑色の豆の個数は, およそ900 個である 答 およそ 900 個 23 点
問題配点正答大問小問小問大問 問題配点正答大問小問小問大問 3 [ 証明 ]( 例 ) ABE と ACD において仮定から, AB=AC 1 ABE= ACD 2 (1) Aは共通 3 1,2,3より, 1 組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから, ABE ACD 4 点 (2) a イ 3 点 b ( 例 ) 対頂角 (3) 4 点 ( 例 ) c 2 組の角がそれぞれ等しい 4 ( 過程 )( 例 ) 買った食パンの袋の数を x, 菓子パンの袋の数を y とすると, 3 x +2 y =27 1 x + y =11 2 1-2 2 3 x +2 y =27 (1) -2 x +2 y =22 5 点 x =5 2 に x =5 を代入すると, 5+ y =11 y =6 答 食パン 5 袋, 菓子パン 6 袋 ABE: ABC= (4) 5 点 16 4:15 点 いえる いえない 1 ( 理由 )( 例 ) 4 点 x の値を決めると, そ (2) れにともなって y の値もただ1つ決まるから, y は x の関数といえる ( 例 ) 2 送り方 Bの方が 5 点 14 172 円安い 点
問題配点正答大問小問小問大問 ( 過程 )( 例 ) 求める直線アの式を y = a x + b とすると, この直線は,2 点 A(3,5),B(6,2) を通るので, 傾きは, a = 2-5 6-3 =-1 (1) したがって, 求める直線の式は,y =- x + b と表すことができる 5 点 この直線は (3,5) を通るから, 5 y =- x + b に x =3,y =5を代入すると,5=-1 3+ b これを解くと,b =8 Ⅰ よって,y =- x +8 答 y =- x +8 Ⅰと(2) 12 cm 2 5 点 Ⅱ5 か(3) 5 点 12 ら( 過程 )( 例 ) 1ア上に x 座標が3である点 Aをとるので, 点 Aの y 座標は, 1 9 問y = x 2 に x =3を代入して, y = 4 4 9 選よって, 点 Aの座標は,(3, ) 4 (1) 9 イは (3, ) を通るから, 5 点択4 9 9 y =- x + b に x =3,y = を代入すると, =-1 3+ b 5 4 4 21 これを解くと,b = 4 21 Ⅱ 答 b = 4 5 1 5 点 18 (2) 合計 100 点 2 9 b <10 5 点 15 点