/ 平成 9 年 3 月 4 日午後 時 37 分第 5 章ローレンツ変換と回転 第 5 章ローレンツ変換と回転 Ⅰ. 回転 第 3 章光速度不変の原理とローレンツ変換 では 時間の遅れをローレンツ変換 t t - x x - t, x 静止静止静止静止 を導いた これを 図の場合に当てはめると t - x x - t t, x t + x x + t t, x (5.) (5.) (5.3) を得る ( 問題 (5.) から 図の状況を考慮して (5.) と (5.3) を導け ) また (5.3) を解けば (5.) が導かれる ( 問題 (5.3) から (5.) を導け ) t 秒目 する人 秒目 t 秒目 静止している人 t [m] x [m] x[m] t 秒目 秒目 t [m] - x [m] t 秒目 x [m] 静止している人する人 ローレンツ変換の (5.) には つの変数 ( t, x ) があるので 行 列の行列表記をすると æ ç ç - ç t ç - - æ æt æt ç ç ç U ç è x ç è x è x ç ç - ç - - è で表される事が分かる ( 問題 3 (5.4) から (5.) を導け ) ここで 行 列の行列を U で表して ある (5.4) で U のそれぞれの成分は 種類しか無く C, S - - で表す事ができ (5.4) (5.5) U æ C -S ç è -S C (5.6) になる ここで (5.5) より C - S を計算すると C - S (5.7)
/ 平成 9 年 3 月 4 日午後 時 37 分第 5 章ローレンツ変換と回転 がわかる さて この式 (5.7) は よく知られている関係式 os + sin C - S (5.8) と比較すると + が - になった式に対応することが分かる そこで 虚数 ( ) いると i i - を用 (-) i C ( is ) C - S C + S C + S + (5.9) である より ìc os í îs isin (5.) にすれば 自動的に C - S を満たすことがわかる ところが (5.5) と (5.) は矛盾するので正 しい表式ではない ( 問題 5 矛盾する理由を述べよ ) ここで 三角関数のオイラーの公式 e i os + i sin より得られる関係式 ( 問題 4 e + e e - e os, sin i e i i -i i -i - を求めよ ): (5.) (5.) を手がかりにして 正しい表式を見つける ( 問題 5 (5.) から (5.) を導け ) C - S を満 たすには (C と S の代わりに C と S と表記する ) - ì e + e C ( C) í e - e S ( S ) î - (5.3) にすれば良いことがわかる ( 問題 6 (5.3) が C - S を満たす事を示せ 問題 6 この表式が (5.5) と矛盾しないことを述べよ ) その結果 (5.3) は C - S を自動的に満たす ことになる つまり e e - C, S e e - + - を用いれば C - S は忘れてよい ことになる 三角関数 (5.) と似た関数 (5.3) の振る舞い図形を書いて調べてみる 三角関数は極座標に現れ x r y r x y r os, sin Þ + 円 (5.4)
3/ 平成 9 年 3 月 4 日午後 時 37 分第 5 章ローレンツ変換と回転 である 一方 これに対比して C と S は x rc y rs x y r, Þ - 双曲線 (5.5) とできる グラフより は 色づけされた箇所の面積が r ( 面積と計算する ) r として導入される ( 問題 7 双曲線の場合( 超難問 ) と円の場合に 図で示される面積が r を 示せ ) 双曲線に関係する事から C, S は 双曲線関数 ( そうきょくせんかんすう :Hyperboli funtion) と呼ばれ C S osh hypaboli osine sinh hypaboli sine と表す 大事な関係式 : osh - sinh を満たす (5.) と (5.3) をまとめると ( ハイパボリックコサイン ) ( ハイパボリックサイン ) i -i i -i e + e e - e os, sin ( os + sin ) i - - e + e e - e osh, sinh osh - sinh を得る 従って ( i ) i ( i ) osh os, sinh - sin ( ) の関係があるので ( 問題 8 (5.9) を証明せよ ) 形式的に 双曲線関数は虚数の回転角 i を持つことになる また tan に対して tanh として sinh æ sin tanh ç Ü tan osh è os と定義される (5.6) (5.7) (5.8) (5.9) (5.) この双曲線関数を用いると (5.6) は U æ osh -sinh ç è -sinh osh (5.) と表せる また (5.5) より
4/ 平成 9 年 3 月 4 日午後 時 37 分第 5 章ローレンツ変換と回転 osh, sinh 従って (5.) より æ sinh tanh ç è osh を得る (5.4) をまとめると æt æt æt æt ç U ç U è x ç ç è x è x è x (5.) (5.3) (5.4) U æ osh -sinh ç è -sinh osh (5.5) であり 速度 は 角度 と tanh で結びついている ローレンツ変換 :(5.) は ü t - x ì osh t t osh - xsinh - - ý Ü í x - t x - t sinh x x osh - t sinh - î þ (5.6) (5.7) と表記される U で表される行列で引き起こされる ( 虚数回転角をもつ ) 回転をローレンツ回転 という しばしば b g - b ( tanh ), ( osh ) という表記を用いる また (5.7) より ( t ) - x ( t ) - x ( 一定 ) (5.8) (5.9) が成り立つ事がわかる ( 静止 ) 質量 Ⅱ. 素粒子のエネルギーと運動量 m の素粒子のエネルギー と運動量 :( x, y, z ) p p p p の間には アインシュタインの 関係式 : 4 p : ( ) - m 光速度 (5.3)
5/ 平成 9 年 3 月 4 日午後 時 37 分第 5 章ローレンツ変換と回転 がある ニュートン力学では運動量 p と速度 : ( x, y, z ) は p m (5.3) の関係で結ばれている 光速近くの速度では どのように変更されるであろうか?(5.3) を用いて p に変更される事を示す (5.3) と (5.3) より (5.3) m æ + + ç b Ü x y z (5.33) - b è を得る b について解くと b æ p ç è (5.34) を得るので 3 次元速度 : ( x, y, z ) p が と表せることがわかる 従って 運動量は (5.3) で与えた p である 速度が小さいとき ( ) には (5.33) より m Þ p m (5.35) (5.36) (5.37) になり ニュートンの運動量 (5.3) と一致する そこで 特殊論でも p を 運動量の 形式 質量 速度 で表すと (5.33) を用いて m - p m - を得る 以上から 素粒子のエネルギーと運動量として (5.38) ì m m m - æ ç m p Ü í m ç - ç p m ç x + y + z - î è (5.39) を得る 第 章光子とニュートン力学 -Ⅱ. エネルギー 運動量 質量の (.43) と (.47) のベク トルによる拡張になっている
6/ 平成 9 年 3 月 4 日午後 時 37 分第 5 章ローレンツ変換と回転 Ⅲ. 素粒子と慣性系 さて 同じ素粒子を観測して異なるエネルギーと運動量 (, ) p を得たとき (5.3) と同じ関係 : - p m 4 をえる 素粒子が x 方向にのみ動いているとすれば ( p ) ( p ) p :,,, p :,, となるので - p - p (5.4) (5.4) (5.4) を得る この表式を (5.9): ( ) ( ) t - x t - x と比較して t Þ (5.43) x Þ p に対応することがわかる 従って (5.7) のようなローレンツ変換を得ることができる どのようにローレンツ変換を得ることができるか見てみる 簡単のため 図のように 静止している素粒子を観測 :( m,) 速度 でしている素粒子を観測 :(, p) したとき (5.): t t - x x - t, x 静止静止静止静止 に対応して (5.43) を考慮すると 観測する人 静止中 m p (, p) with (,) (5.44) ì t Þ ì t Þ 静止 í, í î x静止 Þ p静止 î x Þ p の対応により 静止静止 - p p -, p 静止静止静止静止 である 間違いの議論 単純に静止している素粒子と でしている素粒子に適用して (5.45) (5.46) ì m p 静止 í î, p p, 静止 (5.47) と (5.46) より
7/ 平成 9 年 3 月 4 日午後 時 37 分第 5 章ローレンツ変換と回転 ì - p 静止静止 m Þ - - í p - - m 静止静止 -m -m p Þ p p - - î となり m -m, p を得ることができる ところが p を計算すると p - (5.48) (5.49) (5.5) となり (5.4) を用いた (5.35) の結果の p 正しいローレンツ変換を得るには と矛盾する 正しい議論 : 慣性系 比較するのが つの慣性系 ( 人の観測者 ) ということに気がつかないといけない 従って 観測者が 人で速度の違う同じ素粒子を観測 していた状況から 静止している観測者が 速度 で動いている素粒子 を観測する 速度 で ( 素粒子と共に ) する観測者が 同じ 速度 でする素粒子を観測する ( 静止して見える ) という状況に見直す必要がある ( 問題 9 このとき 素粒子は加速度をもってはいけないが 何 故か?) この場合 (5.47) と違って 速度でする観測者 静止している観測者 静止中 ( m,) (, p) ì 静止, p静止 p 静止している観測者 í î m, p している観測者 (5.5) になる事がわかる 従って - p - p 静止静止 m Þ - - p静止 - 静止 p - p Þ Þ p - - (5.5) (5.53)
8/ 平成 9 年 3 月 4 日午後 時 37 分第 5 章ローレンツ変換と回転 を得る (5.53) から 正しく p より が導かれ 更に (5.5) より æ p æ æ - p ç - ç - ç - è è è - m m - を得る 運動量は m p m - - (5.54) (5.55) (5.56) と表せる 運動量のローレンツ変換 (5.46) は 運動量のローレンツ変換として表す事が多く p p - -, p (5.57) になる 従って æ,, ç, p è ( t x) の組が 同じローレンツ変換を受けることがわかる Ⅳ. 速度の合成 (5.58)??? 速度 でする物体から速度 の球を投げるとき 静止している人から見た球の速度 は + (5.59) である これが正しくない事は 光速度不変の原理 に反する事からも分かる ( 問題 何 故 反するか説明せよ ) 特殊性理論では 物体の速度 は ローレンツ回転の角度 : tanh (5.6) で与えられている ここで (5.5) のU を速度 による違いを明記するため U ( ) とすると U ( ) æ osh -sinh ç è -sinh osh (5.6) である この U ( ) を用いると (5.59) に対応して
9/ 平成 9 年 3 月 4 日午後 時 37 分第 5 章ローレンツ変換と回転 æt æ t ç U ( ) ç Ü tanh è x è x 速度 で動く物体上の人静止している人 速度 で動く物体上の人に対して速度 で動く物体速度 で動く物体上の人 æt æ t ç U ( ) ç Ü tanh è x è x (5.6) (5.63) で表される 従って (5.6) と (5.63) より 静止している人から見ると 速度 で動く物体上の人に対して速度 で動く物体速度 で動く物体上の人静止している人 æ t æt t U ( ) æ ç ç U ( ) U ( ) ç è x è x è x (5.64) になるので 静止している人から見た速度 ある U ( ) U ( ) を計算すると の物体の速度は U ( ) U ( ) から与えられるはずで U ( ) U ( ) æ osh -sinh æ osh -sinh ç ç -sinh osh -sinh osh è è æ ( ) ( + ) - sinh ( + ) sinh ( ) osh ( ) ( ) osh osh + sinh sinh - sinh osh + sinh osh ç - sinh osh + sinh osh osh osh + sinh sinh è æ osh ç è - + + (5.65) を得る ( 問題 sinh ( + ) sinh osh + sinh osh ( ) osh + osh osh + sinh sinh を示せ ) 従って 速度 で動く物体上の人に対して速度 で動く物体静止している人 æt æ osh ( + ) - sinh ( + ) æ t ç ç x sinh ( ) osh ( ç è è - + + ) è x を得るので 合成速度 は (5.6) より tanh ( ) + で与えられる事が分かる ここで tanh ( ) tanh なので tanh + tanh + + tanh tanh ( ) tanh, tanh + を tanh, tanh で表すことができ (5.66) (5.67) (5.68) (5.69)
/ 平成 9 年 3 月 4 日午後 時 37 分第 5 章ローレンツ変換と回転 を用いると ( 問題 sinh ( + ) sinh osh + sinh osh ( ) osh + osh osh + sinh sinh より tanh ( + ) を求め (5.68) を示せ ) (5.67) と (5.69) より直ちに速度の合成則 + + (5.7) が得られる ( 問題 3 (5.7) を求めよ ), のときには (5.59) がほぼ成り立つ事が分かる また のときには (5.7) がわかる ( 問題 4 (5.7) は性理論で何を意味するか具体的に説明せよ が光速度にな る は適切な答えではない ) 例 右図の様に 静止系でつの物体 と がそれぞれ速さ と で近づいてくるときに その速度 ( 下側の図 ) が (5.7) で - 計算される つまり から見た の速度は 符号を含 めて通常は のように -( + ) ( + ) - と思うのだが 正しくは 速度でする物体 - である + - + 静止している観測者 次に 地球から見て と がそれぞれ速さ と で遠ざかるとき から見た の速度 は + + - + 同様に になる +