( 50 分 ) 次の各問いに答えなさい 0 () を計算しなさい - 9 2 0-2 2-0 2-9 0 (2) 星子さんは, 家からA 地点とB 地点を通ってC 地点まで, 自転車で行きました 家からA 地点までは km,a 地点からB 地点までは 5km,B 地点からC 地点までは 8km の道のりで, それぞれの区間を時速 km, 時速 2km, 時速 6km で走りまし もど た 帰りは同じ道を一定の速さで戻ったところ, 行きにかかった時間と同じ時間で 家に着きました 帰りの速さを求めなさい () ある店がたくさんのリンゴを仕入れました 日目は 個 50 円で売ったところ, 仕入れたリンゴのちょうどが売れました 2 日目は 個 円で売ったところ, 残ったリンゴのが売れました 日目は 個 00 円で売ったところ, 残っていた 4 リンゴはすべて売れ, 日間の売上金の合計は 4400 円でした この店は何個のリンゴを仕入れましたか (4) 右の図で四角形 ABCDは正方形で, 三角形 CDFは正三角形です このとき, あの角の大きさを求めなさい A F あ E D B C のうど (5) 濃度が 5 % の食塩水に食塩 g と水を加えてよくかき混ぜ, 濃度が 9 % の食塩水 450g を作りました 濃度が 5 % の食塩の重さと, 加えた水の重さを求めなさい --
せんぶ (6) 右の図の斜線部分の面積の和を, 円周率.4 として計算し, 答えは四捨五入して, 上から けたのがい数で求めなさい cm 45 cm (7) 机の上に立体が置かれていて, 下の図 ( ア ) はその立体の見取図です 下の図 ( イ ) はその立体の展開図ですが, 折り目となる線は入っていません また, 斜線の部分は 机と接していた面の位置を表しています ぬ 図 ( ア ) の黒く塗られた つの面は展開図のどの位置になりますか その面の位置を 解答用紙の図に 印を つ入れて答えなさい 図 ( ア ) 図 ( イ ) (8) 右の図は, 正方形を 9 個組み合わせて, つの大きな長方形 ABCD を作ったもので, 辺 BCは辺 ABより 0cm 長くなっています A あ い D ( ア ) あの正方形の 辺の長さを求め なさい ( イ ) いの正方形の 辺の長さを求めなさい B C -2-
2 直方体の形をした水そうが, 下の図 のように高さ cm の仕切板によって左側とじやぐち右側に分けられています 水そうの両側には蛇口があり,2 つの蛇口からは一定の割 合で同じ量の水を注ぐことができます 図 の左側の蛇口を開けて, 水の深さが 0cm になるまで水を入れたところ, 水を入れ始めてからの時間と, 左側の水の深さが図 2のようになりました (cm) 0 0 0 0 0 ( 単位は cm) 0 2 28 42 ( 分 ) 図 図 2 から () 水そうが空の状態から, 右側の蛇口だけを開けて水の深さが 0cm になるまで水 を入れたとき, 左側に水が入っていない時間と, 右側の水の深さが変わらない時間はそれぞれ何分間ですか (2) 水そうが空の状態から,2 つの蛇口を同時に開けて, 水を入れ始めました ( ア ) 左側の水の深さが cm になったとき, 右側の水の深さは何 cm ですか ( イ ) 右側の水の深さが cm になるのは, 水を入れ始めてから何分後ですか ( ウ ) 水の深さが 0cm になるのは, 水を入れ始めてから何分後ですか --
右の図のように, 周が 60cm の正方形 の形をした公園があり, その周りには道路 があります また, 公園の角の C 地点と D ま 地点を結ぶ道路は, 真っ直ぐにのびていて, す かど B A 公園 その道路上にP 地点とQ 地点があります きより PとCの間の距離と,DとQの間の距離は, P C D ともに 55m です 明子さんは秒速 4m で, 公園の周りを A 地点,B 地点,C 地点,D 地点の順に繰り返 し回ります また, 星男君は秒速 5m で, 図のP 地点とQ 地点の間を往復します いま, 明子さんと星男君は, それぞれA 地点,P 地点を同時に出発しました () 明子さんと星男君が, 出発後それぞれA 地点,P 地点に初めて同時に来るのは,2 人が出発してから何秒後ですか (2) 星男君がC 地点を通過するときに, 明子さんがBとCの間の道路を走っている場合があります そのときの, 明子さんと星男君の間の距離を求めなさい () 明子さんと星男君が初めて出会うのは, 出発してから何秒後ですか く Q -4-
4 次の文章を読んで, アからカを適切にうめなさい A さん,B さん,C さん,D さん,E さんの 5 人がクリスマスプレゼントをそれぞ れ 個ずつ用意し,A さんの家に集まってクリスマスパーティーをしました A さん てぶくろ は手袋,B さんはマフラー,C さんはクッキー,D さんはイチゴ,E さんはチョコ レートとプレゼントとして持ってきました つ だれ プレゼントはそれぞれ同じ箱に詰め, 誰が何をもらえるか分からないようにしてプレ ゼント交換をしました 交換後に 5 人は, 他の人に見えないようにして箱を開け, 全員が, もらったプレゼントは自分が用意したものではないことを確認しました そして, 次のように言いました Aさん Bさん Cさん Dさん Eさん 私がもらったのはお菓子だったよ 私の好きな食べ物だったから満足しているわ 私も欲しいものだった 今度, 身に着けて遊びに行こうかな 私がもらったのはAさんからのプレゼントじゃないよ 私も好きな食べ物だったよ すると, これを聞いていたAさんのお母さんが次のように言いました お母さん Cさんは ア,Dさんは イ をもらったでしょう Cさん その通りです Dさん 私も, その通りです では, 残りの 人が何をもらったのかも分かりま すか お母さん 自分がもらったプレゼントは知っているから, 残りの 人の中に, 自分 以外の 2 人が何をもらったか分かる人がいるかもしれない このことを聞いた後, ウ さんと A さんが同時に 他の 2 人が何をもらったか分かった といいました お母さんはそれを聞いて, お母さん Aはエを,Bさんはオを,Eさんはカをもらったね と言いました A さん,B さん,E さん その通りです -5-
5 ある店で買い物をすると, 現金で払った金額の 5 % がポイントとしてもらえます ただし, 金額の 5 % が小数になるときは, 小数点以下を切り捨ててポイントとします このポイントは次の日から ポイント 円として使うことができます 星子さんは, この店のポイントを 850 ポイント持っていました ある日, 星子さんが 9800 円のデジタルカメラと 050 円のカメラケースを買いに行ったところ,2 日後にすべてのポイントが使えなくなることを知りました そこで, その日はデジタルカメラだけを買い, 次の日にポイントだけでカメラケースを買い, ポイントを使い切ることを考えました このとき, 次の問いに答えなさい ただし, 消費税は考えないものとします () デジタルカメラを買うときに, ポイントを使わずに買ったときと, ポイントだけ使って買ったとき, 次回から使えるポイントはそれぞれ何ポイントになりますか (2) デジタルカメラを買うときに, 使うポイントを, 2,, と増やしていくことを考えます このとき, 現金で払った金額の 5 % が, 初めて小数点以下が切り捨てにならずにポイントとしてもらえるのは, 何ポイント使うときですか () 次の日にポイントだけでカメラケースを買い, ポイントを使い切るためには, 星子さんは何ポイントを使ってデジタルカメラを買えばよいですか -6-
() = = 0-9 2 0-2 2-0 2-9 0 0 2 です 2 0 = 0 2 2 0 (2) 家からC 地点まで, 行きにかかる時間は + 5 2 + 8 6 5 9 25 = + + = + 時間で, 帰りも同じ 2 2 60 60 + 0 60 = 64 60 = 6 5 また, 家からC 地点までの道のりは + 5 + 8 = 6km なので, 帰りの速さは 6 6 5 =6 = 5km/ 時, つまり 5 6 時速 5km です () 仕入れたリンゴの個数を とすると, 日目に売った個数は,2 日目に売った個数は -, 4 = 2 4 = 6 日目に売った個数は - となるので, + 6 =- 2 = 2 日目,2 日目, 日目の売り上げ金額の比は 50 : 6 :00 2 = 50: : 50 = 5: 2: 5 日間の売り上げの合計が 4400 円なので, 5 5 日目の売り上げ金額は 4400 =4400 = 6000 円 5+2+5 2 よって, 日目に売った個数は 6000 50 = 40 個となり, これは仕入れた個数 の したがって, 仕入れた個数は, 40 = 40 = 個です (4) 右図で, CDFは正方形と辺を共有する正三角形なので,DA=DF よって, ADFは二等辺三角形で, 角 ADF = 90-60 = 0 なので, 角 DAF=(80-0) 2 = 75 また, 角 DAE= 90-60 = 0 なので, 角 あ = 角 DAF- 角 DAE= 75-0 = 45 度です -7- A B 0 0 あ F E D C
(5) できあがった濃度が 9 % の食塩水 450g に含まれる食塩の重さは 450 0.09 = 40.5g よって, もとの濃度 5 % の食塩水に含まれる食塩の重さは 40.5 - = 7.5g なので, もとの濃度 5 % の食塩水の重さは 7.5 0.05 = 50g したがって, 加えた水の重さは 450 -(50 + )= 450-8 = 267g です つまり, 濃度 5 % の食塩水 :50g, 水 :267g です (6) 右図で, 大きい直角二等辺三角形内の白い部分の面積は 45.4 -.5 2 60 = 9.4 =.525-2.25 8 -.5.5 =.2825cm 2 となるので, 斜線部部の面積は 2 -.2825 = 4.5 -.2825 =.275cm 2 となるので, 上から けたのがい数に直すと.22cm 2 です (7) 見取図の立体の頂点を右図のように A~T とすると, 展開図の頂点は右下図のようになる 展開図で, 正方形 PIJK,NKLM, TQRS を探して をつけると右下図のようになります I A Q P H cm 45.5cm cm T S R O N M K L J G F E C D B T S cm O N M N S T O G F E M N K R Q P H C D L K K P A B C K P I J B J I -8-
(8) 9 + ( ア ) あの正方形の 辺の長さを, いの正方形の 辺の長さを とすると, 各部分の長さは右図のようになる 右図で,AB= 4 + と BC= 4 + 5 の差, つまり, 5 - = 2 が 0cm 4 + A 2 + 2 2 + 2 2 あ 2 2 2 + 2 い D を表すので, = 0 2 = 5cm B C よって, あの正方形の 辺の長さは 4 + 5 5cm です ( イ ) 右上図で,AD=BCより, 9 + = 4 + 5 なので, 9-4 = 5 - より, 5 = 4 よって,( ア ) より, 5 = 5 4 = cm なので, = 5 = 4cm つまり, いの正方形の 辺の長さは 4cm です 2 () / 分 / 分 (cm) 0 0 / 分,4 分体積 4 / 分,2 分 / 分,6 分 0 0 体積 2 体積 6 ( 単位はcm) 0 0 2 分 2 6 分 28 4 分 42 ( 分 ) それぞれの蛇口から出る水量を毎分 とすると, グラフから, 水そうの各部がいっぱいになるのにかかる時間と体積 ( 容積 ) は上図のようになる よって, 右側の蛇口だけ開けたとき, 左側に水が入っていない時間は 6 分間, 右側の深さが変わらない時間は 2 分間です (2) 空の状態から,2 つの蛇口を同時に開けたとき, 上図から ( ア ) 左側の水の深さが cm になるのは,2 分後なので, このとき, 右側の水量は 2 = 2 右側全体の体積が 6 なので, 右側の深さは 2 = 5cm 6 です ( イ ) 右側の水の深さが cm になるとき, 両側に入っている水量の和は -9-
2 + 6 = 28 なので,28 ( + )= 4 分後です ( ウ ) 水の深さが 0cm になるとき, 全体に入っている水量は 28 + 4 = 42 なので,42 ( + )= 2 分後です B明子 4m/ 秒 A () 明子さんがA 地点に来るのは, 出発してから 公園 60 4 = 40 秒ごと 40m また, 正方形 ABCDの 辺の長さは 60 4 = 40m なので, PQの往復の距離は P 55m C 40m D 55m (55 + 40 + 55) 2 = 00m なので, 星男 5m/ 秒 星男君がP 地点に来るのは出発してから 00 5 = 60 秒ごと よって, 初めて同時に, 明子さんがA 地点, 星男君がP 地点に来るのは 40 秒と 60 秒の最小公倍数から, 秒後 です Q (2) () より,2 人の進む様子は出発してから 0 ~ 秒の様子を繰り返すので, 0 ~ 秒で調べる この間, 星男君はPQを 60 = 2 往復するので,C 地点を通過するのは 4 回 回目 出発してから 55 5 = 秒後で, このとき明子さんは 4 = 44m = 40m + 4m 進んでいて,BC 上にいるので適する また,2 人の間の距離は 40-4 = 6m となる 2 回目 (00-55) 5 = 245 5 = 49 秒後で, このとき明子さんは 4 49 = 96m = 60 + 6m 進んでいて,AB 上にいるので不適当 回目 + 60 = 7 秒後で, このとき明子さんは 4 7 = 284m = 60m 2-6m 進んでいて,DA 上にいるので不適当 4 回目 49 + 60 = 09 秒後で, このとき明子さんは 4 09 = 46m = 60m 2 + 40m 2 + 6m 進んでいて, CD 上にいるので不適当 以上の結果から, 求める 2 人の間の距離は上の 回目より,6m です () 明子さんと星男君が出会うのはCD 上なので, 可能性があるのは (2) より, 4 回目の直前 (2) の 4 回目は 2 人が出会ってから 2 人の間の距離が 6m になっているので, 出会ったのは (2) の 4 回目の 6 (4 + 5)= 4 秒前 つまり, 出発してから 09-4 = 05 秒後です 4 もらったプレゼントは自分が用意したものではないので,5 人の言葉から, A さんがもらったのは C のクッキー か E のチョコ B さんがもらったのは C のクッキー か D のイチゴ か E のチョコ C さんがもらったのは A の手袋 か B のマフラー D さんがもらったのは B のマフラー か C のクッキー か E のチョコ E さんがもらったのは C のクッキー か D のイチゴ となるので, A の手袋 をもらった可能性があるのは C さんだけ よって,C さんが A の手袋 もらったことになるので, B のマフラー をもらっ -0-
た可能性があるのは D だけ つまり, C さんがもらったのは 手袋,D さんがもらったのは マフラー ア, イ です よって,A,B,E さんがもらったのは クッキー か イチゴ か チョコ A さんは自分がもらったプレゼントから, 残りの 人のうち自分以外の 2 人が何をもらったか分かるので,A さんがもらったのは クッキー で, このことから E さんがもらったのは イチゴ,B さんがもらったのは チョコ また,B さんも自分がもらったプレゼントが チョコ であれば,Aさんが クッキー, Eさんが イチゴ をもらったことがわかる ところが,Eさんは イチゴ をもらっていても,Aさん,Bさんが クッキー か チョコ のどちらをもらったのか分からない よって, 残り 人のうち他の 2 人が何をもらったか分かるのは AさんとBさん ウです したがって,A,B,E さんがもらったプレゼントは A さんはクッキー エ,B さんはチョコレート オ,E さんはイチゴ カ です 5 () デジタルカメラを買ったとき, 次回から使えるポイントは, デジタルカメラを買うとき, ポイントを使わないと 850 + 9800 0.05 = 850 + 490 = 40 ポイント, ポイント使うと (850 - )+(9800 - ) 0.05 = 849 + 489.95 = 8.95 ( ア ) の小数点以下を切り捨てて, 8 ポイントです (2) デジタルカメラを買うときに, ポイント使ったとすると, 新たにもらえるポイントは, (9800 - ) 0.05 = 9800 0.05-0.05 = 490-0.05 ( ポイント ) よって, もらえるポイントが初めて, 切り捨てにならないのは 0.05 が初めて整数になるときで, 0.05 = なので, = のとき つまり, ポイント使ったときです () デジタルカメラを買うことで,050-850 = 0 ポイント増えればよい () と ( ア ) より, デジタルカメラを買うとき ポイントを使わないで買うと買った 後のポイントは 40-850 = 490 ポイント増え, ポイント使うごとに買った後 のポイントは 40-8.95 =.05 ポイント減る よって, ポイント使って買ったとすると 490 -.05 の小数点以下を切り捨てて 0 となればよい つまり,.05 が,490-0 = 290 以下で,289 より大きくなればよい ( イ ).05 = 290 とすると, = 290.05 = 276. ( ウ ),.05 = 289 とすると, = 289.05 = 275.2 ( エ ) となるので, ( イ ),( ウ ),( エ ) から = 276 したがって, デジタルカメラを買うとき使うポイントは 276 ポイント です --
() (2) 時速 5km () 個 (4)45 度 (5) 濃度 5 % の食塩水 :50g, 水 :267g (7) (8)( ア )5cm ( イ )4cm 2 () 左側に水が入っていない時間 :6 分間, 右側の水の深さが変わらない時間 :2 分間 (2)( ア )5cm ( イ )4 分後 ( ウ )2 分後 () 秒後 (2)6m ()05 秒後 4 ア : 手袋, イ : マフラー, ウ :B, エ : クッキー, オ : チョコレート,: イチゴ 5 () ポイントを使わずに買ったとき :40 ポイント, ポイントだけ使って買ったとき :8 ポイント (2) ポイント ()276 ポイント -2-