行列 (Mtri) と行列式 (Determinnt). 行列 (Mtri) の演算. 和 差 積.. 行列とは.. 行列の和差 ( 加減算 ).. 行列の積 ( 乗算 ). 転置行列 対称行列 正方行列. 単位行列. 行列式 (Determinnt) と逆行列. 行列式. 逆行列. 多元一次連立方程式のコンピュータによる解法. コンピュータによる逆行列の計算.. 定数項の異なる複数の方程式.. 逆行列の計算 Copright (c) 6 宮田明則技術士事務所
. 行列の演算. 和 差 積.. 行列とは 行列とは 数値を縦 m 行 横 n 列の 長方形状に配置したものをいう mn は正整数 例. 行 列の行列 例. 行 列の行列 例. 行 列の行列 C ( 別名 : ベクトル ) c c C c c ± F ( 応用 ) 例. 行 列の行列 D( 別名 : 横ベクトル ) D [ d d d ] d.. 行列の和 差 ( 加算 減算 ) 行数どうし及び列数どうしが等しい二つの行列は加減算ができ 結果は要素ごとの加減算である ( 定義 ) 例. F F ならば F すなわち Fの各要素はすべて等しい すなわち ij ij である Copright (c) 6 宮田明則技術士事務所
例. C C C のとき.. 行列の積 ( 乗算 掛け算 ) ある行列 の列数と別の行列 の行数が等しいとき この二つの行列は掛け算ができ 結果の行列 C の i 行 j 列要素 c ij は の i 行と の j 列との積和である ( 定義 ) が m 行 k 列 が k 行 n 列のとき C は m 行 n 列となる 一般に と は違う 例. 行 列 行 列 行 列 C C k k k k k k k k k k k k ( 行 列 ) Copright (c) 6 宮田明則技術士事務所
Copright (c) 6 宮田明則技術士事務所 例. 行 列 行 列 行 列 C C のとき 例. 多元連立一次方程式 () 方程式があるとする たとえば 次のような 元連立一次 定数項行列係数行列る とそれぞれ 行 列と 行 列の行列になこの左辺の係数と右辺の定数項に着目する であることがわかる と書き表すと ここで が成立していることがわかる で となり を実行して見ると 実際
. 転置行列 対称行列 正方行列ある行列の行と列を入れ替えてできる行列を転置行列といい右肩に を付して表す ( ij ) ( ij )( ji ) 転置行列と元の行列が等しいとき その行列を対称行列という {( ji ) ( ij )} 行数と列数が同じ行列を正方行列という 転置行列の例 転置行列 は [ ] のとき 転置行列の例. スカラー積 u u v v w とすると [ ] w u v w これは ベクトルとベクトルのスカラー積に等しい ベクトル 参照 [ ] 対称行列の例正方行列 ( 行数 列数 ) でもある c d のとき転置行列 は c d c d は対称行列である c d を主対角要素という Dig. と表すこともある Copright (c) 6 宮田明則技術士事務所
. 単位行列主対角要素がすべて で 他の要素が である正方行列を単位行列といい で表す 行数 ( 列数 ) を n とするとき n と書くこともあるが自明の場合または不定の場合は単に と表現する ある行列に単位行列を掛けても元の行列と同じである ( ある数に を掛けても変らないのと類似的である すなわち は数値では に相当する ) 単位行列の例 ( 確かめてください) のとき. 行列式 (Determinnt) と逆行列. 行列式正方行列 に対応して 行列式 と呼ばれる 個の数値 ( スカラー ) が存在する [] のとき のとき のとき 一般に n行 n列の行列 の行列式 は lm n n lm を lm の余因子または余因数という が でないとき は 正則である という ik ik ki ki i l m ( の l 行とm 列を除く小行列式 ) は任意の行列番号 Copright (c) 6 宮田明則技術士事務所 6
Copright (c) 6 宮田明則技術士事務所 7 行列式の例 単位行列の行列式は 行列式の例 て展開すると計算は楽になる の多い行又は列についしても同じである このように どの行あるいは列について展開第列で展開行で展開第第行で展開 8. 逆行列正方行列 に対応して 逆行列 と呼ばれる行列 ( - と表記 ) が存在する - [] のとき - [ ] ( 注意 ) のとき逆行列は存在しない ij を用いて のとき 余因子 も同様 状態にあることに注意余因子の添字が転置ののとき > n すなわち を掛けて のとき 両辺に多元連立一次方程式の求解逆行列の利用逆行列の性質
Copright (c) 6 宮田明則技術士事務所 8 8 ) ( ) ( のとき 7 8 の各要素は.7.7....7 7 8 多元連立一次方程式を解く例が得られた すなわち から...7 6.7 6.7.7....7. 多元一次連立方程式のコンピュータによる解法.. 直接法 ガウスの消去法 ( 掃き出し法 ) () も同様を導く方法 な式の変換を繰り返して が変化しないような等価のとき として > n
からを求めるには 第 行の から 第 行の にを代入して が得られる つぎに を第 行に代入して が得られる () 式を導く方法 の形を上三角行列という 連立方程式を元の式の形で表すと ) () c ここで とする もし なら の中で絶対値が最大のものを選び その行と第 行を入れ替えij i の添字も付替える このとき の添字は不変である を基軸とした変換 ( 掃き出し ) ( 行 列 行 列を消去し にする等価変換 ) ( ) () c () ( c ) Copright (c) 6 宮田明則技術士事務所 次に を基軸とした変換 ( 掃き出し ) を行うと上三角行列化が完成する ( 行 列を消去し にする等価変換 ) 以下 数値例で示す はこの変換によって変らないので のみで示す
Copright (c) 6 宮田明則技術士事務所... ) (.............. から 行に代入して 第から 行に代入して 第行から 第の形にすると を実行行第行第を実行行第行と第行第行第は基軸から出発する のとき によって不変であることもわかる で この変換また 行列式が これから 直ちに 行第行第行第行第行第行第の形にもできる さらに 上三角でも掃き出しを進めて対角行列ここでは 角線上のすべての値を掛け合わせたものになる 行列式も同時に計算できて 上三角行列の主対ガウスの消去法は 掃き出し法 とも呼ばれる ) (.... 8... 8.... ) (.
U 分解法 を U と 上三角行列 U と下三角行列 の積になるように分解し U の形にし まず Y から Y を求めると UY UY から を求めます.. 反復法 から n n nn k k k n ( ) k ( ) k ( ) nk nn はじめに k などの初期値を代入し 上記の計算を反復する 収斂する保証はないがアルゴリズムは簡単である k をすべて計算してから 次の代入に進むのをヤコビ法 常に最新のk を用いるのをガウスザイデル法と呼んでいる k k k 実際に多元連立一次方程式を解く必要性は計算力学 ( 有限要素法や差分法など ) 等で出てくる またその未知数の数も 数万 ~ 数十万に及ぶものもある したがって これを解くのに大きな時間を必要とするので これまでに述べた方法を比較してみると逆行列法は所要時間が長いので中小規模システム向き直接法の U 分解法は大規模システム用としても用いられている 反復法は 収斂の保証がなく余り用いられない 計算回数逆行列法約 8n n 回掃き出し法約 n n 回 ( 名取他 数値計算法 オーム社による ) Copright (c) 6 宮田明則技術士事務所
Copright (c) 6 宮田明則技術士事務所 と求められた が の各列に対応する解これで 各行を左辺の主対角要素で割って 行第行と第行第行第 8... 8 が得られる から出発して に変化している から すなわち に変化することになるが出しを繰り返せば の部分として出発して 掃きの代わりに 右辺ををこれを利用して 左辺式いるのがわかる に変化してが単位行列以上の過程で 最後に 7 ) (.. 逆行列の計算. コンピュータによる逆行列の計算.. の掃き出し法による連立方程式の解法を 何組かの異なる定数項 に対して適用し上三角掃き出しも実施すると 同時に複数の方程式の解が得られる 8.. 6.. 8.... 7....... 7 7 行第行と第行第行第行第行と第行第行第とする.. 定数項の異なる複数の方程式掃き出し法による計算法を紹介する