008 年度冬学期 量子化学 Ⅲ 章量子化学の応用 4.4. 相対論的効果 009 年 月 8 日 担当 : 常田貴夫准教授
相対性理論 A. Einstein 特殊相対論 (905 年 ) 相対性原理: ローレンツ変換に対して物理法則の形は不変 光速度不変 : 互いに等速運動する座標系で光速度は常に一定 ミンコフスキーの4 次元空間座標系 ( 等速系のみ ) 一般相対論 (96 年 ) 等価原理 : 重力と慣性力とは同等 重力方程式の解である計量テンソルをもつリーマン空間座標系 ( 空間各点が慣性系 測地線が質点運動の座標 加速系 OK) ローレンツ変換 (897, 899, 904 年 ) 電磁気学と古典力学との矛盾の解消のため ラーモアとローレンツが提案光速が座標系によらず一定とすると 高速で動く座標系で 点間距離が縮む 慣性系 Sの時空座標 (t, x, y, z) と x 軸に沿って相対速度 vで運動する慣性系 S の時空座標 (t, x, y, z ) との関係性 ( t vx / c ) γ=/( v /c ) / t=t 0 でのつの同時の出来事 ct ct v=c t (x, ct )=(0,) (x, ct)=(γv/c, γ) ) (x, ct )=(,0) v / c (x, ct)=(γ, γv/c) x t ' = ( x vt) x ' = v / c y' = y z' = z 時間依存シュレーディンガー方程式 + + V i + = m x y z t ローレンツ変換に対して不変でない x
相対論の原子に与える影響 水素様原子のs 軌道電子 軌道エネルギー E= Z Z / (Z は核電荷 ) 運動エネルギー T = mv / ビリアル定理 (E= T=V/) より v = Z ( 原子単位 ) 光速 c=37.036 Z 38 で s 軌道電子の速度は光速を越える 存在しない 各軌道への相対論の影響重原子で s 電子が重くなる s 軌道の大きさが収縮 直交性でs 以上のs 軌道も収縮 核電荷がより遮蔽され 高角運動量軌道の大きさが拡大 p 軌道はスピン軌道相互作用でs 軌道と混ざり さほど拡大しない d, f 軌道は拡大し分散 相対論効果の大きさ Z>0 相関エネルギーより大 Z>50 交換 ~3 列 構造や物性に無効果 4 列 構造や物性に少し効く 5, 6 列 再現に必要
ディラック方程式 相対論的シュレーディンガー方程式 =ディラック方程式 P. A. M. Dirac cα p + βmc = i p = i は空間に対して 次 t 導関数なのでローレンツ不変ディラック方程式は4 次 0 σ xyz,, I 0 0 α xyz,, =, β=, I = 波動関数 ψは4 成分 σ xyz,, 0 0 I 0 α arge 成分 0 0 i 0 電子 (α, β) β = σx =, σy =, σz = 0 i 0 0 Sα Small 成分 陽電子 (α, β) Sβ 静止エネルギー 5. 0 5 非相対論的相対論的 ev H の結合 (3.6 ev) はβをβ で置き換えればなくなる連続状態 0 電子状態 0 0 離散状態 β ' = 0 I E mc に陽電子の連続状態が詰まっていると考える -mc 離散状態エネルギー陽 連続状態 陽電子状態
パウリ方程式とスカラー補正 束縛電子のディラック方程式光速 c 極限 =0 c ' mc V α p + β + = E K =, ( σ p )( σ p ) = p p + iσ ( p p ) 成分波動関数 ψ ψ S を使って分解 p V + = E c( σ p) S + V = E m c( ) + ( mc + V 非相対論的シュレーディンガー σ p ) S = ES 方程式 を変形 パウリ方程式 S = ( E+ mc V ) c( σ p ) E V E V K = E V + mc mc + = ( mc ) + c ( σ p ) mc パウリ方程式ダーウィン項 4 Zπδ σ p p p Zs l Z () r K + V + + 3 3 mc m 8m c m c r m c 成分ディラック方程式質量速度スピン- 軌道 = E ( W. Pauli 補正項相互作用項 σ p K σ p + V E) = 0 m 質量速度 +ダーウィン=スカラー補正
一般化運動量演算子 磁場中の非相対論的固有方程式 π π = p A+ A p p A+ A p = i B π = p + A 磁場 B= A 外部磁場がかかったときのベクトルポテンシャル A = B ( G ) r R ゲージ中心 ( ベクトルポテンシャルの中心 ): 通常 質量中心に置く 時間非依存のディラック方程式 m + = c i ( ) V π π+ σ π π + = E m ( σ π ) K ( σ π ) + ( V E ) = 0 π σ B + V + = E m m ゼーマン相互作用項 σ= スピン演算子 s σ B m = s B( 原子単位 ) 実際には 量子場ゆらぎにより σ B ge e hsb g 因子 (.003) = = g e μ BsB m m ボーア磁子 ( 原子単位 /) 相対論的運動エネルギー π = p + p A+ A p + A ( p A) = ia ( ) i( A) A p = B ( r R G ) = B G A = B ( r RG) B r R 4 ( G)
一電子演算子項 二電子演算子項 核 - 電子項 摂動論的な相対論補正項 Zeeman ゼーマン項 : He = g eμb si Bi s i Bi πi i= mc elec mv N = 4 質量速度項 : H e 3 i π 8 mc i= SO geμb スピン 軌道相互作用項 : He = [ s i πi Fi si Fi πi] 4mc i= N elec Darwin ダーウィン項 : He = i F 8 mc i= ( ) ( SO g ) eμ B i ij i i ij j スピン 軌道相互作用項 : Hee = s r p + s r p 3 3 mc i= j i rij r ij s s s r r s SS g e μb i j i ij ij j 8π スピン スピン相互作用項 : Hee = 3 3 5 ( si s j) δ ( rij) c i= j i rij rij 3 OO π ( )( i π πi rij rij π j j) 軌道 軌道相互作用項 : Hee = + 3 4mc i= j i rij r ij Darwin π ダーウィン項 :Hee = δ r ij mc V ( r ) = + i= j i α α Nnuc SO geμ B G. Breit ブライト演算子 ( α r )( α r ) ee r r r i ia i スピン 軌道相互作用項 :H H = s r π ne Z A 3 mc i= A= ria Nnuc PSO N ( μ IA ria pi) 常磁性スピン 軌道相互作用項 : Hne = ga 3 mc i= A= ria SS geμμ B N si IA ( si ria)( ria IA) 8π 核スピン 電子スピン相互作用項 :HHne = 3 ga s 3 5 i IA δ ria c i= j i rij rij 3 Darwin π ダーウィン項 :Hne = Z Aδ ria mc i= j i
4 成分計算法と化学への相対論効果 ディラック フォック法 4 成分単行列式 スピノル による波動関数 ψ 相対論的時間非依存ハートリー フォック方程式 =ディラック フォック方程式 c ' mc V α p + β + = E FC = SCε 陽電子状態を含むので 最安定状態は出せない 変分法が非成立 arge 成分の基底関数 χ とSmall 成分の基底関数 χ S でバランスをとる χs = σ p 運動 ( エネルギー ) large-smallの 電子積分が8 倍 χ c バランス条件 small-smallの が6 倍全体として積分数は5 倍に化学への相対論的効果 相対論的効果を考慮したことによる違い. 電子の速度依存質量による効果 s, p 軌道を収縮 d, f 軌道を拡張. 電子スピンによるハミルトニアン演算子への新しい ( 磁気的 ) 相互作用 スピン 軌道相互作用によるスピン軌道モデル (α β) の崩壊 3. 陽電子状態の導入による効果 波動関数に small 成分をもたらし 軌道の形を変える 4. 光速の有限性によるポテンシャルの修正 クーロン演算子へのブライト演算子の追加