制御工学 第 8 章 : フィードバック制御系の設計法 8. 設計手順と性能評価キーワード : 設計手順, 性能評価 8. 補償による制御系設計キーワード : ( 比例 ),( 積分 ),( 微分 ) 8.3 進み 遅れ補償による制御系設計キーワード : 遅れ補償, 進み補償 学習目標 : 一般的な制御系設計における手順と制御系の性能評価について学ぶ. ループ整形の考え方を用いて, 遅れ補償, 進み補償による制御系設計を習得する. 8. フィードバック制御系の設計法 8. 設計手順と性能評価 制御系の設計手順 レギュレータ問題 ( 定置制御 ) : 一定の値に保持 ( 制 ) 人工衛星の姿勢制御など サーボ問題 ( 追従制御 ) : 目標値に良好に追従 ( 御 ) 航空機の自動操縦など http://ed.jaxa.jp/materialb/lit.php? categrytheme&nde_id http://paceinf.jaxa.jp/gallery/ gallery-j/mvie_alflex_j.html 制御系の設計手順 制御目的 [ ステップ] 制御対象の数学的モデルを求める. [ ステップ] 制御目的から, 性能仕様を決める. 制御対象実装現実の世界 モデリング実現 [ ステップ3] 性能仕様を満たすように, を設計する. 性能仕様 数学的モデル 設計 紙の上の世界 ( 広い意味では ) センサ アクチュエータの選択 配置 制御量 操作量の決定 動作環境 拘束条件の分析 など光センサ [ ステップ4] シミュレーションにより, 設計された制御系を評価する. 必要ならば以上のステップを繰り返し設計をやり直す. [ ステップ5] を実装し, ハードウェアを用いてテストする. 3 LEGO タッチセンサ 4 制御系の性能評価 定常特性過渡特性 定常特性 ( 4. ) L ( ( ( e : 定常位置偏差 p : 位置偏差定数 制御系の型 e L () p L() 表 4. 制御系の型と定常偏差 型 型 型 r( t) p v r ( t) t r ( t) t / a r e.5.5 ( d ( e 5 t 5 5 図 4.4 定常位置偏差 y 制御系の性能評価 定常特性過渡特性 時間応答に基づく性能評価周波数応答 過渡特性時間応答に基づく性能評価 ( 3.4 ) 立上り時間 r 遅れ時間 d 行過ぎ時間 p オーバーシュート整定時間 減衰比 A p.9.5 d A 速応性減衰特性 ± %. r t 図 3. 過渡応答と諸特性値 6
制御工学 制御系の性能評価 定常特性時間応答過渡特性に基づく性能評価周波数応答過渡特性時間応答に基づく性能評価 ( 3.3 ) n n: 自然角周波数 次系 ζn n ζ : 減衰係数 ( 次系 ).5.5 ζ ζ. 5 n t 5 図 3.7 次系のステップ応答 n n ζn m ζ θ 速応性減衰特性 n 図 3.8 次系の極の位置 7 制御系の性能評価 定常特性時間応答過渡特性に基づく性能評価周波数応答過渡特性時間応答に基づく性能評価 ( 続き ) ( 3.4 ) m 図 3.9 極の位置とインパルス応答 速応性減衰特性 8 制御系の性能評価定常特性時間応答過渡特性周波数応答 閉ループ伝達関数に基づく性能評価開ループ 閉ループ伝達関数に基づく性能評価 (p.47) () の場合 r y ( ( ( j) バンド幅 bw : 3dB 倍 ピーク r 速応性 M r : M r. ~. 5 ( M r.3) 減衰特性共振周波数 M r bw r 図 8. 閉ループ特性 感度関数 S についても : (< ) M r 3dB 9 制御系の性能評価 定常特性過渡特性 時間応答周波数応答 閉ループ開ループ 開ループ伝達関数に基づく性能評価 (p.48) 安定余裕 [ 余裕 / 余裕 ] [ / ] 交差周波数 ( 速応性 ): 交差周波数 gc gc bw ( M 9 ) ( 減衰特性 ): 余裕 M M in M r 経験的指針追従制御 : M 4 ~ 6, GM db ~ db 定置制御 : M, GM 3dB ~ db 次系の場合 : M ζ 伝達関数に基づく性能評価 M G GM m O 制御系の性能評価 Lview ボード線図ナイキスト線図 ( ベクトル軌跡 ) ステップ応答閉ループ特性極 零点配置 制御の歴史 9 年 936 年 94 年 Minrky :,, 3 項動作の着想 Callender : の原型 Ziegler and Nichl : 制御の調整法の提案 その後の 制御の調整法 949 年 95 年 高橋 95 年 Wlfe Hezebrek and Waerden 95 年 Chien, Hrne and wick 953 年 Chen and Cn 967 年 Lpez, Miller, Smith and Mrrill 荒木光彦, システム / 制御 / 情報, Vl. 5, N., pp. 44-446, 6
制御工学 ( 偏差の ) 比例 (rprtinal) 積分 (ntegral) 微分 (erivative) 制御 8. 補償による制御系設計 補償比例 r e y 積分制御対象 微分 図 8. 補償 補償 ( 比例 ( 定数 ) 定常位置偏差を( 必ずしも ) にできない ( 積分器が必要 : 型 ) 補償 ( ( 積分時間 ) の増大不安定になり得る 3 4 定常特性の改善低周波 : db/dec, 大, で 偏差が残っている限り, これが積分されて操作量に反映される lg ( j) lg ( j) 9 db/dec, 図 8.3 補償のボード線図 [ 例 8. ] 制御対象 補償 ( ( )( ), L ( )( ) 補償 L ( ) 定常偏差 低周波が大きい ( しかし応答は遅い ) 交差周波数が低い [ db ] 4.8 e.6.4.. gc 3 4 5 t [] 図 8.4 開ループとステップ応答 5 補償 ( ( ( 微分時間 ) 過渡特性の改善 偏差が増加 ( 減少 ) しつつあるとき, その先を見越して操作量を大きく ( 小さく ) する [ 注 ] 理想的な微分器は実現困難 ( ' ( / N) ( 3 N ) lg ( j) lg N lg 9 ( j) db/dec N 図 8.5 補償のボード線図 6 補償 ( ( 積分時間 ) ( 微分時間 ) 定常特性と過渡特性を改善 lg ( j) ( j) 9 9 db/dec db/dec N 図 8.6 補償のボード線図 7 [ 例 8. ] 制御対象 ( ( )( ) ( ( )( ) 4.75,.5,. 5.5 L 定常特性 : L() 低周波が大きい 過渡特性 ( 速応性 ): 交差周波数 gc 補償と比べて高い [ db ] 4 4.5 gc 6.8.6.4. 3 4 5 t [] 図 8.7 開ループとステップ応答 8 3
制御工学 [ 例 8. ]( 続き ) 定常特性 : L() 低周波が大きい 過渡特性 ( 速応性 ): 交差周波数 gc gc を大きくする 減衰特性 : 余裕 M M を十分に確保する [ db ] [ ] 4 4 6 9 9.5 gc 8 チューニング ( 調整 ) Ziegler and Nichl (94) () 限界感度法限界, 表 8. 限界感度法.5.45 限界周期..6.5 8 ~ ( 5 4 4 7 4 3 限界: 4 6 8 t 図 7. (b) 閉ループ系のステップ応答 9 () ステップ応答法プロセス応答曲線 次遅れ むだ時間 で近似 ( e L ( 定位プロセス ) R L cf : ( e ( 無定位プロセス ) 減衰比 : 4 ( ひとつの性能仕様 ) システム同定, 適応制御へ L t [] 図 8.8 プロセス反応曲線 表 8. ステップ応答法 RL.9 RL L.3. RL L.5L 傾き R [ 例 ] 限界感度法 ( 3 ( ) [tep] 限界 の設定安定限界のとき, (,) を通過 ( j ) 限界 限界周期 ( j ) (3 ) j (3 ) 8, 3 π 3.63 3 r ( ( 5 5 t [] O y [tep] の設定 表 8. 限界感度法 [tep3] 性能評価 限界 限界周期 8 3.63.6 4.8.5.8 / 8.45 (.5.45..6.5 5 5 t [] 3 8 定常特性 : L() 過渡特性 ( 速応性 ): 交差周波数 gc gc を大きくする 減衰特性 : 低周波が大きい 余裕 M M を十分に確保する [ db ] [ ] 5 5 9 35.4 gc M 3.3 8 4 4
制御工学 感度関数 S( 8.3 進み 遅れ補償による制御系設計 低感度特性 ( パラメータ変動 ) : Δ 外乱抑制 : y Sd 目標値追従 : e Sr 相補感度関数 ( r 目標値追従 : y r ロバスト安定性 : W < 雑音除去 : y n e d ( ( y y SΔ n S( ( ( ( ( ( ( ( 5 拘束 S( ( 周波数帯を分ける 低周波数帯 : S を小さくする高周波数帯 : を小さくする 感度関数 S( j) 同時に に近づけることは出来ない ( j ) 相補感度関数 6 S L より, 低周波域で L を大きく ( L >> ) S : 小 L より, 高周波域で L を小さく ( L << ) L : 小 ( 閉ループ伝達関数から, 開ループ伝達関数へ ) lg L( j) ey int 定常特性 : 低周波 L() を大きくとる 速応性 : 交差周波数 減衰特性 : gc 余裕 M を確保する を高くする [ ] 8 L() L >> gc M L << L >> lg L( j) L << gc [ rad / ] 図 8.9 ループ整形 7 [ 復習 ] 余裕 db 8 M gc GM pc M O [ rad / ] 8 ey int ( 交差周波数付近 ) の傾きが急 ( 4dB / dec 以下 ) gc gc ey int ( 低周波域 ) 開ループ L を大きく 型 4dB / dec 型 db / dec 型 との関係 最小系 好ましくない遅れ db / dec 9 4dB / dec 8 ( 5.4) 不安定 緩やかなの傾き ( db/ dec ) [ ] 8 不安定 M 安定 [ rad / ] 9 偏差定数, v が大 定常偏差 : 小, 目標値 v ステップ状 型 ( を含む ) db / dec ランプ状 型 ( を含む ) 4dB / dec [ ] 8 gc [ rad / ] 3 5
制御工学 ey int ( 高周波域 ) ロール オフ特性 : 4 ~ 6dB/dec 以下 [ ] 8 [ rad / ] gc ey int 定常特性 : ループ整形 低周波 L() を大きくとる 速応性 : 交差周波数 減衰特性 : gc 余裕 M を確保する [ 復習 ] 余裕 db gc GM M を高くする O [ ] 8 L() L >> gc M L << [ rad / ] 3 8 M pc 3 遅れ補償 α( ) ( α 定常特性の改善 lgα ( α > ) ( ) α, ( ) lg ( j) lgα lg ( j) 9 lgα [ 注 ] 遅れ :( 安定性の劣化の原因 ) 折点角周波数 を適切に db / dec α 図 8. 遅れ補償のボード線図 33 遅れ補償と 補償の比較 lgα lg ( j) 9 lg ( j) lgα db / dec α 遅れ補償器 α( ) ( α lg ( j) 9 lg ( j) db / dec α 補償器 α ( ( ) ( 34 gc 遅れ補償の設計手順 [ ステップ] 余裕や交差周波数に着目し, 望ましい過渡応答特性が得られるように補償 を決める. [ ステップ] [ ステップ] の を用いて開ループ伝達関数のボード線図を描き, その低周波を評価する. [ ] 8 [ rad / ] 35 [ ステップ3] 低周波が lgα 上がることを考慮し, 定常特性に関する仕様を満たすようにパラメータの値を定める. [ ステップ4] 遅れにより安定性が劣化しないように, 折点角周波数 を交差周波数より dec 程度下になるように選ぶ. もうひとつの折点角周波数を /( α ) と定める. [ ステップ5] 以上で設計パラメータ,α, が定められたので, 遅れ補償を構成する. 36 α 6
制御工学 [ 例 8.3 ] 制御対象 ( ( )( ) 性能仕様速度偏差定数 ( 定常特性 ) v 余裕 ( 減衰特性 ) M 4 [ ステップ] 余裕や交差周波数に着目し, 望ましい過渡応答特性が得られるように補償 を決める. 交差周波数.8 [rad/ec] gc 余裕 M 47 M 4 を満たす O [ ] 4 9 5 8 M 47 gc.8 [rad / ] 図 8. 遅れ補償と開ループ特性 37 [ ステップ] [ ステップ] の を用いて開ループ伝達関数のボード線図を描き, その低周波を評価する. 開ループ伝達関数 L ( )( ) 速度偏差定数 ' lim L'( v ( ) lim ( )( ) 性能仕様は v 低周波 倍以上必要 [ ] 4 9 5 8 L' gc. 8 M 47 図 8. 遅れ補償と開ループ特性 38 [ ステップ3] 低周波が lgα 上がることを考慮し, 定常特性に関する仕様を満たすようにパラメータの値を定める. 低周波 倍で 速度偏差定数 lg ( j) db / dec lgα lg ( j) 9 α lgα v α [ ] 4 9 5 8 lgα L' gc. 8 M 47 α 39 [ ステップ4] 遅れにより安定性が劣化しないように, 折点角周波数 を交差周波数より dec 程度下になるように選ぶ. もうひとつの折点角周波数を /( α ) と定める. (.) と選べば, 交差周波数 gcより十分に小さい. 折点角周波数.,. α /α / [ ] 8 /α / gc [ rad / ] [ ] 4 9 5 8 L' gc. 8 M 47 4 [ ステップ5] 以上で設計パラメータ,α, が定められたので, 遅れ補償を構成する. 遅れ補償 α( ) ( α, α, ( ) (.. gc 交差周波数 余裕 M 4.8 [ ] /α 4 9 5 8 L' L / gc. 8 M 47 M 4.7 4 [CHEC] 性能仕様速度偏差定数 ( 定常特性 ) v 余裕 ( 減衰特性 ) M 4 L ( ( ( (.) (.)( )( ) v lim L(. O M 4 gc. 8 O ステップ応答, ランプ応答 O y (t) y(t ).5.5 3 t [ ] ステップ応答 t [ ] ランプ応答 4 7
制御工学 進み補償 ( α ( α < ) 過渡特性の改善, 安定化 進み < < α [ 注 ] 高周波 大 lg ( j) lg( / α) lg( / α ) lg ( j) 9 db / dec α φ ノイズ増幅 ロバスト安定性の劣化 が最も進む角周波数 図 8.3 進み補償 α のボード線図 α inφ 進みの最大値 inφ α α inφ 43 8 章演習問題 [4] ベクトル軌跡で見る進み補償 制御対象 ( L ˆ, : 補償 3 Lˆ 大 進み補償余裕を増加させる m 補償のみ 進み補償 m 44 [ ] 8 gc gc M [ rad / ] [ ステップ] 速応性や定常特性に対する仕様が満たされるように, 補償 の値を決める. [ ステップ] [ ステップ] の を用いて開ループ伝達関数 L ˆ( ( のボード線図を描き, その余裕 M を評価する. 与えられた余裕 M とこの M との差 ˆ φ M M が, 必要な進み量となる. これに適当な ( 例えば 5 以上の ) 余裕を考慮し, ( φ ˆ φ 5 以上 ) と定める. inφ α inφ 進み補償の設計手順 [ ステップ3] から, パラメータの値を決める. α 45 46 [ ステップ4] 進み補償では最もが進む角周波数で, が α 倍に上がる. そこで L ˆ ( j) が α ( lg α ) である角周波数を, 補償後の新しい交差周波数 とおく. [ ステップ5] から, パラメータ の値を決める. α このとき進み補償の折点角周波数は, / α, /( α ) / α となる. [ ステップ6] 以上で設計パラメータ,α, が定められたので, ( から, 進み補償を構成する. α 47 [ 例 8.4 ] 制御対象 ( ( )( ) 性能仕様交差周波数 ( 速応性 ) gc 余裕 ( 減衰特性 ) M 4 [ ステップ] 速応性や定常特性に対する仕様が満たされるように, 補償 の値を決める. 補償 5 開ループ伝達関数 5 Lˆ( ( )( ) 交差周波数 ˆ gc. > を満たす O gc [ ] 4 4 9 5 8 M 3.6 図 8.4 開ループ特性 48 Lˆ ˆ. gc 8
制御工学 [ ステップ] [ ステップ] の を用いて開ループ伝達関数 L ˆ( ( のボード線図を描き, その余裕 M を評価する. 与えられた余裕 M とこの M との差 ˆ φ M M が, 必要な進み量となる. これに適当な ( 例えば 5 以上の ) 余裕を考慮し, ( φ ˆ φ 5 以上 ) と定める. 余裕 M 3.6 性能仕様は M 4 ˆ φ M M 4 3.6 6. 4 ( 必要な進み量 ) φ φˆ 36. 4 ( マージン ) [ ] 4 4 9 5 8 M 3.6 Lˆ ˆ gc. 図 8.4 開ループ特性 49 [ ステップ3] から, パラメータの値を決める. inφ α inφ φ α.55 inφ α inφ ( α 36. 4 [ ] 4 4 9 5 8 α M 3.6 Lˆ ˆ gc. 図 8.4 開ループ特性 5 [ ステップ4] 進み補償では最もが進む角周波数で, が α 倍に上がる. そこで L ˆ ( j) が α ( lg α ) である角周波数を, 補償後の新しい交差周波数とおく. Lˆ( j ) α.55 に下がっている. lg ( 後で db に上がる. ) 3. [ ] 8 gc M [ rad / ] [ ] ˆ gc. α 4 lg α 4 9 5 8 M 3.6 図 8.4 開ループ特性 5 Lˆ 3. ˆ. gc [ ステップ5] から, パラメータ の値を決める. α このとき進み補償の折点角周波数は, α 折点角周波数.5, / α,.66 α 3., α. 55 5.94 α /( α ) / [ ] 4 lg α 4 9 5 8 α となる. M 3.6 / /α Lˆ ˆ gc. 図 8.4 開ループ特性 5 [ ステップ 6] 進み補償 ( α 5,α.55,.66.66 ( 5.55.66 9.6(.5) 5.94 gc 交差周波数 余裕 M 38 以上で設計パラメータ,α, が定められたので, ( から, 進み補償を構成する. α 3. L 9 M 38 5 8 M 3.6 / /α [ ] 4 4 ˆ gc. Lˆ 3. 図 8.4 開ループ特性 53 [CHEC] 性能仕様交差周波数 ( 速応性 ) gc 余裕 ( 減衰特性 ) M 4 gc 3.( ) O M 38 O ステップ応答 O.5.5 4 t [ ] 54 9
制御工学 第 8 章 : フィードバック制御系の設計法 8. 設計手順と性能評価キーワード : 設計手順, 性能評価 8. 補償による制御系設計キーワード : ( 比例 ),( 積分 ),( 微分 ) 8.3 進み 遅れ補償による制御系設計キーワード : 遅れ補償, 進み補償 学習目標 : 一般的な制御系設計における手順と制御系の性能評価について学ぶ. ループ整形の考え方を用いて, 遅れ補償, 進み補償による制御系設計を習得する. 55 第 8 章 : フィードバック制御系の設計法 8.3 進み 遅れ補償による制御系設計キーワード : ループ整形学習目標 : ループ整形の考え方を理解する. 次回 56