科目概要 電磁気学 IV 第 1 回講義概要 これまでの復習 科目名 : 電磁気学 IV Electromagnetics IV 学部学科 : 電気電子工学科電子工学コース選択必修単位数 :2 単位担当教員 : 松嶋徹 工学部電気電子工学科松嶋徹 オフィスタイム : 毎週火曜と

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1 科目概要 電磁気学 IV 第 1 回講義概要 これまでの復習 科目名 : 電磁気学 IV Electromgnetics IV 学部学科 : 電気電子工学科電子工学コース選択必修単位数 :2 単位担当教員 : 松嶋徹 工学部電気電子工学科松嶋徹 オフィスタイム : 毎週火曜と金曜 10:00~12:00 オフィス場所 : 総合研究 1 号棟 E2-504 E-mil :mtsushim@ele.kutech.c.jp 研究室にはいますが 学生とミーティングしている場合があります 質問がある場合は あらかじめメールで連絡もらえると確実です 2 授業の目的 ゴール 電磁気学のゴール 偏微分方程式であらわされる電磁波の伝搬 放射がどのようになるかイメージできる能力を養う 簡単な ( 単純な ) 事例について 波動方程式を境界条件により解く方法を学ぶとともに 解を描くことにより電磁界現象に対する理解を深める 授業の位置づけ 電磁気学は電気電子工学に関連する分野における最も基礎的な学問の一つである 例えば 電気回路学は電磁現象を集中素子や分布定数などでモデル化し 表現したもの 電磁気学の知見を理解していれば 電気回路の理解も深まる 電磁気学的な知見を理解し 十分な基礎力をつけることは電気系全般の技術者 研究者にとって必須の要件である 3 電磁気学って何? 電磁気学の応用 電気自動車 ( モーター ) 携帯電話 ( 無線通信 電子デバイス ) 発電 送電 蓄電技術 太陽電池 宇宙太陽光発電 超電導送電 無線電力伝送 様々な家電 電子レンジ スピーカー 電気回路は電磁現象をモデル化したもの よく知られている法則 : オームの法則 常に成り立つのでしょうか? 電気回路が破綻しているような状況では電磁気学に立ち返ることが重要 4 具体的な到達目標 1. 波動方程式より導体や誘電体などの媒質中の平面波の電磁界を求めることができる 電磁波の伝搬 通信ケーブル ( 電気 光 ) 中の伝搬などの理解 2. 平面波が異なる媒質に入射した時の平面波を求めることができる 波の反射や屈折 電波の反射 電波吸収体 3. ベクトルポテンシャル スカラーポテンシャルを用いて電界 磁界を求めることができる 電磁現象の理解 4. 微小波源から放射される電磁界を求めることができる アンテナからの電波放射 5. 差分法などにより静電界 静磁界を計算できる 5 授業のスケジュール 6 月 12 日 ( 第 1 回 ) 電磁気学的な量 一般直交座標におけるベクトル演算 6 月 14 日 ( 第 2 回 ) 時間的に変化がない場 静電界 静磁界 定常電流界 6 月 19 日 ( 第 3 回 ) 定常的な場のシミュレーション 6 月 21 日 ( 第 4 回 ) 電磁波 6 月 26 日 ( 第 5 回 ) スカラーポテンシャルとベクトルポテンシャル 6 月 28 日 ( 第 6 回 ) スカラーポテンシャルとその応用, 鏡像 7 月 3 日 ( 第 7 回 ) 磁界とインダクタンス 7 月 5 日 ( 第 8 回 ) 演習 ( 試験に準じる ) 7 月 10 日 ( 第 9 回 ) 正弦波的に変化する電磁界の波動方程式 7 月 12 日 ( 第 10 回 ) 電磁波の境界条件, 励振波源のモデル, 界の対称性と双対性 7 月 17 日 ( 第 11 回 ) 平面電磁波, 偏波 7 月 19 日 ( 第 12 回 ) 群速度とエネルギー,TE 入射,TM 入射 7 月 24 日 ( 第 13 回 ) 電磁ポテンシャル, 電磁波のモード表示 7 月 26 日 ( 第 14 回 ) グリーン関数, 波源からの電磁波の放射 7 月 31 日 ( 第 15 回 ) まとめ試験 6

2 評価方法 注意事項 教育方法 講義形式 授業中に演習も行う 教科書にある演習問題やその他の課題をレポートとして課す 試験を行う ( 持ち込み不可の予定 ) 評価方法 試験の結果 (80%) 演習及びレポートの内容 (20%) 提出状況も成績評価の対象とする 上記を加味し 60 点以上を合格 ( 単位あり ) とする 履修上の注意事項 本授業を理解するためには 電磁気学 I,II,III に習熟しておくことが必要である 基本的にはテキストをもとに授業を行うので 受講内容の予習とともに これまでに習得した電磁気学の基礎を確認するための復習が必要である 教科書 参考書 教科書 廣田広一 : 続電磁気学ノート, コロナ社, 427/F-5/2 徳丸仁 : 基礎電磁波, 森北出版, 548/T-10 参考書 安達三郎 : 電磁波工学, 549/D-26/F-8 講義資料 PDF 形式の資料を用意します 一部の式や写真 スライドは除外していますので 講義を聴きながらメモをするようにしてください 下記の URL からダウンロードしてください 講義の日の朝 8 時にはアップロードするように心がけます パスワードを設定しています ID: em4 Pssword: 2018em4 7 8 復習教科書 続電磁気学ノート p.3 p.10 ベクトル ベクトル演算マクスウェルの方程式 その変数 9 ベクトルとは n 次元の空間内で大きさだけでなく向きのある量 本講義では3 次元空間のみを議論する i: 方向の単位ベクトル j: 方向の単位ベクトル k: z 方向の単位ベクトル E : Eの 成分 E : Eの 成分 E z : Eのz 成分 矢印の長さ : ベクトルの大きさ矢印の方向 : ベクトルの方向 用語 ベクトル場 : 空間のすべての点でベクトルが定義されている場 空間 ベクトル場を表す方法 矢印で表す ベクトルの向き : 矢印の向きベクトルの大きさ : 矢印の長さ 太さ 力線で表す ベクトルの向き : 力線の接線方向ベクトルの大きさ : 力線の密度 10 ベクトルの表記法 ベクトル ( 向きのある量 ) とスカラー ( 大きさのみ ) を区別 ベクトル場 2 つの円に ±1V を与えた時の電界 ベクトル : 風速 風向, 太字もしくは上に矢印 スカラー : 気温 試験やレポートでも表記は必ず区別して書いてください ベクトルで記述すべきところをスカラー標記で書くと減点します 斜体と立体 斜体 : 変数立体 : 定数 記号 ( 例えば sin() や虚数 j など ) sin と表記すると s i n という意味になります ベクトル表記 : 向き : 矢印の向き大きさ : 矢印の長さと色 スカラー表記 : 大きさ : 色 11 12

3 ベクトルの演算 ベクトルの積 内積 : 結果はスカラー量 + cos E のうち H に平行な成分を取り出して H の大きさにかける 外積 : 結果はベクトル量 + 大きさ :EとHが作る平行四辺形の面積 向き :EからHへの回転に対して右ねじが進む向き ( 関数の ) 線積分 経路に沿って積分を行う 結果はスカラー量 曲面上にある曲線 C : z = f(, ) 曲線 C に沿った線積分, d dl は線要素 線積分が表す断面積 曲線 C 曲線 C の 平面内の軌跡 ベクトルの演算 - 線積分 - ( 関数の ) 面積分 S:3 次元空間に張られたベクトル場 例えば 水の流れ 赤い線に沿って進むことを考える T: 微小面に垂直な単位ベクトル ある点 (,, z) で水から受ける力の大きさ 面に沿って積分を行う 結果はスカラー量 複雑な面における積分も可能だが ここでは単純な図形の面積分を示す 長方形 :, d, dd 円盤 :, d, dd (, ) (b,b ) (,l) 渡り切るまでに水がする仕事 今後は簡略化して d 内積記号を忘れずに! と表記 円筒の側面 :,, d, dd 球面 :,, d, sin dϕd 関数が一様に 1 すなわち f = 1 の場合は図形の面積を表す (,-l) sin ベクトルの演算 面積分 - ベクトルの面積分 : ベクトルと面の法線成分との内積の面積分 d E: 積分すべき場のベクトル n: 法線の単位ベクトル ( 法線 : 面に垂直な線 ) ds: 面内に取った微小面積分要素 面積分の意味 面 S を貫く力線の総数 面に垂直な成分の面積分 注意 ここでの 2 重の積分符号は 2 次元の面に対する積分を表している 教科書によっては 積分記号を 1 回しか書かないものもある 体積分 立体に対して積分を行う 結果はスカラー量 面積分と同様に複雑な立体に対しても積分可能であるが ここでは単純な図形の体積分を示す 直方体 :,, d,, d d d 円筒 :,, d,, d d d 球 :,, d,, sin dd d 関数が一様に 1 すなわち f = 1 の場合は図形の体積を表す (,, z ) (, l) (, -l) (b,b,b z ) sin 17 18

4 ベクトルの演算 発散 div E- 発散 (divergence): d div lim 分子 : 体積表面を垂直に通過する力線の総量 分母 : 体積 ベクトルの演算 回転 rot H- 回転 (rottion) ベクトル量を表す rot Hの大きさ d rot lim rot H の方向 微小面積 S に垂直で 回転場に対して右ねじの方向 具体的には下記の演算で計算できる ただしデカルト座標 電束密度 Dの発散は電荷密度 となる div 具体的には下記の演算で計算できる ただし デカルト座標 div rot rot ( ベクトルの ) 演算 傾斜 grd V- 傾斜 勾配 (grdient) ベクトル量を表す grd Vの大きさ :Vの最急傾斜 d grd d lは経路方向の単位ベクトル grd Vの方向 : 最急傾斜の方向 具体的には下記の演算で計算できる 各要素ごとに傾きを求め ( 偏微分 ) ベクトル和をとったもの grd 傾斜が緩 (grd V が小 ) 傾斜が急 (grd V が大 ) ベクトル演算 特に重要なベクトル演算についてここに記す 1. div grd ( : ラプラシアン ) : ナブラベクトル微分を表す演算子 V grd div rot : ラプラシアン z 座標系 ( デカルト座標系 ) 2. rot grd 0 3. div rot 0 4. rot rot grd div 5. div rot rot 6.,,,, マクスウェルの方程式 ファラデーの電磁誘導の法則 (Frd's lw of induction) rot 磁束密度の時間変化が電界の回転に対応する 変位電流で拡張したアンペアの法則 (mpère's circuitl lw) rot 電流 ( 変位電流の時間変化 ) は磁界の回転に対応する ガウスの法則 ( 電界 ) div ガウスの法則 ( 磁界 ) div 0 電束密度の発散はその閉区間内にある電荷の総量 e 磁束密度の発散はその閉区間内にある磁荷の総量ただし 磁気モノポールは存在しない (N と S はペアで存在するので 磁束は閉区間で閉じている ) N S 23 電界 磁界の単位 E: 電界 [V/m] * 理学などでは電場と呼ぶことも H: 磁界 [/m] * 理学などでは磁場と呼ぶことも D: 電束密度 [C/m 2 ] B: 磁束密度 [Wb/m 2 ] i: 電流密度 [/m 2 ] : 電荷密度 [C/m 3 ] : 誘電率 [F/m] : 透磁率 [H/m] : 導電率 [S/m] 構成方程式媒質と電磁界との相互作用を表す方程式,, : 一様媒質中ではスカラー量 比誘電率, 比透磁率真空中の誘電率 透磁率に対する比 24

5 マクスウェル方程式の積分形 電流の連続則 ファラデーの電磁誘導の法則 rot 磁束 曲面 S 電流連続の式 d d d d 電界 E アンペアの法則 rot d d 電流 i 磁界 H 閉じた空間に出入りする電流の総和 閉じた空間内の総電荷量の変化表面積 :S 体積 :V 蓄積電荷 : ρ 電流 i 積分形で表現される電界 電位 ( 電圧 ) 静電界 2 点間を積分路に沿って電界を積分 なぜ静電界? 交流電界下では 積分しても総和が定まらない交流電界 E 電圧が定義できるのは 一様電界もしくは一様とみなせるほど低い周波数の交流のみ 空間中の電荷によって発生する電界 grd grd 4 d この経路で積分すると総和は 0 電圧は 0V? 積分形で表現される磁界 重要な定理 空間中の電流によって発生する磁界 / d 4 ガウスの定理 d div d ストークスの定理 d rot d 電流 i / r 方向の単位ベクトル 磁界 H 電荷から r 離れた点での電位 V 偏微分方程式で表される電磁気学的な現象教科書 続電磁気学ノート p.13 p.21 座標系 電磁気学で解析的に解ける問題は少ない 実用上では多くの場合で計算機シミュレーションを用いる 工夫すれば解が得られる場合がある 境界を座標系と一致させると 解析的に ( 式として ) 解ける 例えば 同軸線路 直角座標系で表現しようとすると 円筒座標系の方が式がきれいになる 電磁気学上重要な 3 つの座標系について検討する 直交座標系 ( デカルト座標系 z 座標系 ) 円筒座標系 球座標系 ここでは 上記の座標系について grd, div, rot を導出する 29 30

6 直交座標系 デカルト座標系 grd z 円筒座標系 筒状の座標系 : 同軸線路など 直交座標系 円筒座標系 z (r,, z) r 円筒座標系 直交座標系 r div rot 31, tn cos, sin cossin sin cos k cos sin sin cos k 次々ページから説明する一般直交座標系を用いて円筒座標系の各演算を求めてみよう grd V, div, rot, 32 球座標系 一般直交座標系 球状の座標系 電磁放射など tn tn 球座標系 直交座標系 sin cos, sin sin, cos, 次ページから説明する一般直交座標系を用いて球座標系の各演算を求めてみよう grd V, div, rot, 単位ベクトル間の関係 (r,, ) r θ rsin sin cos sin sin cos, cos cos cos sin sin, sincos u 軸, v 軸, w 軸が直交している 一般直交座標 点 Pから短い長さdlを考える u 軸 dlをu 軸方向に取る (d ) と d e 1 : 測度係数 ( 比例定数 ) P 同様に v 軸 w 軸 uが一定 vw 面 vが一定 uw 面 wが一定 uv 面 wu 面とuv 面の交線 u 軸 uv 面とvw 面の交線 v 軸 vw 面とwu 面の交線 w 軸 主な座標系における測度係数 直角座標系 d d, d d, d d 1 円筒座標系 d d, d d, d d 1,, 1 球座標系 d d, d d, d sin d 1,, sin z (r,, ) z (r,, z) θ r dθ rsin θ r 35 面積要素 体積要素 面積は長さの積 uv 面 d dd vw 面 d dd wu 面 d dd 各座標系に当てはめると 直交座標系では自明 円筒座標系 ( 上下面 : z 一定 ) d dd 円筒座標系 ( 側面 : r 一定 ) d dd 球座標系 ( 球表面 : r 一定 ) d sin dd 体積は長さの三重積 ddd 各座標系に当てはめると 円筒座標系 d ddd 球座標系 d sin ddd 36

7 一般座標系での発散 一般座標系の立体に対して発散の定義を適用する d div lim uv 面 ( 下面 ) を貫く力線の総数 dd uv 面 ( 上面 ) を貫く力線の総数 d dd すなわち uv 面を貫く力線の総数 : vw 面 wu 面も同様に考えて div lim 1 微小区間 dw 上の電界 E w の変化 ddd ddd ddd 37 一般座標系での回転 一般座標系の面に対して回転の定義を適用する d rot lim edge 1および3 上での線積分 d d d edge 2 および 4 上での線積分 d d d よって周回積分 (rot Hのw 成分 ) は rot 1 同様に rot 1 rot 1 行列式で整理 1 38 一般座標系での勾配 一般座標系にあるポテンシャルに対して勾配を求める 勾配は各要素ごとに勾配を求め ( 偏微分し ) ベクトル和を求める grd ラプラシアン + 1 eev eev eev eee 1 2 3u e1u v e2v w e3w V div grd レポート課題 p.15 問 1.1 P.17 問 1.2 P.18 問 1.3, 問 1.4 p.19 問 1.5, 問 1.6, 問 1.7, 問 1.8 レポートには次の項目を明記すること 出題日時 学籍番号 氏名 出題美ごとに別の用紙で出すこと 4 用紙に記入すること (B5サイズのルーズリーフは受け取りません) 消えないようにボールペンや万年筆で書くのがよい ただし 赤ペンの使用は控えてください 提出期限次々回 :6/19( 火 ) 講義開始時に提出 次回 : 6/14( 木 ) に課すレポートも同時に提出してください 39 40