交通計画 A 交通需要予測 交通手段選択と ロジットモデル 交通手段分析 分担率曲線法 トリップ費用や時間 距離を横軸 ( 説明変数 縦軸に分担率を描く 徒歩分担率 マストラ分担率 非集計モデル ( ロジットモデル 法 個人ごとの目的地の選択行動をモデルで表現し, 一人一人の行動を加算して推計する. 分担率曲線 連続的選択と離散的選択 第 回仙台都市圏 T 調査による分担率 仙台都心までのトリップでは 長距離ほど鉄道が多い 運賃やサービスレベルの影響が考慮できない 標準的消費者行動モデル ( 連続的選択 一定期間に購入する 万円財 サービスの量を説明 ( お金 時間をいくらずつ割り振るか? 離散的 ( 質的 選択モデル どの種類の財を選択するか? ( どこへ行くか? 何を買うか? 離散的 (dscrete な選択肢 (alternatve からの選択 離散的選択のモデル化 個人は, 採りうる選択肢 alternatve を列挙する それぞれの選択肢の特徴と費用に基づいて, 評価得点 utlty をつける 評価点が高いものを選ぶ 中国旅行 60 点フランス旅行 40 点アメリカ旅行 0 点 確定的選択モデル 個人は 評価得点が少しでも高いほうの選択肢を必ず選ぶ と考えるモデル 全員が同じ考え方で評価 同じ状況に直面する人は, 全員同じ選択肢を選択 異なる条件の人の選択結果から効用関数を推定 判別関数モデル, 数量化理論 II 類モデル 同じ状況に対する個人間での考え方の違いを考慮 例 : 高齢者は着席可能性を, 若者は低運賃を重視 犠牲量 ( 最小化 モデル 比較における あいまいさ を認める ファジィ選択モデル
評価点の差と選択率 実際には ほとんど評価点が同じときは, どちらも選択される可能性がある 評価点の差が大きいときは, 片方しか選ばれない. A が圧倒的に劣る A が選ばれることはほとんどない 選択肢 A が選ばれる可能性 0 つは同じ魅力 0% ずつ A が圧倒的に良いほとんど A だけが選ばれる 選択肢 A の得点 - 選択肢 B の得点 ロジットモデル S 字型の曲線として, という式で表わされる曲線を使うと, いろいろな計算が簡単にできる つ以上の選択肢からの選択も同じ形になる 000 年ノーベル経済学賞 McFadden(9- が提案 各自の評価点が安定している部分と確率的に変動する部分の和である場合の選択から理論的に導いた ( ランダム効用モデル ロジットモデル 選択肢がつの 項ロジットモデル Bnary Logt exp( exp( exp( exp( exp( 選択肢が多数 (n 個 ある場合の多項ロジットモデル Multnomnal Logt exp( j j N exp(, exp( ロジットモデルの限界と注意点 青バス 赤バス問題 (I.I.A 特性 例 : バスと自動車の交通機関選択モデル バスも自動車も共に一般化交通費用が等しい バス, 自動車の選択率は / ずつになる バスの半数を赤く, 半数を青く塗って区別 青バス, 赤バス, 自動車の選択率は / ずつ色を変えたらバスのシェアが / から / に上昇? 各選択肢の確率的効用の間に相関がある場合には, 非現実的な選択率を与える モデルの使用手順 選択モデルの定式化 ( 得点から S カーブで選択率を計算 パラメータ η,β の推定 ( 実際の選択結果から どういう得点付けだったかを推測 将来の選択率の予測 ( 将来の選択肢の状況から得点を計算し 選択率を計算 実際の観測結果から もとの事象の発生確率を推定する 手品師がイカサマかも知れないコインを 6 回振ったら 表が 回 裏が 回出た このコインは正しいコインだろうか? 表が出やすいようなイカサマのコインだろうか? 表 回 裏 回という観測結果から このコインを 回振ったときに表が出る確率 p の値を推測したい 比率を用いてそのまま p=/6 と推測する方法 さいゆうほう ( 最尤法
最尤法による推定 ( 個々の事象の組み合わせを考える コインを続けて 6 回振ったところ そのうち 回が表であった. このコインの表の出る確率 q はいくらか? 母数 ( ここでは表の出る確率 q を変えたときに, 観察された事象が実現する確率を求める ( 尤度関数 L(q 観察された事象の発生確率が最大になる q の値を求める 尤度関数を求めてみよう 確率 q の事象が 回,(-q の事象が 回観察されたのだから 何回目が裏かが 6 通りあることを踏まえると 6! L( q 6Cq ( q q ( q 6q ( q!! 最尤法による母数の推定の例 尤度関数を最大化する L( q 6q ( q dl( q 4 4 6 q ( q q 6q ( q q dq 4 6q ( 6q 0 あるいは対数をとったものをqについて最大化してもよい L*( q ln L( q ln 6 ln q dl* ( q q 6q 0 dq q ( q q( q q( q q / 6. 0.4 0.4 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.0 ln( q L(θ 0 0.00 0.0 0.40 0.60 0.0.00 これは,6 回のうち 回という割合に一致 比率によるロジットモデルの推定 集計的方法 ( 集団の選択率にあわせる ある選択肢の状況下で観測された集団の選択確率 p を用いる ロジットモデルから その時の つの選択肢の魅力度 A と B の差が逆算できる 魅力度の差がうまく一致するように 魅力度の関数の形を調整する 先の例 :6 回のうち 回表だから p=/6 と推測した 非集計的方法 ( 各個人の選択を考える 魅力度の関数形を仮定する 各個人が直面した選択肢の状況をもとに ロジットモデルで各自の選択確率を求める それらを掛け合わせて 観測された事象の発生確率 ( 尤度関数 を求める L N J n j 尤度関数の値が最大になるように 魅力度の関数の形を調整する nj nj 交通手段選択モデル 集計データ ( 比率 を用いたロジットモデルの推定 ある OD を移動する消費者が, 複数の交通手段の所要時間や費用を考えて手段を選択 U 項ロジットモデル r ob[ U j t t c c U : ( K] 選択肢 j の魅力度が他の選択肢よりも高い確率, exp( exp( 表. バスの所要時間 tb 表.6 自動車の所要時間 tc 0 4 0 6 0 表. バスの所要費用 cb 0 40 0 40 0 0 0 0 0 表. 自動車の所要費用 cc 4 4 4 60 60 9 表.9 バスの分担率 B 0. 0.6 0. 0. 0.4 0. 0.9 0.9 0.44 表.0 自動車の分担率 C 0. 0. 0.4 0. 0. 0.4 0.6 0.0 0.6
集計データ ( 比率 を用いたロジットモデルの推定 ロジットモデル式から つの選択率の比は以下のようになる ln[ / ] ( t t ( c c tb tc cb cc B C ln(c/b tc-tb cc-cb 0 0. 0. 0.99 - -09 0 40 4 0. 0. 0.9 - -9 4 0 0 0.9 0.6. -4-40 4 0.6 0..00 - -9 0 4 0.4 0..09 - - 6 0 60 0.9 0.0.4 - -60 0 0 0. 0.4.0 - - 0 60 0. 0.4.0 - -60 0 9 0.44 0.6. -4 - 回帰分析 Lnear Regresson x ( t t y ln[ / x y x x つ ( 以上 の変数を用いて 目的の変数 y の値をうまく予測できるような平面を決める方法 ] ( c c 平面 y x x をうまく決める 集計データ ( 比率 を用いたロジットモデルの推定 係数標準誤差 t - 値下限 9% 上限 9% 下限 9.0 上限 9.0 切片 0.9 0.04. E-04 0. 0.4990 0. 0.499 X 値 -0.096 0.006 -. E-0-0.09-0.064-0.09-0.06 X 値 -0.009 E-04 -. E-0-0 -0.0009-0 -0 回帰統計バスの分担率 重相関 0.999 0.9 重決定 0.999 0. 0. 補正 0.9 0.6 0. 標準誤差 0.0 0.4 観測数 9 0. 0.096t 0.096t 0.00c 0.00c 0.90 0. 0. 0 - - 0 - tc 表. バスの所要時間 tb 0 4 表.6 自動車の所要時間 0 6 0 表. バスの所要費用 cb 表. 自動車の所要費用 cc 0 40 0 4 40 0 0 4 4 60 0 0 0 60 9 表バスの利用者数 NB 9 6 0 表自動車の利用者数 NC 04 6 6 94 6 時間 費用 選択人数 魅力度 ( 仮定値 個人の選択率事象発生確率 tb tccb cc NB NC b c b c b^nb c^nc 0 9 04-0. 0.0 0. 0.9.E-.E- 0 40 4 -.6-0.99 0.9 0.449 E-06.E-0 4 0 0 6 -.6-0.60 0.4 0.646 9E-.E-06 40 4 6 -.944-0.99 0. 0.04.E- 4.E-09 0 4 94 -.44-0. 0. 0.44.E-9.E- 6 0 60 6 -.090-0.69 0. 0.0.E- 9.E-0 0 0 6 -.0-0.60 0. 0.00.E-.E-0 0 60 -.6-0.69 0. 0.40.E- 6.E-0 0 9 0 -.049 0.090 0.4 0.669 E-.E-9 魅力度関数の係数の仮定値 α -0.004 6E-9.E- β -0.00 尤度関数尤度関数 E- γ 0.969 最大になるように値を調整 ソルバー機能 : 表計算ソフト :Excel の中では いくつかの数値が別のセルの数値に影響を与える場合 目的のセルの数値を最大にするように 元の数値を決定する計算ができる 実際には この尤度関数は あまりに値が小さいため 数値計算誤差の影響でうまく計算できない 尤度関数の対数 (log を取ったものを考え それを最大化する ln N J N J nj nj ln nj n j nj n j 4
時間費用選択人数魅力度 ( 仮定値 個人の選択率選択率の対数人数分を合計 tb tccb cc NB NC b c b c lnb lnc Nblnb Nclnc 0 9 04-0. 0.0 0. 0. -.9-0. -0.9 -.4 0 40 4 -.6-0.99 0.9 0.4 -. -0.6 -.9-9.4 4 0 0 6 -.6-0.60 0.4 0.64 -.44-0.69 -. -. 40 4 6 -.944-0.99 0. 0. -. -0. -. -9.9 0 4 94 -.44-0. 0. 0. -.406-0. -4. -6.44 6 0 60 6 -.090-0.69 0. 0.0 -.6-0. -4. -. 0 0 6 -.0-0.60 0. 0. -.6-0. -9. -.4 0 60 -.6-0.69 0. 0.4 -. -0.9-4.46 -.9 0 9 0 -.049 0.090 0.4 0. -.4-0.9-0.6-4. 魅力度関数の係数の仮定値 α -0.004 -. -9. β -0.00 対数尤度関数 -6. γ 0.969 最大になるように値を調整 作成されたロジットモデル 0.0t 0.0t 0.00c 0.00c exp( exp( exp( 0.9 ロジットモデルによる将来の手段分担率の推計 将来の所要時間 費用をロジットモデルに代入して分担率を推計 表. バスの所要時間 表. バスの所要費用 tb cb 0 60 0 0 0 9 0 60 0 0 0 60 表. 自動車の所要時間表.4 自動車の所要費用 tc cc 0 6 6 6 0 4 バスの分担率 B 0.6 0. 0.46 0. 0.6 0.0 0.46 0.0 0.4 OD 表と掛け合わせて バス OD 表 自動車 OD 表を得る ここからは 興味のある人だけ ランダム効用理論に基づくロジットモデルの誘導 非集計データによる最尤法の理論的背景 最尤法の計算例 ( 別の例 ランダム項がある場合の選択 ランダム項の確率分布の仮定 集団全体における各自の効用の誤差 ε の頻度分布を連続的な確率密度関数で表現
選択率の導出 具体的なランダム効用モデル ロジット (LOGIT モデル 各選択肢の誤差項が独立で同一の Gumbel 分布に従う F( x rob( x exp exp( x と仮定したモデル f ( x F' ( x exp( x F( x 第 選択肢の選択確率は, exp( / exp( プロビット (ROBIT モデル 誤差項が多変量正規分布に従うと仮定したモデル 選択確率を解析的に表示することができない モンテカルロシミュレーションなどを用い近似値を計算 η: 誤差項の分散に反比例するパラメータ 非集計データによるロジットモデルのパラメータ推定 パラメータ推定 ( 尤度関数 尤度関数の値を最大にするように β を定める ニュートン ラプソン法 最尤法の計算例 通勤に 種類の交通手段 (: バス : 鉄道 があり 0 人の両交通機関での所要時間を調べたところ 表のようであった ロジットモデルを適用して 所要時間のパラメータとバスの選択し定数項のパラメータを計算せよ さらに バス専用レーンの設置により 全てのサンプルのパス所要時間が 分短縮された場合に バス選択確率がどのように変化するかを推測せよ サンプル選択所要時間 時間差 番号 バス バス 鉄道 Z -Z 0 0 0 4 0 4 0 9 4 4 0 0 0 0 6 0 4 0 0 0 0 9-0 0 - 合計 4 平均 6
尤度関数の数値計算例 尤度関数の数値計算例 ( ソルバー alpha/beta 0. 0.4 0.6 0...4.6...4 0 0.0044 0.069 0.009 0.0 0.0 0.04 0.09 0.06 0.0 0.0 0.04 0.0 0. 0.004 0.04 0.0099 0.094 0.046 0.06 0.0 0.064 0.00 0.006 0.0 0.00 0. 0.00 0.009 0.00 0.0964 0.044 0.04 0.04 0.046 0.09 0.0 0.0 0.0 0. 0.00 0.00 0.000 0.094 0.0 0.0 0.0 0.004 0.040 0.00 0.06 0.0 0.4 0.0096 0.009 0.09 0.0 0.09 0.099 0.096 0.04 0.0 0.009 0.09 0.044 0. 0.00 0.004 0.09 0.0 0.0 0.096 0.04044 0.09 0.066 0.04 0.096 0.0606 0.6 0.00 0.004 0.0644 0.064 0.04 0.09 0.0406 0.099 0.069 0.044 0.009 0.06 0. 0.00 0.006 0.044 0.0469 0.09 0.0 0.0406 0.0406 0.0 0.09 0.09 0.0 0. 0.006 0.00 0.0 0.0 0.0 0.069 0.096 0.0400 0.0 0.09 0.0 0.09 0.9 0.0006 0.0044 0.04 0.006 0.094 0.0 0.09 0.094 0.049 0.06 0.0 0.09 0.000 0.009 0.0099 0.04 0.06 0.0 0.04 0.06 0.00 0.06 0.0 0.004 alpha/beta.0.......4.4.. 0. 0.0 0.066 0.0 0.06 0.096 0.099 0.040 0.0404 0.04044 0.040 0.0400 0.096 0. 0.044 0.06 0.04 0.044 0.09 0.09 0.0404 0.04049 0.040 0.040 0.0406 0.04006 0.6 0.040 0.0 0.00 0.0 0.09 0.096 0.0404 0.0404 0.0406 0.0406 0.040 0.040 0.6 0.066 0.0 0.06 0.06 0.06 0.096 0.099 0.040 0.0404 0.0406 0.0406 0.040 0. 0.09 0.04 0.094 0.04 0.0 0.096 0.0960 0.04006 0.0406 0.0400 0.040 0.04040 0. 0.00 0.06 0.0 0.060 0.0 0.046 0.09 0.090 0.0400 0.0409 0.0406 0.040 0. 0.0 0.09 0.044 0.0 0.0690 0.0 0.06 0.094 0.096 0.0996 0.040 0.040 0. 0.009 0.09 0.0 0.049 0.06 0.0 0.000 0.06 0.09 0.094 0.09 0.09 alpha/beta.46 0.6 0.04064 =/( (+EX(-B$4*0+$A* (+EX(-B$4*4+$A* (+EX(-B$4*4+$A* (+EX(-B$4*+$A* (+EX(-B$4*+$A* (+EX(-B$4*+$A* (+EX(B$4*-$A* (+EX(B$4*0-$A* (+EX(B$4*(--$A* (+EX(B$4*(--$A 得られたパラメータを用いた予測 現況再現 α 0. 6 β -. 44 予測 -0. 9 -. 6 0.6 0. -. 4 -. 0.0 0. 994 0 -. 4 -. 0.0 0. 994 0-9. 4 -. 0.0 0. 69 0-0. 9 -. 0.09 0. 90 0 -. 4-0. 0.0 0. 96 0-9. 4 -. 0.0 0. 69 0 -. 0 -. 0.6 0. -. 4 -. 9 0.9 0. 0 -. 0-0. 99 0. 00 バスを利用するサンプルの予測値 4 政策実施後 ( レーン設置後 予測 -9. 4 -. 6 0.9 0. 4 -. 4 -. 0.0 0. 96 0-0. 9 -. 0.0 0. 96 0 -. 0 -. 0.6 0. -9. 4 -. 0.0 0. 69 0 -. 4-0. 0.09 0. 90 0 -. 0 -. 0.6 0. -6. 6 -. 0.9 0. 4-0. 9 -. 9 0.99 0. 00-6. 6 -. 00 0. 00 バスを利用するサンプルの予測値 6