年ホップ 式の計算 ~ 式の計算 ~ 次の計算をしなさい ()9a-6b-a+5b ()χ -6χ-χ-χ 6a-b -χ 7χ - ()5ab-6a-ab+5a ( 4) χ + y - χ - y ab-a - χ - y 6 次の計算をしなさい - ()(χ+y)+( 4χ +y) ()(χ y)+(χ +5y) - - χ + y 5χ + y ()(4χ-y)-(5χ-y) (4)(-χ-8+y)+(χ+5y) -χ+ y -χ + 7y- y-8 (5)(a -a+4)+(a -6+5a) (6) 9a-4b- - ) a-6b+ a +a- a- 7a+ a+b- b-5
年ステップ 式の計算 ~ 式の計算 ~ 次の計算をしなさい ()(χ+0y) 4 ()(-9χ-y) χ+5y -χ -4y ()(-6a-9ab) (4)(5χ +5χ-0) (-5) -a- a-ab ab -χ -χ+6 次の計算をしなさい ()(χ+4y)+(χ-4y) ()(4a-b)+6(-a +b) 5χ-4y 6a+6b ()(4χ-y)-(χ -y) (4)(χ +4χ-)-(χ-) 8χ+y χ +χ- (5)7χ-4y - χ+y (6)a+b + a-b 0 5 6 4 χ - y または 5 χ-8y a + b または 4a+ a+b 5 0 6
年ジャンプ 式の計算 ~ 式の計算 ~ 次の計算をしなさい ()(-6n) (-m) n ()(-4ab) 5c b 4mn - 0ac ()(-6a) 4a (-b) (4)(-χ) 6y (-χy) -8 8ab -χ (5)8χy (-4χy) (6)(-4ab) a (-b) - 4b (7)(-χy ) χy 4χ (8) χ y χy 6-4 4χy χ a=-,b= のとき, 次の式の値を求めなさい ()(a+b)-(a+4b) ()ab b-ab -5 -
年ホップ 式の計算 ~ 文字式の利用 ~ 5 つの続いた整数の和は 5 の倍数となります このわけを, 文字を使って説明しなさい 例 5 つの続いたいた整数整数のうち, もっとも小さいさい整数整数を n とすると,5 つの続いたいた整数整数は, n,n+,n+,n+,n+,n+,n+,n+4 と表されるされる したがって, それらの和は, n+(n+)+(n+ )+(n+)+(n+ )+(n+)+(n+ )+(n+4)= )=5n+ n+0 =5(n+ (n+) n+ は整数整数だから,5(n+ (n+) は5の倍数倍数であるである したがって,5 つの続いたいた整数整数の和は 5の倍数倍数となるとなる 次の等式を の中の文字について解きなさい ()5χ+y= χ ()y=5χ+7 χ χ = -y+ y+ y - 7 χ = 5 5 ()S= ah h (4)L=(a+b) a S L h = a = - b a (5)S= (a+b) a (6)χy=4 y a = S - b y = χ
年ステップ 式の計算 ~ 文字式の利用 ~ けたの自然数と, その数の一の位の数字と十の位の数字を入れかえた数の和は, の倍 数となります このわけを, 文字を使って説明しなさい 例 はじめに考えたえた数の十の位を χ, 一の位をy とすると, はじめの数は 0χ+y 入れかえたれかえた数は 0y+ y+χ と表されるされる したがって, それらの和は (0 0χ+y)+( +y)+(0 0y+ y+χ)= )= χ+ y = (χ+y) χ+y は整数整数だから, (χ+y) は の倍数倍数であるである したがって, けたの自然数自然数と, その数の一の位の数字数字と十の位の数字数字を入れかえたれかえた数の和は, の倍数倍数となるとなる 半径 r の円があります この円の半径を 倍にすると, 面積は何倍になりますか また, 半 径を にするとどうなりますか 半径 r を使って説明しなさい 半径 rの円の面積面積は,r r π=πr 半径を 倍にすると,r r π=4πr したがって, 半径を 倍にするとにすると面積面積は 4 倍になるになる 半径を にすると, r r π= πr 4 したがって, 半径を にすると面積面積は 4 になる 次の等式を の中の文字について解きなさい ()χ-4y+=0 y ()n= a+b a y = χ + または y= χ+ 4 4 a = n-b
年ジャンプ 式の計算 ~ 文字式の利用 ~ 健治さんは, 次の図のように, 段に並んでいる の 段目に連続するつの自然数を順に入れました そして, 隣り合うつの数の和を 段目の に入れ, 同じようにして 段目の数を求めました 健治さんは,4=4 6,44=4 であることから, 段目にどんな連続するつの自然数を順に入れても, 段目の数はいつも4の倍数になることを予想しました 次の( ) から( ) までの各問に答えなさい () 連続するつの自然数を,,とするとき, 下の図のに当てはまる数を求めなさい H 全国学力調査 85.6% 88 () 段目にどんな連続するつの自然数を順に入れても, 段目の数はいつも 4の倍数倍数になる という健治さんの予想が正しいことの説明を完成しなさい 説明 H 全国学力調査 40.6% 連続する つの自然数のうち, もっとも小さい数を n とすると, つの自然数は,n,n+,n+ と表される このとき 段目の数は, それぞれ n+(n+)=n+ (n+)+(n+)=n+ であるから, 段目の数は, 例 (n+)+(n+)= 4(n+ (n+) n+ は自然数自然数だから,4(n+ (n+) は4の倍数倍数であるである したがって, 段目の数は 4の倍数倍数になる () 上の説明で, 段目のつの数は,n+,n+と表されています このことから, 段目のつの数について, いつもいえることがあります 下のアからオまでの中から正しい ものをつ選びなさい H 全国学力調査 57.9% ア 段目のつの数は, 連続する偶数である イ 段目のつの数は, 連続する奇数である ウ 段目のつの数は, 奇数と偶数である エオ 段目のつの数は, 一の位の数がとである 段目のつの数は, 十の位の数が等しい イ
年ホップ 連立方程式 ~ 連立方程式とそのとその解き方 ~ 次の連立方程式を解きなさい ( ) χ+y=4 () 8χ+y=5 χ-y= χ-y =4 χ= y= χ= y=- () χ-y= (4) χ+y=5 χ-y=-4 χ-y=7 χ=7 y= χ= y=- (5) 4χ-y=- (6) χ+y=5 7χ-y=4 χ-y=7 χ=5 y=7 χ= y=- (7) χ-y=- (8) χ-5y= χ+y= 4χ-y=5 χ= y=4 χ=- =- y=- (9) -χ+y=7 ( 0) χ-y= χ-y=- χ-y=8 χ=- =-4 y=9 χ= y=-
年ステップ 連立方程式 ~ 連立方程式とそのとその解き方 ~ 次の連立方程式を解きなさい () χ+4y=-7 () χ-4y=-5 χ+5y=0 χ+y =7 y= χ=- =-5 χ=- =- y= () χ-y=9 (4) 7χ-5y=7 -χ-y=-9 8χ+y= χ=5 (5) χ-y= (6) χ-y=0 χ-y=9 y=-χ+ χ= y= χ= y=- y=- χ= y=-4 (7) χ=4y (8) y=4χ+ χ+y=6 χ+y= χ=4 y= χ=- =- y=5 (9) -χ-y=4 ( 0) χ-y=6 χ=7-y y=-χ χ=- =-5 y=6 χ= y=-4
年ジャンプ 連立方程式 ~ 連立方程式とそのとその解き方 ~ 次の計算をしなさい () χ+y=8 χ-y=4 () 5χ+y= χ-4(χ+y)=7 χ=8 y=- χ= y=- () χ=8y- (4) y= χ+5 4 χ+ y=0 0.5y=-χ+0 (5) χ-5y=0 (6) χ-y= -(χ-y)+y=- χ+y=8 H 全国学力調査 χ=- =-9 y=- χ=5 y=0 χ=- =-0 y=-8 χ= y= (7) 0.4χ-0.y=. (8) χ-y=5 y 4χ-= - χ+y=4 H4 宮城県入試問題 χ= y=-9 χ= y= 連立方程式 aχ-by=- bχ+ay= の解が, 方程式 χ=-,y= であるとき,a,b の値を求めなさい a= b=5
年ホップ 4 連立方程式 ~ 連立方程式の利用 ~ ある美術館に入るとき, 中学生 人とおとな5 人では950 円, 中学生 4 人とおとな 人では00 円かかります 中学生 人, おとな 人の入館料はそれぞれいくらですか 中学生 人の入館料をχ 円, おとな 人の入館料をy 円として連立方程式をつくり, 答を求めなさい 連立方程式連立方程式 連立方程式の順序順序は入れ替わってもよいわってもよい χ+5y= y=950 4χ+y= y=00 χ=50 y=500 答 中学生 人 50 円, おとな 人 500 円 50 円切手と80 円切手を合わせて6 枚買って,000 円札を出したら, おつりが 0 円ありました 種類の切手をそれぞれ何枚買いましたか 50 円切手の枚数をχ 枚,80 円切手の枚数をy 枚として連立方程式をつくり, 答を求めなさい ( 式 ) 50χ+80 80y= y=000 χ+y= +y=6 50 円切手 0 枚, 80 円切手 6 枚 パン5 個とドーナツ 個の代金は合計 980 円, パン6 個とドーナツ 個の代金は 000 円です パン 個とドーナツ 個の値段はそれぞれいくらですか パン 個の値段をχ 円, ドーナツ 個の値段をy 円として連立方程式をつくり, 答を求めなさい ( 式 ) 5χ+y= y=980 6χ+y= y=000 パン 0 円, ドーナツ 0 円 4 A さんは 9 時に家を出発して,00m はなれた駅へ向かいました はじめは毎分 50m とちゆう の速さで歩いていきましたが, 途中から毎分 00m の速さで走ったら, 駅には 9 時 8 分に 着きました 歩いた道のりと走った道のりを求めなさい 歩いた道のりをχm, 走った道のりをymとして連立方程式をつくり, 答を求めなさい ( 式 ) 50χ+00 00y= y=00 χ+y= +y=8 歩いたいた道のり 800m, 走ったった道のり 400m
年ステップ 4 連立方程式 ~ 連立方程式の利用 ~ さとこさんの学級では, 次の問題を考えています ある動物園の入園料は, 中学生 6 人とおとな 人で 400 円, 中学生 8 人とおとな 人では 400 円でした 中学生 人, おとな 人の入園料はそれぞれいくらですか さとこさんは, この問題を解くのに, 中学生 人の入園料をχ 円, おとな 人の入園料をy 円として, 連立方程式をつくろうと考えました さとこさんの考え方で連立方程式をつくりなさい ( つくった連立方程式を解く必要はありません ) H7 宮城県学習状況調査 8.% 6χ+y= y=400 8χ+y= y=400 連立方程式の順序順序は入れ替わってもよいわってもよい ある中学校の 年生の人数は男女合わせて58 人です そのうち男子の5% と女子の 0% は自転車で通学しており, その人数の合計は9 人です この問題を解くのに, 年生の男子の人数をχ 人, 女子の人数をy 人とした連立方程式をつくりなさい ( つくった連立方程式を解く必要はありません ) H9 宮城県学習状況調査 7.5% χ+y= +y=58 0.5 5χ+0.y= y=9 連立方程式の順序順序は入れ替わってもよいわってもよい ある店では, パンとドーナツを合わせて00 個作りました そのうち, パンは90% 売れ, ドーナツは70% 売れ, 合わせて50 個売れました パンとドーナツはそれぞれ何個作りましたか 作ったパンの数をχ 個, 作ったドーナツの数をy 個として連立方程式をつくり, 求めなさい ただし, その連立方程式を解く必要はありません H5 宮城県学習状況調査 9.% χ+y= +y=00 0.9χ+0.7y= y=50 連立方程式の順序順序は入れ替わってもよいわってもよい
年ジャンプ 4 連立方程式 ~ 連立方程式の利用 ~ おとなと子ども合わせて78 人にみかんを配りました おとなには 個ずつ, 子どもには 個ずつ配ると, 配ったみかんの個数は全部で88 個になりました おとなと子どもの人数は それぞれ何人でしたか H9 宮城県入試問題 おとな 46 人, 子ども 人 さとしさんの学級では, 次の問題を考えています A さんは, 家から 900m はなれた学校に向かいました はじめは, 毎分 60m の速 さで歩いていましたが, 途中から毎分 0m の速さで走ったところ, 家を出てから 0 分後に学校に着きました 歩いた道のりと走った道のりをそれぞれ求めなさい さとしさんは, この問題を解くのに, 毎分 60m の速さで歩いた道のりを χm, 毎分 0 m の速さで走った道のりを ym として, 連立方程式をつくろうと考えました さとしさんの考え方で連立方程式をつくりなさい ( つくった連立方程式を解く必要はありません ) H6 宮城県学習状況調査.% χ + y =900 χ y + 60 0 =0 連立方程式の順序順序は入れ替わってもよい 8% の食塩水と,% の食塩水を混ぜて,6% の食塩水を600g 作ります 種類の食塩水をそれぞれ何 g 混ぜればよいですか 解き方と答を書きなさい 8% の食塩水 とは, 食塩水 00gあたり食塩が8gふくまれている食塩水のことです 食塩水を混ぜる前とあとでは, 全体の食塩水の重さや, ふくまれる食塩の量は変わりません 解き方の例 8% の食塩水食塩水を χg, g,6% の食塩水食塩水を yg とする χ+y= +y=600 0.08 08χ + 0.0 0y = 600 0.06 06 χ=60 y=40 答 8% の食塩水 60g, % の食塩水 40g
年ホップ 5 次関数 ~ 次関数 ~ 次のア~ウの中で,yがχの関数といえるものをすべて選びなさい ア体重がχkgの人の身長 ycmイ 辺の長さχcmの正方形の周の長さy cmウ kmの道のりを毎時 4kmの速さでχ 時間歩いたときの残りの道のりy km 次関数 y=χ+5 について, 次の問に答えなさい ()χ= のとき,y の値を求めなさい ()χ の値が から 4 まで増加したときの y の増加量を求めなさい ()χ の値が 増加したときの変化の割合を求めなさい (4)χ の値が から 4 まで増加したときの変化の割合を求めなさい イ, ウ 6 次の 次関数について, グラフの傾きと切片を書きなさい ( ) y = χ- ()y=χ+ 4 傾き 切片 - 傾き 切片 4 4 次の直線の傾きと切片を書きなさい また, 直線の式を書きなさい () () y y 5 5 P5 O 5 x P5 O 5 x P5 P5 傾き 切片 傾き - 切片 - 直線の式 y = χ + 直線の式 y=- χ -
年ステップ 5 次関数 ~ 次関数 ~ 次関数 y = χ-について, 次の問に答えなさい ()χの増加量がのとき,yの増加量を求めなさい ()χ の値が 6 増加したとき,y の増加量と, 変化の割合を求めなさい y の増加量 変化の割合 次の 次関数のグラフをかきなさい ()y=-χ+ ( )y= χ-4 ()y=- 4 χ+ y y y 5 5 5 P5 O 5 x P5 O 5 x P5 O 5 x P5 P5 P5 次関数 y=χ+ について,χ の変域が - χ のときの y の変域を求めなさい - χ 7 4 次の条件を満たす 次関数 ( 直線の式 ) を求めなさい () 変化の割合が 4 で,χ=- のとき y= である 次関数 () 傾きが - で, 点 (4,) を通る直線の式 () 点 (-,-), (,) を通る直線の式 y=4χ+ y=-χ+ y=χ+
年ジャンプ 5 次関数 ~ 次関数 ~ yはχの 次関数で,χ=のときy=4となり,χが増加するとyは減少します このような 次関数のグラフがy 軸と交わる点をつ決めて, その点のy 座標を答えなさい また, そのときの 次関数の式も答えなさい H7 宮城県入試問題 y 軸と交わる点の y 座標 例 5 次関数の式 例 y = - χ+5 直線 y=5χ-4 に平行で, 点 (,6) を通る直線の式を求めなさい y=5χ-9 χ の値が 4 増加するとき y の値は 減少し,χ=4 のとき y=4 である 次関数を求めなさ い y=- χ+6 4 次関数 y=aχ+8(a は定数,a>0) は,χ の変数が - χ のとき,y の変域 が b y (b は定数 ) です このとき,a,b の値を求めなさい a= b= 5 図のように, 点 A(0,6 ),B(6,) があります χ 軸上に点 Pをとり,AP+PB の値が最小になるようにしたときの点 P の座標を求めなさい y 5 A B P5 O 5 x P5 9 P(,0 )
年ホップ 6 次関数 ~ 次関数と方程式 ~ 元 次方程式 χ-y-4=0をy 元 次方程式 χ+y=-6で,χ=0の について解き, この方程式のグラフを ときのyの値と, y=0のときのχの値を求め, かきなさい グラフをかきなさい y=χ-4 χ=0 のときの yの値 y=0 のときの χの値 - -6 y 6 y 6 4 4 P6 P4 P O 4 6x P P6 P4 P O 4 6x P P4 P4 P6 P6 方程式 y=-8のグラフをかきな 4 次の連立方程式の解をグラフをかいて求めな さい さい χ+y= χ-y= y y 6 6 4 4 P6 P4 P O 4 6x P P4 P6 P6 P4 P O 4 6x P P4 P6 χ=, y=
年ステップ 6 次関数 ~ 次関数と方程式 ~ 次の方程式のグラフをかきなさい 次の連立方程式の解を, グラフをかいて求め ()χ-y=4 なさい ()χ+5y=-5 () χ-y=4 ( ) χ= () χ - y =- χ-y=0 y= () χ-y=-6 ( ) χ= (4)y+6=0 χ-y= 4 y=4 y 6 4 () y 6 4 () P () 6 P4 P O 4 6x (4) P P4 P6 P4 P O 4 6x P P4 P6 4 P6 元 次方程式 6χ-5y-0=0のグラフが,χ 軸,y 軸と交わる点の座標をそれぞれ A,Bとする このとき, 点 A,Bと原点 Oを結んでできる ABOの面積を求めなさい グラフのめもりをcmとします 5 cm 4 右図の直角三角形 ABCで, 点 PはBを出発して辺上をCを A 通ってAまで動きます 辺 ACの長さを4cm, 辺 BCの長さを 6cm, 点 PがBからχcm動いたときの ABPの面積をycmとするとき, 次の問に答えなさい () 点 P が辺 BC 上を動くとき,y を χ の式で表しなさい C P B y=χ () 点 Pが辺 CA 上を動くとき,yをχの式で表しなさい y=-χ+0 0 P A C B
年ジャンプ 6 次関数 ~ 次関数と方程式 ~ グラフの つの直線 l,m の交点の座標を求めなさい l y 6 m 4 P6 P4 P O 4 6x P 5 7 (, ) P4 P6 右図の長方形 ABCDにおいて, 点 PはBを出発して 辺上をCを通りDまで移動します A D AD=8cm,AB=4cm,BP=χcmとし, 多角形 ABPDの面積をycmとするとき, 次の問に答えなさい () 点 P が辺 BC 上を動くとき,y を χ の式で表しなさ B C P い y=χ+6 () 点 Pが辺 CD 上を動くとき,yをχの式で表しなさい また, このときのχの変域を求めなさい 式 y=-4χ+64 変域 8 χ 右図で, は直線 y=χで, は 点 A( 0, 6), y B(6,0) を通る直線です との交点をPとする とき, 次の問に答えなさい A () 交点 Pの座標を求めなさい P P(,4 ) () PAOの面積を求めなさい ( めもり cm ) 6 cm 0 B χ
年ホップ 7 平行と合同 ~ 平行線と角 ~ 次の問に答えなさい () 六角形の つの頂点から対角線を引くと, 対角線は何本引けますか 本 () 六角形の内角の和を求めなさい 70 () 正六角形の つの内角の大きさは何度ですか 0 (4) 正六角形の つの外角の大きさを求めなさい 60 右図のように 直線 l,mにつの直線 nが交わっているとき, n 次の問に答えなさい a () aの対頂角をいいなさい c l b () bの同位角をいいなさい f d c () cの錯角をいいなさい e (4)l//m のとき, dと等しい b, b, f, f, h 角をすべていいなさい m e h f g 次の図で χの大きさを求めなさい () () () A m 68 χ χ 75 B 65 AB=AC C 47 χ n 5 m//n 50 65 40
年ステップ 7 平行と合同 ~ 平行線と角 ~ 十二角形について次の問に答えなさい ()つの頂点から対角線を引くと, 三角形が何個できますか () 十二角形の内角の和を求めなさい () 正十二角形のつの内角は何度か求めなさい (4) 正十二角形のつの外角の大きさは何度か求めなさい 0 個 800 50 0 次の図で χ の大きさを求めなさい () () () m 0 χ 9 46 χ n m//n 55 4 7 χ 87 05 5 05 (4) (5) (6) 0 60 8 48 74 χ 75 5 χ χ 4 7 5 00 4
年ジャンプ 7 平行と合同 ~ 平行線と角 ~ 右図で, BAD= CAD のとき, χ の大きさを求めなさい A A 4 0 左図の ABC は,AB=AC の二等辺三角形である AD=CD のとき, χ の大きさを求めなさい B χ 6 7 D C D B A χ C 7 左図の正三角形 ABCで, χの大きさを求めなさい 7 7 4 B χ χ C 4 幅が一定の紙テープを左図のように折り返したとき, χ の大きさを求めなさい 6 7 5 次の問に答えなさい () 内角の和が 60 になる多角形は何角形ですか 十一角形 ( ) つの外角の大きさが4 になる正多角形は正何角形ですか 正十五角形 ()つの内角の大きさが, その外角の大きさの 7 倍であるよ うな正多角形は正何角形ですか 正九角形
年ホップ 8 平行と合同 ~ 合同な図形 ~ 三角形の合同条件をいいなさい 順不同 辺がそれぞれがそれぞれ等しいしい 辺とそのとその間の角がそれぞれがそれぞれ等しいしい 辺とそのとその両端両端の角がそれぞれがそれぞれ等しいしい 次の図において, 合同な三角形を記号 を使って表しなさい また, そのときに使った合同条件をいいなさい () () A A B 50 4 cm C B cm 5 cm C 4 cm D 50 E cm D 5 cm 合同な三角形 ACB ACB ECD 合同な三角形 ABC ABC DBC 合同条件 辺とそのとその両端両端の角がそれぞれ等しい 合同条件 辺がそれぞれがそれぞれ等しい 右図で, 四角形 ABCD 四角形 EFGH であるとき, 次の問に答えなさい A 9 D () HEF の大きさを求めなさい B 87 68 C H ()AB の長さと BC の長さの比を求めなさい cm E : F 4 cm G
年ステップ 8 平行と合同 ~ 合同な図形 ~ 次のことがらについて, 仮定と結論をいいなさい () ABC DEF ならば A= D である 仮定 ABC ABC DEF 結論 A= A= D ()m//n ならば, a= b である m a b n 仮定 m// //n 結論 a= a= b 正五角形 ABCDE を図のように つの三角形に分けると, ACD は二等辺三角形になります それを証明するとき, どの三角形とどの三角形の合同を利用しますか また, その合同条件をいいなさい B A E 利用する三角形 ABC と AED 合同条件 辺とそのとその間の角がそれぞれがそれぞれ等しいしい C D A 右図で, ABC は AB=AC の二等辺三角形で,AD は A の二等分線であるとき, 次の問に答えなさい () ADBの大きさを求めなさい 90 ()DB の長さを求めなさい 6 cm 4 右図で, 点 D,E はそれぞれ AB,AC 上の点である このとき,AB=AC,AD=AE ならば, ABE= ACD であることを証明したい 次の問に答えなさい () 証明をするためにどの三角形とどの三角形の合同を示せばよいかいいなさい また, そのときの合同条件をいいなさい B D cm B 70 C 三角形 ABE と ACD D 合同条件 辺とそのとその間の角がそれぞれがそれぞれ等しいしい ()AB=AC,AD=AE ならば, ABE= ACD であることを証明しなさい A E C ABE と ACD において AB=AC( 仮定 ) AE=AD( 仮定 ) BAE= BAE= CAD( 共通 ),, より, 辺とそのとその間の角がそれぞれがそれぞれ等しいので, ABE ABE ACD したがって, ABE= ABE= ACD ACD
年ジャンプ 8 平行と合同 ~ 合同な図形 ~ 右図の印をつけた 5 つの角の和を求めなさい E A D 80 B C 右図で,AB=DC,AC=DB ならば, BAC= CDB であることを証明しなさい A D 仮定 結論 証明 AB=DC,AC=DB BAC= BAC= CDB CDB E ABC と DCB において AB=DC( 仮定 ) AC=DB( 仮定 ) BC=CB( 共通 ) 辺がそれぞれがそれぞれ等しいので, ABC ABC DCB したがって, BAC BAC CDB B C 右図のように, 正方形 ABCDの辺 BC, 辺 CD 上にCE=DFとなる点 E, Fをとります また, 直線 AFと直線 BCの延長との交点をGとします このとき, CDE= CGFを証明しなさい 仮定 結論 証明 正方形 ABCD,CE=DF CDE= CDE= CGF CGF A D = F ADF と DCE において AD=DC( 仮定 ) DF=CE( 仮定 ) ADF= ADF= DCE= DCE=90 90 ( 仮定 ) 辺とそのとその間の角がそれぞれがそれぞれ等しいので ADF ADF DCE 対応するする角は等しいので, DAF= DAF= CDE 一方で, AD// //BC により錯角錯角が等しいので, DAF= DAF= CGF, より CDE= CDE= CGF CGF B E C G
年ホップ 9 三角形と四角形 ~ 三角形 ~ 次の問に答えなさい () 二等辺三角形の定義をいいなさい つの辺の長さがさが等しいしい三角形三角形を二等辺三角形二等辺三角形というという () ABC DEFならば A= D の逆をいいなさい A= A= D ならば ABC ABC DEF である 次の図で, ABC は A を頂点とする二等辺三角形である χ を求めなさい () () () 44 40 6 下の証明は, 直角三角形の合同条件のうち, 斜辺とつの鋭角が等しいとき合同であることを証明したものです にあてはまる言葉や記号を入れて, 証明を完成させなさい ABCと DEFにおいて, 仮定より C= F=90 仮定より A= D 三角形の内角の和は80 であるから,,より B = E 仮定より AB = DE 4,,4 より 辺とそのとその両端両端の角 がそれぞれ等しいから, ABC DEF
年ステップ 9 三角形と四角形 ~ 三角形 ~ 右図はAB=AC, BAC=6 の二等辺三角形です ADは BACの二等分線, BEは ABCの二等分線のとき, 次の角の大きさを求めなさい () ABC 7 () BDC () AEB (4)AD,BE の交点を F とするとき AFE 80 08 54 右図は,AB=AC である二等辺三角形で, 辺 AB, 辺 AC 上に EB=DC となるように, 点 E, 点 D をとり,B と D,C と E をそれぞれ結んだものです CE=BD となることを証明しなさい ( 例 ) EBC と DCB において EB=DC ( 仮定 ) BC=CB ( 共通 ) また, ABC は Aを頂角頂角とするとする二等辺三角形二等辺三角形より底角は等しいので EBC= EBC= DCB ~ より, 辺とそのとその間の角がそれぞれがそれぞれ等しいので, EBC EBC DCB よって, 対応するする辺は等しいので CE=BD
年ジャンプ 9 三角形と四角形 ~ 三角形 ~ 右図で, ABC と ADE は, 頂角が等しい二等辺三角形であり,BC,DE はそれぞれの底辺である また, 点 D は辺 AC 上にある このとき,BD=CE であることを証明しなさい ABD と ACE において AB=AC ( 仮定 ) AD=AE ( 仮定 ) DAB= DAB= EAC( 仮定 ) ~ より, 辺とそのとその間の角がそれぞれがそれぞれ等しいので, ABD ABD ACE よって, 対応するする辺の長さはさは等しいので BD=CE 右図で, 点 D は辺 BC 上にあり, ABC と ADE は正三角形である 点 C と点 E を結んだとき,AC=DC+CE であることを証明しなさい ABD と ACE において AB=AC ( 仮定 ) AD=AE ( 仮定 ) また, BAD = 60 - DAC CAE = 60 - DAC BAD= BAD= CAE より ~ より, 辺とそのとその間の角がそれぞれがそれぞれ等しいので ABD ABD ACE よって, 対応するする辺は等しいので, BD=CE より AC=BC=BD+DC =CE+DC ゆえに AC=DC+CE
年ホップ 0 三角形と四角形 ~ 平行四辺形 ~ 右図で, 四角形 ABCD は平行四辺形である 次の問に答えなさい () ABC=64 のとき, ADC と BCD の大きさを求めなさい ADC= 64 BCD= 6 ()AB=5 cm,ao= cmのとき,cd と AC の長さを求めなさい CD= 5cm AC= 6cm 平行四辺形の性質 平行四辺形の 組の対辺はそれぞれ等しい ことを, 図を使って証明した にあてはまる言葉や記号を答えなさい ABCと CDAにおいて, AD// BCであるから ACB= CAD AB// DCであるから CAB= ACD また,AC は共通 したがって, 辺とそのとその両端両端の角 がそれぞれ等しいから ABC CDA 対応する辺は等しいから AB= CD, AD= CB 長方形, ひし形, 正方形の定義と, その性質を つ書きなさい 定義性質 長方形 ひし形 正方形 4 つの角がすべてがすべて等しいしい四角形四角形を長方形という 4 つの辺がすべてがすべて等しいしい四角形四角形をひしをひし形という 4 つの角がすべてがすべて等しく,4 つの辺がすべて等しいしい四角形四角形を正方形正方形というという ( 例 ) 対角線の長さがさが等しいしい ( 例 ) 対角線は垂直垂直に交わるわる ( 例 ) 対角線の長さはさは等しく, 垂直に交わる この他に平行四辺形平行四辺形としてのとしての性質性質もありますもあります
年ステップ 0 三角形と四角形 ~ 平行四辺形 ~ 右図で, 四角形 ABCD は AB=8 cm,ad=6 cmの平行四辺形である A の二等分線と BC を C の方向に延長した直線との交点を E とするとき,CE の長さを求めなさい cm 右図で, 四角形 ABCDは平行四辺形, Eは辺 AD 上の点で, ABE= EBC,EC=DCである EAB=00 のとき, BECの大きさを求めなさい 60 右図のように, 平行四辺形 ABCD において, 辺 BC 上に,AB=AE となるように点 E をとる このとき, ABC EAD であることを証明しなさい ABC と EAD において AB=EA ( 仮定 ) BC=AD ( 仮定 ) また, ABE は BAE を頂角頂角とするとする二等辺三角形より底角底角は等しいので, ABE= ABE= AEB AEB AD// //BC より, EAD= EAD= AEB AEB 4,4 より, ABC= ABC= EAD 5,,5 より, 辺とそのとその間の角がそれぞれがそれぞれ等しいので, ABC ABC EAD
年ジャンプ 0 三角形と四角形 ~ 平行四辺形 ~ 右図のように, BCD=60 のひし形 ABCD がある 辺 BC 上に点 E をとり, 辺 BE を 辺とするひし形 BGFE をつくる このとき,AE=DG であることを証明しなさい DB をひくと, ABE と DBG において BE=BG ( 仮定 ) また, BAD= BAD=60 60, ABCD はひし形であることから,DA=AB よって ABD は正三角形正三角形であるから, AB=DB また,DC// //AB より, BCD= BCD= EBG= EBG=60 60 であるから, ABE= ABE= DBG= DBG=0 0 ~ より, 辺とそのとその間の角がそれぞれがそれぞれ等しいので, ABE ABE DBG したがって AE=DG 右図のように, 長方形 ABCD がある この長方形の外部に つの辺 CD,DA をそれぞれ 辺とする正三角形 CPD と正三角形 DQA をつくり, 線分 CQ が線分 PA, 線分 DA と交わる点をそれぞれ E,F とする () CDQ と PDA が合同であることを証明しなさい CDQ と PDA において DQ=DA ( 仮定 ) CD=PD ( 仮定 ) また, QDC = 90 + QDA = 50 ADP = 90 + CDP = 50 QDC= QDC= ADP ~ より, 辺とそのとその間の角がそれぞれがそれぞれ等しいので, CDQ CDQ PDA () AEF の大きさを求めなさい 60
年ホップ 確率 つのさいころを投げるとき, 次の確率を求めなさい ただし, さいころは, どの目が出ることも同様に確からしいものとします () の目の出る確率 () 偶数の目が出る確率 () または の出る確率 6 ジョーカーを除く5 枚のトランプをよくきってから 枚引くとき, 次の確率を求めなさい () ハートの出る確率 () 絵札の出る確率 () クローバーの が出る確率 4 5 A,B 枚の硬貨を投げるとき, 次の確率を求めなさい () 枚とも表の出る確率 () 枚が表で, もう 枚が裏である確率 4
年ステップ 確率 つのさいころを同時に投げるとき, 次の確率を求めなさい ただし, さいころは, どの目が出ることも同様に確からしいものとします () 出た目の和が 6 になる確率 () 出た目の積が になる確率 () 出た目の和が 5 の倍数になる確率 5 6 9 7 6 赤玉 4 個, 白玉 個の入った袋から, 続けて 個取り出すとき, 次の確率を求めなさい () つともに赤玉である確率 () 取り出した玉の色が異なる確率 () つともに同じ色である確率 7 4 7 7 0 本のうち 本が当たりになっているくじを A,B の 人が,A,B の順に 本ずつ引くとき, 次の確率を求めなさい ()A だけが当たる確率 ()B だけが当たる確率 7 0 7 0
年ジャンプ 確率 大小 つのさいころを投げて, 大きいさいころの出た目の数を χ, 小さいさいころの出た目の数を y とし, 点 P の座標 (χ,y) を決めることにします このとき, 点 P が 次関数 y=-χ+8 のグラフ上の点となる確率を求めなさい 人でじゃんけんを 回して, あいこにならない確率を求めなさい 右の図のような長方形,,を, さいころを 回投げて,,,の順に色をぬることにする さいころを投げて,の目が出たら赤,,4の目が出たら青,5,6の目が出たら黄色でぬること にして, 次の確率を求めなさい () 赤を使わない確率 8 7 () 同じ色が隣り合わない確率 9 4 Aさんは,,,5の数字をつずつ書いた 枚のカードを,Bさんは,,,4の数字をつずつ書いた 枚のカードを持っています 人とも, カードをよくきり, 自分の持っているカードの中から 枚ずつ取り出します このとき,Aさんの取り出したカードに書いてある数のほうが,Bさんの取り出したカードに書いてある数よりも大きい確率を求めなさい H 宮城県入試問題 A さんのカード B さんのカード 5 4 5 9
年スペシャル スペシャル問題 aを一の位の数字が0でないけたの自然数とし,aの十の位の数字をχ, 一の位の数字を yとします bをaの十の位の数字と一の位の数字を入れかえたけたの自然数とします 次の (),() の問に答えなさい H0 宮城県入試問題 ()0a-b は 9 の倍数になります そのわけを, 文字式を使って説明しなさい 例 a は 0χ+y,b は 0y+ y+χ と表されるから, 0a-b= a-b=0 0(0 0χ+y)-( +y)-(0 0y+ y+χ) =00 00χ+0 0y- y-0 0y- y-χ =99 99χ =9 χ χ は整数整数だから,9 χ は9の倍数倍数であるである したがって,0 0a-b は9の倍数倍数になるになる ()0a-b=79 が成り立つ a の値のうち, もっとも大きい値を求めなさい 89 縦に 行, 横に何列も並んだます目があります 下の図のように,,,, の自然数を順番に, 奇数列のます目には第 行から第 行まで, 偶数列のます目には第 行にだけ書いていき, 表を作ります なお, 下の図は第 列以降を省略してあり, また, は数字を省略して表したものです H4 宮城県入試問題 第第第第第第第第第第図 4 5 6 7 8 9 0 列列列列列列列列列列第 行 5 9 第 行 4 6 8 0 4 第 行 7
この表の一部分を, ちょうど縦 行横 列が入るように囲み, それをわくわくということにします たとえば, 真ん中の列が第 列であるわくわくは, 例 の太線で囲まれた部分です また, 真ん中の列が第 4 列であるわくわくは, 例 の太線で囲まれた部分です 例 第 第 第 第 第 第 例 第 第 第 第 第 第 4 5 6 4 5 6 列 列 列 列 列 列 列 列 列 列 列 列 第 行 5 9 第 行 5 9 第 行 4 6 8 0 第 行 4 6 8 0 第 行 7 第 行 7 次の ()~(4) の問に答えなさい () わくの真ん中の列が第 7 列のとき, わくの中にあるすべての数の和を求めなさい 70 () 第 n 列の第 行の数を,n を用いて表しなさい n () わくの真ん中の列が第 n 列のとき, わくの中にあるすべての数の和を,nが奇数の場合と, nが偶数の場合に分けて考え, それぞれnを用いて表しなさい ただし,nは 以上とします nが奇数の場合 0n nが偶数の場合 4n (4) わくの中にあるすべての数の和が 400のとき, わくの真ん中の列は第何列になりますか 第 00 列