暫定版修正 加筆の可能性あり ( 付録 ) 点群基礎 (). 三回転対称 2. 表現行列. 基底変換 4. 具体例 5. 簡約化 6. 指標表 7. 直積 付録 (75 76) のアプローチ : 群論 (group thor) の基礎. アンモニア (NH) でお馴染みの点群 (point group) について検討する 2. ダイヤモンド窒素空孔 (nitrogn acanc cntr in diamond) も点群 である. 点群 : 三回転対称 (rotation)+ 鏡映 (rflction) に話題を限定します 4. 付録 75では基底ベクトル 付録 76では基底関数を扱う 75-
三回転対称 :() 対称操作 (smmtric opration):2 反時計回り回転操作 赤矢印 : 非直交基底ベクトル以後 ベクトル は省略 2 反時計回り回転操作 : 非直交基底 x x x x 2 2 2 2 x + x + 2 2 2 2 x z 青矢印 : 直交基底ベクトル 75-2
三回転対称 :(2) 再掲 :2 反時計回り回転操作 青矢印 : 直交基底 x x x x 2 2 2 2 x + x + 2 2 2 2 x z 赤矢印 : 非直交基底 行列表示 :2 反時計回り回転操作 2 注意 : 括弧について 形式的に三個の基底ベクトルを束ねただけなので括弧 {} を使用した 括弧 {} 内にベクトルがある点を除けば 通常の行列演算で対応可能 以後 括弧 {} の使用を止めて 括弧 [ ] で基底ベクトルを束ねる 75-
表現行列 () 単位操作 ( 恒等表現 ):idntit 鏡映 :rflction E 反時計回り回転操作 : 2 反時計回り回転操作 : 24 2 75-4
表現行列 (2) 特徴 : 鏡映と回転 逆操作 : 逆回転 E 2 2, E 2,,, E 様々な性質 : 鏡映と回転 逆操作 : 逆鏡映も鏡映 赤矢印 : 非直交基底 2 2 注意 : 単位操作 ( 記号 E) E 75-5
基底変換 () 基底変換 : 非直交基底 ( 赤色 ) から直交基底 ( 青色 ) へ 赤矢印 : 非直交基底 2 6 6 6 + 2 2 + + x z x 比較 : 非直交基底ベクトル ( 赤矢印 ) と直交基底ベクトル ( 青矢印 ) 非直交基底は粒子の位置に対応するが 直交基底は粒子の位置と直接的な対応はない 三次元直交基底 : 単位ベクトル 基底ベクトル z, x z x z は +z 軸を向いているから 両辺を等号で結ぶことはできない 既約表現(irrducibl rprsntation) を得るためには考えない x 等の基底変換 z 青矢印 : 直交基底 75-6
基底変換 (2) Т: 基底変換行列 2 6 6 6 x x T T 2 2 z z 直交行列 : 逆行列と転置行列が一致 群論 (group thor) T 2 6 T T 6 2 6 2 非直交基底は 粒子位置 に対応するが 直交基底は粒子位置との直接的な対応はない 群論では対称操作を記述する 表現行列 を非直交基底から直交基底に書き直して ( 基底変換 ) 対称操作の特徴を系統的に理解します 直交基底変換後の 行列表示 に注目しましょう! 75-7
基底変換 () 一例 : 2 反時計回り回転操作 赤矢印 : 非直交基底 Т: 基底変換行列 x z z x x TT T T T 重要 : 基底変換前 ( 赤色 ) と変換後 ( 青色 ) の 2 反時計回り回転操作 T T 直交基底 ( 青色 ) 非直交基底 ( 赤色 ) 青矢印 : 直交基底 75-8 z
具体例 () 例 : 2 反時計回り回転操作 T T 2 2 6 6 6 6 6 2 T 6 2 2 2 6 2 2 6 2 6 2 2 2 2 cos2 sin2 sin2 cos2 x z あたりまえかな?: 2 反時計回り回転操作の回転軸は +z 軸 になります 75-9
具体例 (2) 一覧 : 鏡映操作 T T 2 2 2 6 6 6 6 6 T 6 2 2 2 6 2 6 2 6 2 参照 : 75-5 T T T T 2 T T T T TT 75-
一覧 : 回転操作具体例 () 2 2 2, 2 2 2 cos sin 2 2 sin cos 2 2 cos sin 2 2 sin cos T T E T T E T T π 75-
具体例 (4) 一覧 : 鏡映操作 E cos sin cos sin sin cos sin cos cos sin cos sin 2 sin cos sin cos 75-2
具体例 (5) 実感 : 非直交基底は 粒子位置 に対応するが 直交基底は 粒子位置 との直接的な対応はない ( 参照 :75-4) 単位操作 ( 恒等表現 ):idntit 鏡映 :rflction cos, sin c s x x ' x E ' z z ' z x x ' x ' z z ' z 反時計回り回転操作 : 2 x c s x ' x s c ' z z ' z x c s x ' x s c ' z z ' z 反時計回り回転操作 : 24 2 ' x ' z ' z x c s x s c z x c s x ' x s c ' z z ' z 75-
簡約化 () 可約表現 :rducibl rprsntation イメージ : 可約表現と既約表現 既約表現 :irrducibl rprsntation 2 2 簡約化 注意 : の行列? 今回は全部 ですが いつも全ての対称操作に対して とは限りません! 例えば - になることもあります cos sin cos sin sin cos sin cos, 2 cos sin cos sin sin cos sin cos 75-4 2π
簡約化 (2) 既約表現 : 行列表示 cos sin cos sin sin cos sin cos cos sin cos sin sin cos sin cos 既約表現 :irrducibl rprsntation 鏡映 : パウリ行列の z 成分 E c E 2 2 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] c s c s c s c s s c s c s c s c cos, sin s 75-5
簡約化 () ところが : にはもう一つの既約表現 2 がある! 注目 : 鏡映操作で符号反転 表現の名前 E 2 E 2 2 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] c s c s c s c s s c s c s c s c 注意 : 名前の表現 E と恒等表現 E を混同しない! 鏡映操作 : 行列表現 お詫び : 両者の違いについては付録 76 で議論する + E, 2 + E 青括弧 : 正符号 紫括弧 : 負符号 75-6
指標表 () 可約表現 :rducibl rprsntation 重要 : 可約表現と既約表現でトレース (trac) が一致 T T ( ) ( ) Tr ( T T ) Tr ( ) Tr Tr T T 既約表現 :irrducibl rprsntation cos sin cos sin sin cos sin cos, 2 cos sin cos sin sin cos sin cos 75-7 2π
指標表 (2) 既約表現 : 指数表 可約表現 : 指数表 E 2 2 E 2 E 2 Γ 対称操作 : 行列表現 可約表現 : 指数表 Γ + E 指標表 (charactr tabl): なにがいいたいのかな? 可約表現の指数表は容易に作成できる ( と思う ) 既約表現の指数表は予め用意されている 指数表を比較すれば 即座に 簡約化できる! 群論では対称操作を記述する 表現行列 を非直交基底から直交基底に変換して 対称操作の特徴を系統的に理解します 但し 面倒くさい計算 は不要である 75-8
直積 一例 : 既約表現同志の直積 (tnsor product) E 2 E 2 E E 4 E E + 2 + E E 2 2 E 2 目的 : 直積の簡約化, E E 2 2 E E, E E 2 2 E E + + E 注意 : 直積のトレース 2 指標表 (charactr tabl): なにがいいたいのかな? 可約表現の指数表は容易に作成できる ( と思う ) 既約表現の指数表は予め用意されている 指数表を比較すれば 即座に 簡約化できる! 群論では対称操作を記述する 行列表示 を非直交基底から直交基底に変換して 対称操作の特徴を系統的に理解します 但し 面倒くさい計算 は不要である 更に 直積の簡約化にも便利! 既約表現 2 がないと直積の簡約化ができません 三回転対称 () の既約表現は三種類 既約表現 既約表現 2 既約表現 E ( ) ( ) r ( ) Tr Tr T 75-9