確率分布 - 確率と計算 6 回に 回の割合で の目が出るさいころがある. このさいころを 6 回投げたとき 度も の目が出ない確率を求めよ. 5 6 /6 6 =565/46656=.48 (5/6) 6 =.48 ある市の気象観測所での記録では 毎年雨の降る日と降らない日の割合は概ね :9 で一定している. 前日に発表される予報の精度は 8% で 残りの % は実際とは逆の天気を予報している. この観測所が 明日は雨が降らない と予測した場合 明日雨が降らない確率は? : 雨が降らない事象 : 雨が降る事象 : 降らないと予想する事象 ( )=.8 ( )=. 求める事象の確率は ( ) ( )=()( ) ( )= ( )/() ()= ( )+ ( ) ( )=()( )=.9.8=.7 ( )= ()( )=..=. ( )=.7 /(.7 +.) =7/74
確率分布 - 確率と計算 当り 本 外れ 6 本の 8 本のくじが無作為に 4 本ずつ と に入っている. 最初に春子が から 本のくじを引いたところ 当りであった. 次に夏夫が引く番であるが どちらの箱から引くべきか? の箱に 本の辺りが入る事象を 本の事象を 春子がから当りを引く事象を ( )=()( ) ( )=()( ) 夏夫がから当りを引く確率は ( ) /={()/( )}/()={( 6 C C )/( 8 C 4 /4)}/()=/8() 夏夫がから当りを引く確率は ( ) /4={()( )}/4()={( 6 C C )/( 8 C 4 /4)}/4()=6/8() 4 人でじゃんけんをし 勝者が 人になるまで続ける. 負けた人は次の回に参加できないとして次の確率を求めよ 回のじゃんけんで勝者が 人決まる確率 回のじゃんけんで勝者が 人決まる確率 4 人の手の出し方は 4 =8 人決まる組合せは 4 通りの勝者と 通りの手の出し方 4/ 4 =4/7<----- = 4 C / 4 回目のじゃんけんで 人が勝ち残る確率を ただしあいこは皆が勝ったこととする = 4 C / 4 = 4 C / 4 4 =-( + + ) 回目のじゃんけんに 人が参加したときに 人が勝ち残る確率をq q = C / q = C / q 4 = 4 C / 4 q + q + 4 q 4 = 一般に 人がじゃんけんを 回行って 人が勝ち残る確率 () の場合を検討せよ
確率分布 - 確率変数 赤い実 5 個と青い実 7 個が餌台にある. 鳩が 4 つの実を食べた. 食べた実のうち赤い実の個数を としたとき =4 となる確率は? (=)=7C4/C4 (=)=5C 7C/C4 (=)=5C 7C/C4 (=)=5C 7C /C4 (=4)=5C4/C4 確率変数 の平均は? Σ (=I) = (=)+ (=)+ (=)+ (=)+4 (=4) の平均を () と表し 期待値と呼ぶ. つのサイコロを の目が出るまで投げるとき 投げる回数の期待値は? (=)=q - ()=+q+q +4q + q()=q+4q +6q +8q 4 + ={()-}+q () ()-q()+ q ()= (-q) ()= ()=/ (-q) =/ 平均の加法性を証明せよ 確率変数 Y に対して積 Y も確率変数になる. では 積の平均は平均の積に等しいか?
確率論の基本定理と分布関数. 基本定理 a. 確率 b. 基本定理. 平均と分散 a. 分布関数 b. 平均 c. 分散 d. 平均と分散に関する基本定理. 特性関数. データの整理 a. ヒストグラム b. パラメータ 4. 次元分布関数 a. 周辺分布 b. たたみこみ c. 相関係数 5. マルコフ過程 a. 遷移行列 b. エルゴード過程 6. 離散分布 a. 項分布 b. ポアソン分布 7. 連続分布 a. 正規分布 b. 対数正規分布 c. 指数分布 d. ワイブル分布. ガンマ分布
基本定理 確率 :obably 加法定理 条件付確率 :codoal obably 乗法定理. c..
基本定理 乗法定理 b が独立事象ならば 個の事象 C についても.6.5.4 C C C C
基本定理 ベイズの定理 ( モスコビッツの定理 ) が互いに排反 事後確率 が起こったとき 原因 によったものという条件付確率 事前確率.8.7
例 :. の制御部分を持つシステム 信頼度は R( )=.9R( )=.96R( )=.99 動作不能となる条件付確率は ( )=. ( )=.5 ( )=. 制御部分の故障のため異常が生じた どの部分をチェックすればよいか. 5..995.8955 8.4..4.4.4.9..4.9 R R R
例 :.4 以下の条件の下で と受信されたもの およびと受信されたものが 正し く受信されている確率を求めよ. 通信文の中にあるの割合 ()=/5 通信文の中にあるの割合 ()=/5 発信 を正しく受信する確率 ( )=/4 発信 をと誤受信する確率 ( )=/4 発信 を正しく受信する確率 ( )=4/5 発信 をと誤受信する確率 ( )=/5 45 5 47 8 5 5 47
平均と分散 /. 分布関数 分布関数 離散確率変数 の定める分布 ; 離散の値 確率. を対応 連続確率変数 ある範囲内のどの値もとりえて 任意に指定される値 以下の値をとる確率が与えられている変量 分布関数と確率密度関数.9 d. l l v a b b a
. 平均 平均 期待値 離散確率変数 連続確率変数 o: 連続確率変数の場合は 積分表示する. d d
C. 分散 分散 標準偏差 基本的定理 V V V.4. V a a V cos a dd v V a b a V cos b a a a cos a b a b a cos b a.6.5
. 特性関数 の特性関数 K 次のモーメント 平均 分散.7.8 V d d * 例.6 を各自で確認する
. データの管理 / パラメータ ヒストグラム 階級 階級値 度数 : 階級内のデータの数 相対度数 度数分布 / 相対度数分布 累積度数分布 / 累積相対度数分布 パラメータ 平均値 範囲 / ag Mod 中央点 ヒストグラムの面積を 4 等分する縦線 第 四分位数 /4 第 四分位数 /4 ( 第 四分位数 ) メジアン /4 四分位範囲 /4 -/4 M h h h R ag d da : :..
データの管理 / パラメータ.6 5.5.4.. s a s s 平均値 標準偏差分散の平方根の正の方 分散 不偏分散 平均偏差 偏差値
標本分散 ( 補足 ) 個のデータ... があって をそのデータの相加平均とした時の平均を標本分散という 標本分散は 無限桁が計算できる場合には 乗の平均から平均の 乗を引いた値 母分散 σ の推定値としては右の式で表される不偏推定量 s( 不偏分散 ) を用いることが多い s 標本分散の正の平方根すなわち σ を標準偏差と呼ぶ
.4 次元分布関数 /. 周辺分布 同時 ( 結合 ) 分布関数 同時確率関数 () 同時 ( 結合 ) 確率密度関数 (y) y Y y.7 y y Y y.8 y ddy.9 y y y.
次元分布関数 / 周辺分布離散確率変数 Y 周辺確率関数 周辺確率密度関数 Y y. Y y Y y. ydy y y. 4 d. 周辺分布関数 独立 d ydy.5 y y.6 y y.7.8
. たたみこみ Z=+Y の定める分布の確率密度関数 z z d z y ydy.9.4 G g G d d
C. 相関係数確率変数 Y に対して 共分散 相関係数 無相関.4.4 y Y.4 Y Y Y Y Y.45.44 Y Y Y Y.46 Y
.5 マルコフ過程 /. 遷移行列 マルコフ過程 単純マルコフ過程 マルコフ連鎖 状態 遷移確率 (a) (b) (b) (a)
マルコフ過程 / マルコフ行列 & シャノン線図 4 4 4 4 4 4 44.47 4.48 / S / / S / S
マルコフ過程 /. エルゴード過程 消散状態 定常状態定常状態遷移定常分布確率ベクトル S S S5 消散状態 / 過度状態エルゴード過程 S S S4 S7 S6 特異 / 周期的正則 / 非周期的 閉じた状態集合非周期的 S8 閉じた状態集合周期的
マルコフ過程 / 特異 周期的 定常分布の確率ベクトル 特異 : 状態と状態を結ぶ遷移線の個数があらゆるループについて 以外の公約数を持つ場合. 遷移行列 S S S / / / / / /.5.49 l W W w w w 7 4 7 w w w w w w w w w w w w
.6 離散分布 /. 項分布 ある事象が起こるか 起こらないか の 通り. 起こる確率 事象の起こる回数.55.54 : :.5.5.5 : y y y q q q C q q q C b q q C V q C q C b
. ポアソン分布 を一定の整数 は の内の つの整数をとる確率変数 式 (.6) は 例えば 故障が観測される確率を意味する.6! l : l.6!!!!.59!.58!.57!.56! : q C b V
.7 離散分布 /. ポアソン分布の例 日にかかって来る電話の回数はポアソン分布し その平均は 回である.. 日に 回以上かかって来る確率 9. 547. 日に5 回以上かかって来ない確率 4!. 日に 回もかかって来ない確率! 4. 日にちょうど 回かかって来る確率 4!! 9 4. 95. 454. 5 4
. 正規分布 μ= σ= のとき =z とおくと 確率密度関数と分布関数は次になる. ψ(z) 標準正規分布の確率密度関数と呼び 確率変数 Z は N() の分布をする という..64.6.6 V d.67.66.65 u Z u u u Z d z Z z z z
連続分布 / 正規分布 Z の分布は N() となる. が N(μσ ) の分布をすると.69.68.67 dz z dz z d d Z u Z u u u Z.7.7 a b b a Z
連続分布 / 正規分布の例 ある製品の集まりの特性値は N(85) の分布をしている. ランダムに 個取り出すときの次の特性値をもとめる..75 以下である確率.8 以上である確率. 平均値からの偏差が 以内である確率 4. 平均値からの偏差が 以上である確率 5. ランダムに 4 個とるとき 全てが平均値から偏差が 以内である確率 6. ランダムに 個とるとき 個とも平均値からの偏差が 以上である確率 8 5 75 Z Z Z 8 Z Z.4 78 8.4.4 4 77 8 75 8 5 8 8 5 8 8 5 Z.4 Z.4 Z.4.446.8 8 8 5 78 8 5.446 77 8 5.587.6.6 Z.6 Z.6 Z.6.74.5486 4 5.8.9 6.5486. 96
連続分布 / 対数正規分布 l =log 対数正規分布は システムやユニットの修理時間 図書の貸し出し返却時間の分布に よく当てはまる l 式 (.77) で l を横軸にした () のグラフは正規分布となる μ が σ に対して十分大きいとき 正規分布に近づく V.77.78.79
C. 指数分布 指数分布は 故障の発生時間の分布 サービス部門に客が到着する時間間隔の分布に良く当てはまる. ポアソン分布は 観測時間を一定にして その間にランダムに事象が 回発生する確率の離散分布 指数分布は 事象が起こらないで経過した時間 の分布 V d.8 d.8 d.8.8
連続分布 / 指数分布例 時間にランダムに 回故障する確率 (λ) 時刻 τ で故障する確率 (- τ) 時間で (- ) 回故障する確率 時間で 回故障する確率!! ; ;! ; ; ; ; ; ; ; ; ; d d d d d d d d
D. ワイプル分布 ワイプル分布は 部品の寿命の分布に良く当てはまるので 信頼性工学で利用される 形状パラメータ ; 尺度パラメータ ; -> -γ; 位置パラメータ γ.87.86.85.84 d V d
ワイプル分布 ガンマ関数の定義と性質 u u du.88.89! aual ub.9
. ガンマ分布 形状パラメータ : 尺度パラメータ :/a 自由度 の χ 分布 =/ a=/ = 指数分布 V a.9 d.9 d.94 a a.95 V.96 a
ポアソン分布の部分和と χ 分布の関係 事象の発生が + 個以上になる確率 -α 事象の発生数が 個以下の確率を α (+) は自由度 Χ の値は Χ 分布表の自由度が (+) で 確率が α に対応する!.98!.99.97 = α =λ;γ(λ) を階数 のアーラン分布 V..
離散分布の関連 b 項分布 q 正規分布 ; N q ポアソン分布! 正規分布 N 指数分布 Χ 乗分布
連続分布の関連 ワイブル分布 ガンマ分布 W カイ 乗分布 W 指数分布 ポアソン分布 正規分布 N アーラン分布 対数正規分布