確率の事 1 1 から 6 までの目が出る大小 2 つのさいころを同時に投げるとき 出る目の積が奇数となる確率を求めなさい (2006) 解説 さいころを 2 回投げるので 分母は6 6=36 であり 積が奇数になるということは 2 回とも奇数が出る場合であるから 1 3 5を使って数えると9 通り よって 9 36 x1 4 5 本のうち 2 本のあたりくじが入っているくじがあります このくじを A さんが先に 1 本ひき 残った 4 本のくじから B さんが 1 本ひくとき A さんと B さんの 2 人ともあたりくじをひく確率を求めなさい (2004) 解説 A さんが引くときは5 本 B さんが引くときは4 本になるので 分母は 20 通り あたりは2 本あるので 2 人ともあたる場合の数は2 通り よって 2 20 x 1 10 3 枚の硬貨 A, B, C を同時に投げるとき 3 枚とも表が出る確率を求めなさい (2003) 解説 3 枚の硬貨を投げると分母は 2 2 2=8. 3 枚とも表になるのは 1 通り よって 1 8 5 本の新しいえんぴつすべてを A さん B さん C さんの 3 人に分けることにします 分け方は全部で何通りあるか求めなさい ただし えんぴつはすべて同じものとし 3 人全員が少なくとも 1 本は受け取るものとします (2010) 解説 全員が少なくとも 1 本は受け取る ので0 本はないので 5 本の分け方は (1,1,3) (1,2,2) が並び変わった分け方となる よって6 通り 1 から 6 までの目が出る大小 2 つのさいころを同時に投げるとき 出る目の差が 4 になる確率を 求めなさい (2002) 解説 分母は 36 である 差が 4 ということはどちらが大きくても良いということで 分子は 4 通り つまり 4 36 x1 9
右の図のように 1 から 5 までの数字が 1 つずつ書かれた 5 枚のカードがあります この 5 枚のカードをよくきって 1 枚取り出し カードの数字を調べてからもとに戻します 確率の事 2 次に もう一度 5 枚のカードをよくきって 1 枚取り出し カードの数字を調べます はじめに取り出したカードの数字を, 次に取り出したカードの数字を b として b の値が整数とな る確率を求めなさい (2015) 解説 1 回目も 2 回目もカードは 5 枚あるので 分母は 25 =1 のとき b=1, 2, 3, 4, 5 =2 のとき b=2, 4 =3 のとき b=3 =4 のとき b=4 =5 のとき b=5 の 10 通り したがって 10 25 x2 5 袋の中に 赤玉が 1 個 青玉が 2 個 白玉が 3 個入っています この袋の中から 同時に 2 個の玉を取り出すとき 少なくとも 1 個は白玉である確率を求めなさい ただし 袋の中は見えないものとし どの玉の取り出しも同様に確からしいものとします (2016) 解説 同時に2 個とるときの分母は1 個ずつの時の半分 つまり10 通り 少なくとも1 個は白 なので赤や青だけの時はダメなので 3 通りはダメ したがって 7 10 右の図のように A( 1, 0 ), B( 4, 0 ) をとります 次に 1 から 6 y までの目が出るさいころを 2 回投げて 1 回目に出た目の数を 2 回目に出た目の数を b として (, b ) を座標とする点 P をとります ABP の面積が 3cm 2 となる確率を求めなさい ただし 座標軸の単位の長さを 1 cm とします (2013) 解説 分母は 36 である AB の長さが 3 なので高さが 2 であればよい つまり b が 2 であれば は何でもよい したがって 6 36 x1 6 5 O A B 5 b 階段を上がるとき 1 段ずつ上るか 2 段ずつ上るか 1 段と 2 段をまぜて上るかのいずれかとします 例えば 階段が 3 段のときの上り方は 下の図のように考えると 1 段ずつ上ると 1 段 +1 段 +1 段 の 1 通り 1 段と 2 段をまぜて上ると 1 段 +2 段 2 段 +1 段 の 2 通り 2 段ずつは上れないので 上り方は全部で 3 通りあります 階段が 5 段のときの上り方は 全部で何通りあるか求めなさい (2007) 1 段 +1 段 +1 段 1 段 +2 段 2 段 +1 段 解説 2 段と 2 段と 1 段の場合は 3 通り 2 段と 1 段を 3 回の場合は 4 通り 全部 1 段ずつの場合は 1 通り よって全部で 8 通り
確率の事 3 下の段から順に 1 から 8 の番号をつけた階段があります 1 から 6 までの目が出るさいころを投げ 奇数の目が出たときは その目の数だけ 1 段ずつ階段を上り 偶数の目が出たたきは その目の数に関係なく 1 段だけ階段を下ります ただし 8 番の段に達したときに 階段を上る数が残っていれば 8 番の段から残っている数だけ 1 段ずつ階段を下ります たとえば 6 番の段にいるときに 5 の目が出た場合 2 段上ると 8 番の段に達します 階段を上る数が 3 残るので 3 段下りて 5 番の段に着きます 2 段上がる 3 段下りる いま 4 番の段にいる A さんがさいころを 2 回投げて ちょうど 8 番の段に着くさいころの目の出方は全部で何通りあるか求めなさい (2014) 解説 奇数が出たら+その数 偶数だと-1 と考えて 2 回で +4 になればいい 1 と 3 3 と 1 偶数と 5 ただ 最初に 5 が出ると 1 つさがって 7 の段になるので 5 と 1 よって 6 通り 表が白 裏が黒のメダルが 9 枚あります この 9 枚のメダル全部を白にして 右の図のように縦横 3 枚ずつ並べます 第 1 列 第 2 列 第 3 列 また それぞれ縦横 3 枚ずつのメダルを第 1 列から第 6 列とします このとき 次の操作を 2 回続けて行います (2008) 列 1 回も裏返さないのは 2 回ともむ 1,3,4,6 の場合で 16 通り よって 20 36 9 x5 操作 1 から 6 までの目が出るさいころを 1 回投げて 出た目と同じ数の列のメダル 3 枚をすべて裏返します 例えば 1 回目に 1 の目が出ると第 1 列を裏返し 2 回目に 4 の目が出ると第 4 列を 裏返すので 次のようになります 1 回目 2 回目 メダル全部が白の状態から 操作を 2 回続けて行うとき 結果として 9 枚のメダルの中央のメダ ルが白である確率を求めなさい 解説 真ん中のメダルを 2 回裏返すか 1 回も裏返さないかのどちらかである 2 回裏返すのは 2 回とも 2 か 5 が出る場合で 4 通り 第6列
確率の事 4 袋の中に 1, 2, 3, 4, 5 の数字を書いた玉が 1 個ずつ入っています この袋の中から球を 1 個取り出し 数字を調べてから その玉を袋に戻します 続けて 玉を 1 個取り出し その玉の数字を調べます はじめに取り出した玉の数字を十の位 次に取り出した玉の数字を一の位として 2 けたの整数をつくるとき その整数が 3 の倍数になる確率を求めなさい ただし 袋の中は見えないものとし どの玉が出ることも同様に確からしいものとします (2009) 解説 取った球を戻すので 分母は 25 3 の倍数になるのは 1 と 2 1 と 5 2 と 4 3 と 3 のときで 7 通り したがって 7 25 A さんのクラスで腕相撲大会を行います 選手は 必ずほかの選手全員と 1 回ずつ対戦するものとします 選手が 2 人のとき 行われる試合の数は 1 試合です 選手が 1 人増えて 3 人になると 試合の数は 2 試合増えて全部で 3 試合となります A さんは 選手の人数とそのとき行われる試合の数を下の表にまとめることにしました このとき 次のア イに答えなさい (2008) 選手の人数 ( 人 ) 2 3 4 5 6 行われる試合の数 ( 試合 ) 1 3 55 ア選手が 5 人のとき行われる試合の数を求めなさい 解説 必ずほかの選手全員と 1 回ずつ対戦する ので総当たり戦なので組み合わせ よって 10 試合 イ行われる試合の数が 55 試合のとき 選手は何人ですか その人数を求めなさい 解説 組み合わせを C を使って考えているようだと中学生にとっては難しいかも知れない 式 b(bp1) 2 x55 bx11,p10 よって 11 人 2 色の正方形のタイル 8 枚を 右の図のようにしきつめました このとき A をスタートして 隣のタイルへ移動しながら H にゴールする方法を考えます 例えば A B D F H のように 2 色のタイルを交互に通って H にゴールする方法はこの例を含めて何通りあるかを求めなさい ただし 同じタイルは通らないものとし すべてのタイルを通る必要はありません (2011) 解説 2 色のタイルを交互に通って とあるが 斜めに進まないということである ABDFH ABDCEFH ABDCEGH ACDFH ACDFEGH ACEGH ACEFH よって7 通りである
確率の事 5 A さん B さん C さん D さんの 4 人がそれぞれ 1 個ずつのプレゼントト, b, c, d を持持ち寄り パーテティーを行行いました これらのプのプレゼントを互いに交換して 全員が自分分の持ってきたプレゼント以外のものを 1 個ずつ受け取取るとき ここの受け取り方は全部部で何通りあるか求めなさい (2012) A B C D 解解説 問題題を理解したら注意して樹形図を書書く A B C D A B C D b d c c d b b c d c d d c d b d b A さんが c を取ると C さんは何何でも良い A さんが b を取ると B さんは何何でも良い だから残りの2 人に注意意して樹形図を書書く A B d c c C D b b b c よって 9 通り 標本調査を利用して ある池にいる鯉の総数を調べるために 次の実験験をしました 池のあちこちで鯉を合計 50 匹捕獲し ここの鯉全部部に印をつけて池に戻戻しました この後 ふたたび同じようにして鯉を 40 匹捕獲したとところ そのうち印のついた鯉鯉は 8 匹でした この池にいる鯉の総総数は およそ何匹かを推測して求めなさい (2011 後 ) 解説 標標本調査の問題であるが 要は比例である なので比の式が考考えやすい 全体 : 印 =40 : 8 =x : 50 よって 250 匹 箱の中に同同じ大きさの白玉と黒黒玉が合わせて 480 個入っていいます 標本本調査を利利用して 箱箱の中の黒玉の数数を調べます この箱箱の中から 56 個の玉玉を無作為為に抽出したところ 黒玉は 35 個ふくまれていました 箱の中の黒黒玉の数は およそ何何個と推測測されるか求求めなさい (2015) 解説 これも上と同様 全体 : 黒 =56 : 35=480 : x よって 300 個
確率の事 6 基本的な確率の問題では 分母は掛け算で求まり 分子は数えて求める ということになりま す つまり 分子の場合の数 の数え方が重要です 代表的な数え方としては 樹形図 と 表 なのですが 問題設定の特徴を捉えると数え方が 簡単になることも結構あります 試験時間の中では 簡単な数え方に気づかないことも多いと思いますから 対策の勉強としては 樹形図や表での数え方 を中心として勉強し その過程で簡単な方法に気付く考え方を勉強 する方がいいでしょう