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1 基礎科学 : 物質科学 電磁気学 - まとめと図表 - 教養学部統合自然科学科 ( 物質基礎科学コース ) 前田京剛 (MAEDA, Atsutaka) 時間割コード : 年 A セメスター木曜 限 53 教室 理一 8-9, 9, 9 前田研究室 HP:

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7 はじめに : 電磁気学の歩み

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9 電磁気学実験の曙 (Wikipedia) Pieter an Musschenbroek ( ) Il Conte Alessandro Giuseppe Antonio Anastasio Volta ( ) Charles-Augustin de Coulomb ( ) (746) (800) (785) 図の出典 : 物理学 One Point :E と H,D と B ( 成瀬立成著 ( 共立出版 ))

10 電磁気学の発展 Michael Faraday ( ) Hans Christian Ørsted ( ) (80) (83) André-Marie Ampère ( ) (80) Heinrich Rudolf Hertz ( ) (887) 図の出典 : 物理学 One Point :E と H,D と B ( 成瀬立成著 ( 共立出版 ))

11 クーロンの実験の問題点とキャベンディッシュの実験 (Wikipedia) Henry Caendish ( ) 内部導体球上の電荷の有無を測定 図の出典 : 歴史を変えた物理実験 ( 霜田光一著 ( 丸善 ))

12 キャベンディッシュの実験の改良 () S. J. Plimpton and W. E. Lauton : Phys. Re. 50 (936) 066. 図の出典 : 歴史を変えた物理実験 ( 霜田光一著 ( 丸善 )) マックスウェルの理論の助けを借りて, 導体球上の電荷を測る代わりに電流を測定 電流の測定なので, はく検電器でなく, 微小電流計が使える 外球をはずすというプロセスをなくすことにより, 内球の余計な帯電を防ぐ 短時間に外球の電圧を on-off し, 且つ, 急すぎない ( 低周波の正弦波を使う ) 低周波高圧正弦波(3,000V) の電圧発生器を自作

13 キャベンディッシュの実験の改良 () D. F. Ballett, P. E. Goldiagen, and E. A. Phillips : Phys. Re. D (970) 483. 個の球の isolation の改良 このために, khz の交流を使う ロックイン検出を利用 E. R. Williams, J. E. Faller, and H. A. Hill : Phys. Re. Lett. (97) 7. 先端エレクトロニクス技術, 光技術を駆使した計測 f = 4 MHz, V = 5,000 V ロックイン検出, 光ファイバー 3 日間データをとり, 平均する 図の出典 : 歴史を変えた物理実験 ( 霜田光一著 ( 丸善 ))

14 Deiation from Coulomb s law F ( ( q ) r) r q ポテンシャル ( U ( r) q r ) Maxwell, Electricity and Magnetism, I, p. 83. V(a) : 半径 a の内球の電位 V(b) : 半径 b の外球の電位 V ( b) V V ( a) ( a) q A. Proca, J. Phys. (Paris) 8 (938) 347. M. A. Ginsburg, Astron. Zh. 40 (963) 703. もし photon ( 光子 ) に静止質量 m 0 があるとすると V b) V ( a) V ( a) ( k 6 ( a b ) U ( r) e r m c k 0 kr

15 E. R. Williams, J. E. Faller, and H. A. Hill : Phys. Re. Lett. (97) 7.

16 クーロンの法則 q q r r F 3 40 r 40 r q q r r r q q r ( F r 3 ) q q r (SI) 四元 0 4c kg m c s (cgs) 三元 q : C (Coulomb) () 逆二乗則 : 正確に.0 ((cf) Caendish) () 電荷の積に比例 重ね合わせの原理 (3) 比例定数 : 単位系による 電場 (electric field) F qe 電荷が自分の周りの空間の性質を変化させ, それが他の電荷に力を及ぼす ( 近接作用 ) 電気力線 : ベクトル場の線による表現

17 ガウスの法則 ( 積分形 : 遠隔作用的 ) C上 EdS 0 C内の全電荷量 C: 任意の閉曲面 ds: 大きさ ds, 向き 面の法線方向 ( 微分形 : 近接作用的 ) die 0 r r : rにおける電荷密度 電荷から ( に ) 電気力線が出る ( 入る ) エネルギー保存則 ( 積分形 : 遠隔作用的 ) 上 Eds 0 ds : 大きさ ds, 向き : 任意の閉曲線 曲線の接線方向 ( 微分形 : 近接作用的 ) rote 0 静電場は渦なし ( クーロン力は保存力 )

18 静電ポテンシャル r r E r dr 静電ポテンシャル 経路によらない場所だけの関数 E grad r r 0 r 境界条件を与えれば解は一意に決まる (Poisson 方程式 ) r : rにおける電荷密度 特に, 電荷のない点では r 0 (Laplace 方程式 ) Poisson 方程式 ( あるいは Laplace 方程式 ) を境界条件とともに解き, 静電ポテンシャルを求め, それを微分すれば電場が求まる

19 ベクトル場の微積分 () dv : 微小体積要素 ds: 大きさ ds, 向き ds : 大きさ ds, 向き 面の法線方向 曲線の接線方向 ガウスの定理 A ds dia dv ( ベクトル場の表面積分と体積積分の変換 ) C上 C 内 C: 任意の閉曲面 A : ベクトル場 ストークスの定理 上 A ds C上 rota ds ( ベクトル場の線積分と表面積分の変換 ) : 任意の閉曲線 C: 閉曲線 で張られる曲面

20 勾配 z y x ( スカラー ベクトル ) 発散 A A y A x A x A z A z A y A x y z x y z rot ( ベクトル場 ) A A z A y A x A z y x di A z A y A x A A grad ( 向き : 最も傾きの大きな方向, 大きさ : その方向の傾き ) ベクトル場の微積分 () 回転ラプラシアン A z A y A x A A ( ベクトル スカラー ) ( ベクトル ベクトル ) ( スカラー スカラー ) z y x A A A A ( スカラー場 ) nabla A ( 湧き出しの大きさを単位体積当たりに換算した量 ) ( 各方向の循環の大きさを単位面積当たりに換算した量 )

21 ベクトル場の発散と回転問 : 発散, 回転がゼロでないものが二つずつある どれか? バークレー物理学コース ( 飯田修一訳 : 丸善 )

22 問の解答 バークレー物理学コース ( 飯田修一訳 : 丸善 )

23 物質の誘電率 空の容量 : C 0 物質挿入時の容量 : C r C C 0 比誘電率 (MKSA) (relatie permittiity) 誘電率 (cgs) (dielectric constant) r (Kraus-Fleisch : Electromagnetics)

24 物質の分極 : P (Kraus-Fleisch : Electromagnetics) 単位体積あたりの双極子モーメントあるいは単位面積あたりの表面電荷密度 P np P ( )E 0 r

25 電気双極子モーメント (Kraus-Fleisch : Electromagnetics)

26 物質中のガウスの法則 dip di E 0 : 真電荷密度 : 分極電荷密度 : 全電荷密度 D 0 E D E di D P P 0 E r D : : 電気変位 誘電率 物質中のガウスの法則 : 感受率 r : 比誘電率 異なる物質の境界 電場のエネルギー密度 D n D n E t Et u D E

27 物質の電気抵抗率 電気伝導度 物理 II ( 東京書籍 ) V RI 抵抗 I GV コンダクタンス R G L S S L : 電気抵抗率 [ m] (electrical) resistiity : 電気伝導度 [ m] - (electrical) conductiity L: 試料の長さ S: 断面積 (87) (cf: Caendish:78) (Wikipedia) Georg Simon Ohm ( )

28 ( 物質の電気伝導度 ) (Kraus-Fleisch : Electromagnetics)

29 電流の保存則 ( 積分形 : 遠隔作用的 ) C上 jds d dt C内の全電荷量 C: 任意の閉曲面 ds: 大きさ ds, 向き 面の法線方向 ( 微分形 : 近接作用的 ) dij t r 0 r : rにおける電荷密度 連続の式, 電流の保存則, 電荷の保存則 定常電流 dij 0 ( 定常電流の保存則 ) j E ( オームの法則 ) 静電場ではない w je ( ジュールの法則 )

30 ビオ = サヴァールの法則 (80) (Wikipedia) db k Idsr 3 r ds :" 電流素片 " 右ねじの法則 Jean-Baptiste Biot ( ) Félix Saart ( ) 電流間に働く力 ( アンペール ) (80) df Ids B 磁場 B から 電流素片 が受ける力 長さ の導線に働く力 4 II R 0 F I I ( F R ) (SI) (cgs) 四元 N A 三元 I : A (Ampere) André-Marie Ampère ( )

31 真磁荷不在の法則 ( 積分形 : 遠隔作用的 ) C 上 B ds 0 C: 任意の閉曲面 ds: 大きさ ds, 向き 面の法線方向 ( 微分形 : 近接作用的 ) dib 0 真磁荷はない ( 磁力線には湧き出しも吸い込みもない ) アンペールの法則 ( 積分形 : 遠隔作用的 ) 上 B ds 0 I rotb 0j ds : 大きさ ds, 向き : 任意の閉曲線 I : をつらぬく電流 ( 微分形 : 近接作用的 ) j: 電流密度 曲線の接線方向 電流があると, その周りを取り巻くように磁場ができる

32 ベクトルポテンシル B rota dia 0 A : ベクトルポテンシャル ( 必ず存在 ) という条件のもとで r A 0 j 特に, 電流のない点では A r 0 r 境界条件を与えれば解は一意に決まる (Poison 方程式 (3 成分 )) (Laplace 方程式 ) r j : rにおける電流密度 Poisson 方程式 ( あるいは Laplace 方程式 ) を境界条件とともに解き, ベクトルポテンシャルを求め, それを微分すれば磁場が求まる

33 物質の透磁率 (Kraus-Fleisch : Electromagnetics) 空のインダクタンス : L 0 物質挿入時のインダクタンス : L r L L 0 比透磁率 (MKSA) (relatie permeability) 透磁率 (cgs) (permeability) r 帯磁率 (magnetic susceptibility) X は通常, 非常に小さい 0 0 : 常磁性 : 反磁性

34 (Kraus-Fleisch : Electromagnetics) 反磁性 常磁性 強磁性 反強磁性 フェリ磁性 フェライト 超常磁性

35 棒磁石と磁気モーメント m (Kraus-Fleisch : Electromagnetics) 棒磁石が磁場から受ける力 ( トルク ) : T T mb m : 磁気モーメント m Q Q m : 磁荷 m L

36 分子電流 と磁気モーメント ループ状の電流は棒磁石と等価 m QmL IA (Kraus-Fleisch : Electromagnetics)

37 物質に磁場をかけると, 分子電流 の向きが揃い, 棒磁石のようになる (Kraus-Fleisch : Electromagnetics)

38 物質の磁化 : M 単位体積あたりの磁気モーメント ( の総和 ) あるいは単位長さあたりの 電流密度 M m V NI L [M]=A/m (N : 単位長さあたりの 巻き数 ) M r 0 r B

39 物質中のアンペールの法則 B 0( H M) B H rot j rot M rot B j 0 H j j H : 磁場の強さ : 透磁率 j: 真電流密度 j: 磁化電流密度 j j: 全電流密度 H 物質中のアンペールの法則 0 ( B M) 0 M H r 異なる物質の境界 : 磁化率 r : 比誘電率 磁場のエネルギー密度 B n Bn H t H t u H B

40 磁気モーメント 磁化 : 補足 M V s( V 内 ) m s : 磁化 ( 単位体積当たりの磁気モーメント ) m s 全空間 A sd 3 r : 磁気モーメント ( A s : 磁気モーメント密度 ) ( 導出略 ) m s 全空間 3 r j d r s ( j s : s 番目の原子の 分子電流 ) s 番目の分子の重心を座標原点にとる m s ( 大きさ) :( 電流の流れる面積 ( 方向 ): 電流面に垂直 )( 電流の強さ )

41 ファラデーの法則 (83) ( 積分形 : 遠隔作用的 ) V d dt 電磁誘導現象 ( 微分形 : 近接作用的 ) B rote 0 t ( 自己 ) インダクタンス V emf E ds 上 B ds C 上 emf E : 誘導起電力 ( の定義 ) : コイルの回路 ( 閉曲線 ) : 磁束 C: で張られる曲面 コイルを含む回路だけでなく, すべての点で成立と考える (Wikipedia) V L di dt L : 自己インダクタンス LI Michael Faraday ( )

42 変位電流の法則 rot H D t j 非定常電流への, アンペールの法則の拡張 (Wikipedia) Maxwell 方程式 (864) di D ガウスの法則 D E di B 0 B rot E 0 t 真磁荷不在 電磁誘導現象 ( ファラデーの法則 ) B H James Clerk Maxwell ( ) rot H D t j 変位電流の法則 ( 一般化されたアンペールの法則 ) 電磁波の存在を予言

43 電磁波の伝播と分類 c ms 光の速さ 光は電磁波 全ての慣性系で同じ値時空の基本定数 ( 相対論 ) マイクロ波工学 ( 岡田文明 )( 学献社 )

44 電磁波の分類 ( 続 ) マイクロ波工学 ( 岡田文明 )( 学献社 )

45 Maxwell 方程式の Galilei 変換に対する非共変性 x y z K 系 x y z K 系 ある慣性系に対して等速度運動している座標系も慣性系慣性系 : Newton の運動方程式が成り立つ座標系二つの慣性系を結び付ける変換 : Galilei 変換 t r r z z y y t x x 例えば図の場合 Newton の運動方程式 :Galilei 変換に対して共変 ( 方程式が同じ形 ) Maxwell 方程式 :Galilei 変換に対して共変でない ( 電磁気の法則自体はどの慣性系でも同じ ) t t t c t c [ 問い ] 各自確かめよ ( 他変数の変数変換の練習 ) t x t t t z t z y t y x t x t ( ヒント ) 下記のように他の変数についても変換を実行では, どのような変換が Maxwell 方程式を共変とするのか? Lorentz 変換 : Lorentz, Poincare が数学的に導出産物 : 様々な 物理的幻影 r F d d t m

46 光の伝播をめぐって 光 ( 電磁波 ) は真空中を伝わる 電磁波を伝える媒質 : エーテル (ether) c c c- - c+ 回る地球 エーテルに対する相対運動 ( 上図 ) を検出する一連の試み ( 光の波動説を確固たるものとする ) に終止符を打った実験研究 A. A. Michelson : Am. J. Sci. (88) 0. A. A. Michelson and W. E. Morley: Am. J. Sci. 34 (887) 333. c のオーダーまで検出されなかった 図の出典 : 歴史を変えた物理実験 ( 霜田光一著 ( 丸善 )) 残念ながら原理の説明は省略 マイケルソン干渉計物理計測で現在も活躍

47 特殊相対性理論 (): 基本的考え方 (A. Einstein) Maxwell 方程式のLorentz 共変性, 光速度不変の持つ意味を徹底的に考察 Lorentz 収縮,Lorentz 局所時等は数学的技巧でも物理的幻影でもないこれらは, 空間 時間がもっている基本的性質である! ( 出発点 ) (i)( 特殊 ) 相対性原理 ( 以前からガリレオの相対性原理として知られている考え方 ) 全ての物理法則は全ての慣性系で同じ形に書ける ( 共変である ) (ii) 光速度は全ての慣性系で不変である ( 電磁的相互作用が空間を伝わる速さ ) ( いくつかの重要な帰結 ) (i) 二つの慣性系を結びつける変換は Lorentz 変換である (ii) 同時刻の相対性 ( 絶対同時性というものはない ) 3 次元空間 4 次元時空 (iii) 運動している物体 ( 座標系 ) では時間が遅れる (i) 運動している物体は長さが縮む (Lorentz 収縮 ) () 光速度以下から加速しても光速を超えないローレンツ変換での速度の合成則 (i) 質量とエネルギーの等価性 4 E c p m c E mc

48 特殊相対性理論 (): 慣性系同士を結びつける変換は Lorentz 変換 () s の不変性 ヒント (a) 光速度の不変性 : (b) 従って, s a( ) s とおける (c) 二つの座標系の軸の向きを変えることにより, a( ) が示される (i) 速さ で歩く人 (iii) 同様に, 負の向きに進む光の座標 (i) () の関係式に代入することにより () 以上をまとめると s Lorentz 変換 x y z s c t 0 s 0 () s を不変に保つ変換は一次変換でなければならない (3) 係数 A, B, C, D の決め方 x 0 x t これを代入して, B A c (ii) t 0, t 0, x 0, x 0 で原点を出て x 軸の正の方向に進む光の座標 x ct x ( x ct ( ct t) x x 方向に速さ で動く場合 x Ax B( ct) ct Cx D( ct) これから, x ct A B C D x ct x ct これから, A B C D 連立すると, x A( x t) A D, B C ここまでで, ct A( x ct) c A c x) Galilei 変換 c c 時間と空間が混ざり合う :4 次元時空

49 特殊相対性理論 (3): 同時刻の相対性 x-t 空間 : ミンコフスキー空間 =0 の場合 :K 系,K 系は重なっている t t ct ct t const. t const. K 系がK 系に対して有限の速度で動いている場合 t t t const. ct ct t const. x ( 0) A C B x x ( 0) A C B x K 系での t=( 一定 ) の線と, K 系での t =( 一定 ) の線は重なる この 点は,K 系では同時刻だが, K 系では同時刻ではない 絶対同時性というものはない

50 特殊相対性理論 (4): 時間の遅れ, ローレンツ収縮 動いている座標系 K の原点に静止している時計が T という時刻を示している これから, x ( x t) 0 ct ( ct x) x t ct t( ) まとめると T ct 静止系で長さ l ( エル ) の物体を動いている座標系 K で見る x x ( x x ) ( t t) t t ( x x ) ( t t) c t 動いている座標系での時間は進むのが遅くなる Fitzgerald-Lorentz 収縮 x x 動いている座標系 K での長さの読みは,K の同時刻で成されるべきであるので t t とおくことで t, t を消去して x x ( x x) 動いている座標系で測定すると長さがその方向に縮む

51 特殊相対性理論 (5): 速度の合成則ならば合成された速度 K 系 : K 系に対して速度 で運動 c c c, 光速より遅い速度から出発して連続的加速によって光速度を超えることはできない x y z K 系 x y z K 系 x y z K 系 K 系 : K 系に対して速度 で運動 t x c t x t x c c t x c c i i c c Galilei 変換なので

52 特殊相対性理論 (6):( 質量 )= エネルギー Newton の運動方程式の相対論版 ( 四次元時空における運動方程式 ): 結果のみ記す 4 次元座標 x ct, x p mc, 4 次元運動量運動方程式エネルギー m 0 x ct x x m x y 3 x z d x F K K, F t d E mc cp 0 c E mc mc... 固有時 c 静止していてもエネルギーを持つ : 質量とエネルギーの等価性 エネルギーの表式から運動量は これより mc 静止エネルギー p E, c p m... 運動エネルギー E mc エネルギーと運動量の関係が得られる E c p m c 4 E mc p m...

53 特殊相対性理論 (7): 電磁場 Maxwell 方程式の Lorentz 変換 : 結果のみ記す (a) (K 系の原点に点電荷が静止 ) (K 系では直線状電流によるビオ サバールの法則 ) 一般に, 電場や磁場が入り混じる c これより, 例えば x 方向に速度 で等速度運動している座標系 K 系 x E x E z y y B E E y z z B E E x B x B z y y E c B B y z z E c B B 或いは, 速度に平行な成分と垂直な成分に分けて書くと B E E E // E B B B // c (b) (K 系で一様な静電場と静磁場がある ) (K 系ではローレンツ力が現れる ) などが導かれる x j c y j y j z j z j j j x x

54 電磁気学の例題 総仕上げの良い問題 ( 問い ) 定常電流 I が流れる直線状の導線に点電荷 q ( 静止 ) をおいたとき, 電荷にはどのような力が働くか? (A) 静止した座標系で考えると? I R q (B) 導線中の電子ともに動く座標系でみると? 導線中の電子 :(A) では動いていたが,(B) では静止するので, 密度が減る ( 膨張 ) 導線中の正イオン :(A) では静止していていたが,(B) では動くので, 密度が増える ( 収縮結果として正負の電荷密度にアンバランスが生じ, 導線は帯電し電場を作る点電荷 : 動くので, 磁場からローレンツ力を受ける これらの力が全て点電荷に働いた結果?

55 ( 計算, メモ用シート )

56 まとめ : 特殊相対論を受け入れて改めて電磁気学を見てみると () 静電場, 定常電流 : 極めて特殊な座標系での出来事別の慣性系では, ローレンツ変換により, 電場と磁場が入り混じる () 電磁誘導の法則磁石にコイルを近づけても, コイルを磁石に近づけても同じことがおこる : 相対性原理 しかし, 説明は二つの場合で異なっていた : 理由は () による (3)cgs esu, cgs emu 二つの単位系で同じ物理量 ( 電流 ) を測定すると, 値が c 倍異なっていた c は時空の構造を表す基本定数 ( 電磁的相互作用が伝わるときのスピード ) 電磁的相互作用の問題を考えるときは, 常に, ガリレイ変換がだめな可能性を念頭におく (4) 場の統一電気磁気 Maxwell 理論で統一相対性理論で統一光 4 個の力の統一 : 現代の課題 (5) ゲージ場 : 電磁気学の第 3の成果 (cf) 第 : 電磁波, 第 : 相対論 ベクトルポテンシャル : ゲージ場 (6) 量子論とゲージ場 電荷保存則と密接な関係 アハラノブ - ボーム (AB) 効果, 超伝導のロンドン方程式等