平成 年度 豊島岡女子学園中学校 < 第 回 > 算数 くわしい解説 すぐる学習会 () 2-4 8 5 7 9 4 4 = = 5 7 5 2 4 = - = 5 5 8 = = 5 9 40 (2) 工夫して解く方法もありますが, 普通に計算した方が早くできるのでは 7 5 24 28 0 29 + + + + = + + + + = 2 4 8 2 2 2 2 2 2 2 29 5- = なので, = 2 2 2 [ 工夫して解く方法 ] 7 5 + + + + 2 4 8 2 = - + - + - + - + - 2 4 8 2 = 5 - + + + + 式 ( ) とします 2 4 8 2 右の図の正方形の面積をとすると, + + + + は斜線部分の面積にあたります 2 4 8 2 白い部分の面積はですから, 斜線部分の面積は, 2 - = になります 2 2 よって, 式 ( ) は 5 - となるので, は 2 です 2 全体 = 2 8 4 2 2 - -
() さいころの目は までしかないことを忘れやすいです 注意しましょう つの数の積が 24 になるのは, 順番を考えなければ, 次の通りです 24, 2 2, 8, 4,2 2,2 4 これらの中で, さいころの目は から までという条件を考えると, 次の 通りにしぼられます 4,2 2,2 4 + 4 + =,2 + 2 + = 0,2 + + 4 =9 ですから, 答えも,0,9 の 通りになります (4) 0 人の平均点は 8 点ですから,0 人の合計点は,8 0 = 80( 点 ) です 最高点と最低点をのぞいた 8 人の平均点は 70 点ですから, その 8 人の合計点は, 70 8 = 50( 点 ) です よって, 最高点と最低点の 2 人の合計は,80-50 = 20( 点 ) になります また, 問題には 最高点は最低点の 2 倍 と書いてあったので, 最高点と最低点の比は,2: です したがって, 最低点は 20 ( 2 + ) = 40( 点 ) で, 最高点は 40 2 = 80( 点 ) になります - 2 -
400 2 () ノート 冊のセットを 400 円で売ったので, 冊あたり 400 = ( 円 ) です ノート 4 冊のセットを 500 円で売ったので, 冊あたり 500 4 = 25( 円 ) です よってこの問題は, 次のようなつるかめ算の問題になります 400 冊円のノートと 冊 25 円のノートを合わせて00 冊売ると売り上げは 全部で 00 円になる 面積図にすると右の図のようになり, 点線 400 700 部分の面積は, 00-00= です 400 25 点線部分のたては, - 25 = ですから, 700 25 点線部分の横は, = 28です 400 00 00 25 よって,4 冊セットの方は 28 冊売れて, 冊セットの方は 00-28 = 72( 冊 ) 売れました 冊セットの方は,72 = 24( セット ) 売れたことになります (2) 0 の倍数とは,0,20,0, のように, 一の位が 0 である数です 209 との差が 0 の倍数になる数は,9,9,29, のように, 一の位が 9 である数です 一の位が 9 で, しかも 7 の倍数になっている最も小さい数は 49 です 49 の次の数は,( 0 と 7 の最小公倍数である )70 を増やした数である, 49+ 70= 9 です 9 の次の数は,9+ 70=89 です よって, 等差数列 49,9,89, の中に,209 以下の数が何個あるかを求めればよいわけです 等差数列の公式 はじめの数 + 増える数 (N- )=N 番目の数 にあてはめると,49+ 70 (N-)=209 となり, 逆算をしていくと, 209-49 = 970 970 70= 28. 28. + =29. よって,209 以下の数は 29 個あることになります - -
() このような問題は, 長方形に対角線を 本引くと, 面積が等しい 2 個の三角形に分かれることを利用して解いていきます 等しい 右の図のように分けると, と, と, と, エとエはどれも同じ面積です の部分は長方形です の部分のたての長さは,4- ( + )=2( cm ) です の部分の横の長さは,4- ( G + ) = 4- = ( cm ) です よって, の部分の面積は,2 = 2( cm 2 ) です cm エ エ F cm G 正方形 の面積は 4 4 = ( cm 2 ) で, の面積は 2 cm 2 ですから, エエの面積は,- 2=4( cm 2 ) です よって, エの面積は,4 2 = 7( cm 2 ) です 四角形 FG の面積は, 正方形 の面積からエの面積を引いたものなので, - 7 = 9 ( cm 2 ) になります cm エ G F cm - 4 -
(4) 三角形 に注目すれば, 右の図のの角度は 80 - ( 90+ 0 ) = 0( 度 ) であることがわかります また, 三角形 に注目すれば, の角度は 45-0 = 5( 度 ) であることがわかります 45 0 三角形 は正三角形を半分に切った形をしているので, 右の図のとエの長さの比は,: 2 になります そこで, の長さを, エの長さを 2 とします と は同じ長さなので, の長さも の長さも になります 5 0 45 エ 0 右の図のようになりました 0 45 5 0 ここで, 点 から点 まで補助線を引きます すると, 三角形 は角 が 0 度で辺 と辺 の長さが等しいのですから, 正三角形になります 5 0 45 0 よって右の図のカの長さは にあたり, キの角度は,0-45 = 5( 度 ) になります 5 0 45 キカ 0-5 -
すると, 右の図の太線をつけた三角形は, 2 つの角が 5 度になり等しいので, 二等辺三角形になります よってクの長さは, にあたります 5 ク 0 45 5 0 よって, 右の図の太線をつけた三角形は辺 と辺 の長さが等しく, 角 が直角なので, 直角二等辺三角形になります 直角二等辺三角形は, 直角以外の角は 45 度なので, 角 の角度は,45-5= 0 ( 度 ) になります ケ 5 0 45 5 0 注意この問題のように, 図に 5 の倍数の角度しか書いていない問題の場合は, 答えも 5の倍数の角度になる可能性が高いです 角 は, 見た目で 5 度よりも大きく 45 度よりも小さいですから, 解き方がまったくわからない場合でも, 解答欄には 0 度と書くべきでしょう わからないからといって解答欄に何も書かないのでは, 競争に負けてしまいます - -
() < 図 2 > の中にある三角形には, と, と, という形の三角形があります という形の三角形 下の図のように, 4 個あります という形の三角形 下の図のように, 4 個あります という形の三角形 下の図のように, 4 個あります よって全部で,4 = 2( 個 ) になります - 7 -
(2) 新しく辺 FR, 辺 RS, 辺 FS ができたのですから, それらの辺を一辺とする三角形をしっかり見つけましょう 辺 FR を一辺とする三角形は, 次の 個です 辺 RS を一辺とする三角形は, 次の 個です 辺 FS を一辺とする三角形は, 次の 個です よって, 辺 FR, 辺 RS, 辺 FS を一辺とする三角形は, 合計 + + = 5( 個 ) です () で, すでに 2 個あって, 新しく 5 個できたのですから, 全部で 2+ 5= 7( 個 ) になります - 8 -
4 () はじめに, の容器には 5% の食塩水が 200 g 入っていました 食塩は,200 0.05 = 0(g) とけています の食塩水 00 g を に移しました には,200-00= 00(g) の食塩水が残っています 残った食塩水には,00 0.05 = 5(g) の食塩がとけています 0 200 5 % 5 00 5 % 残ったの食塩水に,の食塩水 00 gを入れると,は 0 % になったそうです 5 00 + 00 = 5 % エ % 0 % 上の図のは,00+ 00=200(g) です は,200 0.= 20(g) です は,20-5 = 5(g) です エは,5 00= 0.5 5 % です よって, 容器 に入っている食塩水の濃度は,5% です - 9 -
(2) 容器 の食塩水は 0% になったことがわかっています また,() で, 容器 の食塩水は 5 % であることもわかりました (2) では, の食塩水 00 g と の食塩水をまぜると,4 % になることがわかっています 00 0 % + 5 % = 4 % この問題はビーカー図では解けないので, 面積図 ( または, てんびん図 ) を利用して解くことになります 面積図は, 右の図のようになります は,( 4-0 ) 00 = 400 です もと同じ面積なので,400 です は,400 (5-4 ) = 400 です 4 0 00 5 てんびん図では, 右の図のようになります は,4-0=4 です は,5-4= です : は 4: なので,00: = :4 です よっては,00 4 = 400(g) になります 0 5 4 00 以上のことから, 容器 には 400 g の食塩水が入っていたことがわかりました ところで,4 の問題文の 行目の後ろの方に, の食塩水 00g を に入れたと書いてあります ですから は,00 g を に入れた結果,400 g が残ったことになります には,400 + 00 = 500(g) の食塩水が入っていました また,4 の問題文の 2 行目の後ろの方に, の食塩水 00 g と のすべての食塩水を空の容器 に入れたと書いてあります その結果, は 500 g になったのです よって, に入っていた食塩水は,500-00= 400(g) になります - 0 -
5 () からまでの道のりを,( 2 でも でも割り切れる ) にすると, 問題文の 行目に書いてあった通り, はじめは花子さんと豊子さんは同じ速さで歩くので, とのちょうど真ん中で 2 人は出会います 2 人とも, 2= だけ歩きました 花 豊 回目に出会ってから 2 回目に出会うまでに, 花子さんと豊子さんは右の図のように歩きました 豊子さんの速さは 2 倍になっているので, 豊子さんの方が長く歩いています 花豊 回目に出会ってから 2 回目に出会うまでに, 2 人合わせてどれだけ歩いたのかをを求めましょう 右の図の太線部分が で, 花豊 右の図の太線部分も ですから, 合計 +=2 を歩いたことになります 花豊 豊子さんは花子さんの 2 倍の速さになったのですから, 花子さんと豊子さんの歩いた距離の比は,:2です よって, 回目に出会ってから 2 回 目に出会うまでに, 花子さんが歩いた花距離は,2 ( + 2) =4 になります ( 右の図の太線部分です ) 豊 よって右の図のの部分の距離は, 4-= になります が,5 の問題文の 行目に書いてあった通り 50m です 花 豊 との間は にあたりますから,50 = 00(m) になります - -
(2) () でわかった通り, 花子さんは, 回目に豊子さんと出会うまでに, だけ歩きました 花 豊 また, 回目に出会ってから 2 回目に豊子さんと出会うまでに, 花子さんは 4 だけ歩きました 花子さんは, 出発してから 2 回目に豊子さんと出会うまでに,+4=7 だけ歩いています 花 豊 5 の問題文の 行目に書いてある通り, 花子さんは 2 回目豊子さんと出会うのは 7 分後です よって花子さんは, 7 分間で 7 歩いたことになります 花子さんの分速は,7 7= になります 2 人が 2 回目に出会ってから 回目に出会うまでのようすは右の図のようになり, 2 人合わせて,+=2 だけ歩いています 2 人の速さは同じですから, 花子さん だけで,2 2= だけ歩いています ( 花子さんは を 分かかります ) 右の図のの距離は -=5 ですから, の距離は,-5= です 回目に出会ってからは, 右の図のよ うになって, 豊子さんが花子さんに追い 花 つきます 豊豊子さんの折れ曲がっている部分を まっすぐにすると, 右の図のようになり, 豊子さんは 花子さんよりも2だけ後ろにいた地 花 点から追いつくことになります 豊 花子さんの分速は, 豊子さんは花子さんの 2 倍の速さですから, 分速 2です よって豊子さんは,2 (2-)= 2( 分後 ) に追いつくことになります 整理すると, 出発してから 2 回目の出会いまでが 7 分,2 回目から 回目までが 分, 回目から追いつきまでが 2 分ですから, 合計 7++2 = 5( 分 ) になります 花豊 - 2 -
() 豊子さんがに着いたときに, 初めて花子さんを追いこしたのです花から, 追いこしたときの状態は右の豊図のようになります 豊子さんは花子さんの 2 倍の速さですから, 豊子さんが 歩いている間に, 花子さんは 2 = だけ歩きます 右の図のが ですから, は -= です 豊 豊子さんは花子さんの 2 倍の速さです よって右の図のエは (2+)=, は 2=2 です つまり, から2の距離のところで,2 人は出会っているはずです その出会っていた地点を とします で出会ってから, 豊子さんがに着くまでに, 豊子さんは 2+=8 だ け歩いています 豊子さんが歩いたときの分速は2なので, 豊子さんは 8 2= 4( 分間 ) 歩い ています 豊子さんは 2 倍の速さで,4 分間歩いています 花 エ さらにその前に花子さんと豊子さんが出会っていた地点を とします から までは, 花子さんと豊子さんは同じ速さで歩いています から までに,2 人合わせて +=2 歩いていて,2 人は同じ速さなのですから, 花子さんも豊子さんも,2 2= だけ歩いたはずです オの長さは -2=4 ですから, カの長さは,-4=2 になります 2 豊 オ 花 カ さらにその前に花子さんと豊子さんが出会っていた地点は, やはり です なぜなら, 豊子さんは花子さんの 2 倍の速さなので, 右の図において花子さんが 2+2=4 歩いている間に, 豊子さんは 4+4=8 歩くからです 4 豊花 2 豊子さんの分速は 2 なので,8 2= 4( 分間 ) 歩いています - -
豊子さんは 2 倍の速さで,4 分間歩いています さらにその前は, 花子さんと豊子さんは同じ速さなので, 豊子さんが出発するときは, 花子さんは右の図の位置にいます 花 2 2 豊 以上のことから, 豊子さんが 2 倍の速さで歩いていたのは,4 + 4 = 8( 分間 ) になります - 4 -
- 5 - () F,G, を通る平面は, 右の図ののようになります M,N, を通る平面は, 右の図ののようになります との両方の面を書くと, 右の図のようになります 切り口と切り口の交点は, 右の図の の部分になります と を直線で結ぶと右の図のようになります ( 次のページへ ) G F ああ M G F N いい M G F N あい M G F N M G F N
立体を右から見ると,G と N の交点が ですから, は G の真ん中よりも少し右の方にあることがわかります G N といの両方の面で切ると, 立体は右の図のようになります あ F G もし立体を右の図のように切ったとしたら, F G 上から見たら右の図のようになりますが, 実際には右の図のように切りました の位置は G の真ん中よりも 寄りなので, F G 上から見たら右の図のようになります よって答えは,4 になります - -
(2) 問題の < 図 > の つの を底面までおろすと, 右の図の位置になります それぞれ, とします は底面の真ん中の点ですから, 点 の真下にあります よって, 正四角すい - は, 右の図のから までの直線の中のどこかで切り取られたはずです 辺 の真ん中を点 とすると, は点 との真ん中にあります よっては, 辺 の真ん中の点の真下にあります 正四角すい - は, から辺 の真ん中の点までの直線の中のどこかで切り取られたはずです また, は, 点 との真ん中にあります 正四角すい - は, から辺 の真ん中の点までの直線の中のどこかで切り取られたはずです ( 次のページへ ) - 7 -
,, から上にのびる 本の直線のうち, 正四角すい - の辺を切り取っているのは, 右の図の点エです 問題の < 図 > の つの は同じ高さにあるのですから, 正四角すい - は右の図の点オでも切り取られているはずです エオ から まで上にのびている直線も, エやオと同じ高さの点 ( 右の図のカ ) で切り取られているはずです オ エ カ エ, オ, カはすべて, 正四角すいの半分の高さのところにあります 切り取ったあとに残った立体は, 右の図の太線のようになります オ エ カ 面エ は側面 だった部分です 面エオ は側面 だった部分です オ エ カ よって右の図の 2, が正四角すいの側面だった部分になります 2 エ オ カ 5 4-8 -
() 問題の < 図 5> の つの を底面までおろすと, 右の図の位置になります それぞれ, とします また, 面 の真ん中の点を とします 点 は底面の真ん中の点ですから, 点 の真下にあります は と の真ん中にありますから, は の真ん中の点の真下にあります は と の真ん中にありますから, は の真ん中の点の真下にあります の真ん中の点を Q とします と Q を線で結びます Q は と Q の真ん中にありますから, は Q の真ん中の点の真下にあります Q ( 次のページへ ) - 9 -
,, から上にのびる 本の直線のうち, 正四角すい - の辺を切り取っているのは, 右の図の点 K と点 I です I K Q 問題の < 図 5> の つの は同じ高さにあるのですから, 正四角すい - は右の図の点 J でも切り取られているはずです I K J I,J,K はすべて, 正四角すいの半分の高さのところにあります Q 切り取ったあとに残った立体は, 右の図の太線のようになります I K J Q 面 JI は つの面のように見えますが, 点, 点, 点 I は三角形 上にある点で, 点 J は三角形 上にないので, 点, 点, 点 J, 点 I は同じ平面上にはありません I K J Q よっての答えは 2 になります また, 点, 点, 点 I は同じ平面上にあるので, 点 から点 I まで直線を引きます I K J すると, 三角形 を切り取った図形である三角形 I と, 三角形 JI に分かれます の答えは,9 になります Q - 20 -